Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes
|
Der Artikel Formaler Aufbau der Quantenmechanik basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 2.Kapitels (Abschnitt 0) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes.
|
Die Abfrage enthält eine leere Bedingung.
Formaler Aufbau der Quantenmechanik
Ein Anfang der Quantenmechanik ist der Kommutator
|
|
|
(2.1)
|
mit den OperatorenOrtsoperator (Ort) (ImpulsImpulsoperator), einer Unschärferelation
|
|
|
(2.2)
|
und quantenmechanischen Zuständen, die mit Wellenfunktionen, z.B. beschrieben werden. Diese Zustände sind Elemente eines Hilbertraums, auf dem die Operatoren der Messgrößen operieren.
Hilbertraum
- Ein Hilbertraum ist ein vollständiger unitärer Raum.
- Ein Vektorraum mit Skalarprodukt und (induzierter)
Norm heißt unitärer Raum.
- Eine 'Norm' eines komplexen Vektorraums V ist ein Abbildung , so dass für gilt
- Ein 'Skalarprodukt' eines Vektorraums V ist eine Abbildung , so dass für gilt:
- Ein Folge in einem normierten Raum heißt Cauchy-Folge, falls ganz so dass .
- Ein unitärer Raum, in dem jede Cauchy-Folge konvergiert heißt vollständigvollständiger unitärer Raum.
Beispiele:
- Hilbertraum , n-dimensionaler komplexer Vektorraum mit Basis .
- Hilbertraum der quadratintegrierbaren Wellenfunktionen eines Potentialtopfes mit unendlich hohen Wänden in 1 Dimension
auf
Basis
|
|
|
(2.9)
|
Skalarprodukt
- Vollständigkeit:
vergleich mit
(AUFGABE):
- Definiere mit
- bestimme N so dass
- Beweise die Formel
- Beweise die Cauchy-Scharz Ungleichung für
Definition: vollständiges Orthogonalsystem eins HR
und
|
|
|
(2.10)
|
Satz (Parseval)
|
|
|
(2.11)
|
Bemerkung:
- Vollständige „normierte Räume“ heißen BanachräumeBanachraum (haben kein Skalarprodukt)
- Mehr Details: Funktionalanalysis z.B. Bornstein/Senendajew Taschenbuch der Mathematik, ergänzende Kapitel
Dirac-Notation
Bequeme Notation für Ψ, Skalarprodukte etc. eines Hilbertraum
Zustände
- „Ket“, „Dirac-Ket“
|
|
|
(2.12)
|
- Skalarprodukt von
- VollständigkeitsrelationVollständigkeitsrelation für Basis
„vollständige Eins“
|
|
|
(2.13)
|
- Dualraum und Bra-Zustände
Dualraum eines Hilbertraum : Raum aller linearen Funktionale
|
|
|
(2.14)
|
Vektor als Funktional aufgefasst wie in (2.14) heißt „Dirac-Bra“ oder einfach „Bra“ Name von engl. ‚bracket‘
Geometrische Interpretation im :
- alsKets: normale Vektoren
- alsBras: als Abbildung, z.B. Projektion auf 3-Achse Basis für Dualraum , d.h. jedes Funktional (Projektion) als Linearkombination
- „Tricks“: Dirac-Notation sehr flexibel, z.B.
- „Einschieben der Eins“
Operatoren in der Quantenmechanik
Definition: Ein 'linearer Operator' ( Hilbertraum), erfüllt
|
|
|
(2.15)
|
Beispiele:
- Ortsoperator Impulsoperator
für
- n x n-Matrizen auf
- ist in der Tat der einfachste nichttriviale Hilbertraum, auf dem sich Quantenmechanik machen lässt! Beispiel Spin ½, Pauli-Matrizen.
Definition Der Erwartungswert eines Operators im Zustand ist
|
|
|
(2.16)
|
- Matrixelement eines Operators
Beispiele Wellenfunktion des eindimensionalen Oszillators, normiert.
Dann ist
- Der zu einem linearen Hilbertraum-Operator A adjungierte Operator'adjungierter Operator' A+ ist definiert durch
- Ein linearer Operator heißt hermitesch (selbstadjungiert)[1], wenn
Axiom: In der Quantenmechanik werden physikalische Messgrößen als Observable bezeichnet und durch selbstadjungierte Operatoren auf einem Hilbertraum dargestellt.
- Energie Hamiltonoperator
|
|
|
(2.20)
|
für nichtrelativistische Teilchen der Masse
- Ort , Impuls , DrehimpulsDrehimpuls
- Spin ½ (Helizität) in Richtung für Dirac-Teilchen,
vgl.
Satz: Die Eigenwerte selbstadjungierter Operatoren sind reell die Eigenkets sind orthogonal.
Damit erhält man die Spektralzerlegung von Operatoren nach seinen Eigenzuständen, d.h.
|
|
|
(2.21)
|
mit dem orthogonalen Projektor auf Unterraum der von den Eigenvektoren zum Eigenwert an aufgespannt wird.
Falls an nicht entartet, gilt
- ,
normiert.
Axiom:
Die möglichen Messwerte einer Observablen  im Zustand sind die Eigenwerte an, die mit Wahrscheinlichkeit
|
|
|
(2.22)
|
auftreten. Wird an gemessen, so geht instantan in über („Kopenhagener Deutung“, „Reduktion des Wellenpakets“).
Das Zweiniveausystem als einfachstes Quantensystem
Wir betrachten ein Teilchen, das zwischen zwei Potentialmulden (L links) und (R rechts) hin und her-tunnelt. In grober Vereinfachung betrachten wir nur die Energie der tiefsten Zustände links und rechts und
Ohne tunneln wäre der Hamiltonoperator für dieses vereinfachte System
|
|
|
(2.23)
|
Im Matrix- Schreibweise als Qubit im Hilbertraum
|
|
|
(2.24)
|
Den (komplizierten) Tunneleffekt bestreiben wir vereinfacht durch ein „effektives Potential“ in , d.h. durch den
Tunnel-Operator
|
|
|
(2.25)
|
Den Gesamt-Hamilton-Operator beschreiben wir durch die Summe
|
|
|
(2.26)
|
AUFGABEN…
Zeitentwicklung in der Quantenmechanik
Ausgangspunkt: Bewegungsgleichung (Schrödinger, Dirac) der Form
|
|
|
(2.27)
|
Hier ist
zeitabhängig und auch der Hamiltonian
kann zeitabhängig sein, z.B. (zeitabhängiges Potential)
Zeitunabhängiger Hamiltonian
In diesem Fall formale Lösung von (2.27) durch
|
|
|
(2.28)
|
als Anfangswertproblem mit dem
|
|
|
(2.29)
|
Û ist unitär, , denn ist selbstadjungiert
Die Zeitentwicklung
ist eine unitäre Transformation. Erwartungswerte von der Observabelen Â
- zur Zeit ( normiert.)
- zur Zeit
Wir haben
also
(Zeitentwicklung von Operator
im Heisenbergbild)
|
|
|
|
Bemerkung:
Skalarprodukt: Mathematiker:
- Physiker-Notation
Es gibt also zwei unitär Äquivalente Arten der Zeitentwicklung
- „Schrödinger-Bild“ Operatoren fest, Zustände zeitabhängig
- „Heisenberg-Bild“ Zustand fest (Anfangszustand), Operatoren zeitabhängig
Im Heisenberg-Bild hat man die Bewegungsgleichung
Heisenberg-BewegungsgleichungBewegungsgleichung:Heisenberg
|
|
|
(2.31)
|
Häufig schreibt man, falls die Operatoren bereits im Schrödinger-Bild eine intrinsische Zeitabhängigkeit haben, z.B. durch zeitabhängige äußere Felder, d.h.
|
|
|
(2.32)
|
so dass (CHECK)
|
|
|
(2.33)
|
Zeitabhängiger Hamiltonian: Spin ½, 2 Niveausystem, NMR
Die meisten Fälle mit zeitabhängigem sind exakt nicht mehr lösbar.
Hier betrachten wir
|
|
|
(2.34)
|
zum Beispiel für einen Spin ½, beschrieben durch den -Vektor der Pauli-Matrizen, in einem zeitabhängigen B-Feld
- Hilbertraum hier
- (2.34) einfaches Modell für Spin ½ Freiheitsgrad z.B. ein Elektron in der Pauli-Gleichung
- (1.44)
mit Konstante und Separation des Ortes (x) und Spin Freiheitsgrade
|
|
|
(2.35)
|
in Dirac-Schreibweise
|
|
|
(2.36)
|
mit (Hilbertraum der Quadratintegrabelen Funktionen auf )
und .
Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung für (2.34)
|
|
|
(2.37)
|
kann für zeitabhängige i.A. nur numerische gelöst werden.
AUFGABE: schreiben Sie eine Code, der (2.37) löst, und diskutiere die Physik die damit beschrieben wird.
Spezialfälle von (2.37) können analytisch gelöst werden
- quantenmechanische Ozillatoren
Eigenwerte von sind
(CHECK)
à Zeitentwicklung mit
Alternativer Lösungsweg: Ansatz
in (siehe b)
- Rotierende B-Feld à Rabi-Oszillationen
Hier
|
|
|
(2.38)
|
rotiert in x-y-Ebene „Drehwellenmodelle“
|
|
|
(2.39)
|
Nichttriviale Lösung von (2.39) für
- mit
|
|
|
(2.40)
|
Damit zwei linear unabhängige Lösungen für
|
|
|
(2.41)
|
für entsprechen: Koeffizienten für hängen über (2.37) zusammen.
Aufgabe: 1 Fall b) lösen für und diskutieren.
- ↑ i.A. ungleich (der Unterscheid ist manchmal wichtig)