Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Addition von Drehimpulsen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Der Gesamtdrehimpuls kann folgendermaßen dargestellt werden:
Die Vertauschungsrelationen:
Beide Operatoren wirken in verschiedenen Räumen. Wäre der Operator nicht Null, so wären die zugehörigen Eigenzustände nicht separabel.
Drehimpuls Vertauschungsrelationen!
Ebenso:
Also:
Die Produktzustände sind Eigenzustände zu aber nicht zu , da bzw.
Ziel: Suche gemeinsame Eigenzustände zu
,
,
.
Dies muss möglich sein, da
Die Eigenwertgleichungen lauten:
Durch Einschub eines Vollständigen Satzes orthonormierter Eigenfunktionen, durch Einschub eines Projektors auf diesen vollständigen atz, also durch Einschub einer "1" kann der neue Eigenzustand
bezüglich des alten Zustandes
entwickelt werden:
Zu beachten ist: Es wird ausschließlich über die Komponenten der alten Basis summiert, die sich von der neuen Basis unterscheiden (das heißt: Nur dieser Teil der Basis wird transformiert)!
Dabei heißen die Entwicklungskoeffizienten der neuen Basis bezüglich der alten Basisvektoren, also die Koordinaten der neuen Basis in der alten Basis
Clebsch-Gordan-Koeffizienten!
Dabei gilt:
!!
!!
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Wobei: