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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| <math>{{\hat{S}}_{3}}</math> ist hermitesch | | :<math>{{\hat{S}}_{3}}</math> ist hermitesch |
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| Eigenwerte: <math>\pm 1</math> | | Eigenwerte: <math>\pm 1</math> |
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| <math>\left\langle \uparrow \right|{{\hat{\bar{\sigma }}}_{+}}\left| \downarrow \right\rangle =\alpha \left\langle \uparrow | \uparrow \right\rangle =\alpha </math> | | :<math>\left\langle \uparrow \right|{{\hat{\bar{\sigma }}}_{+}}\left| \downarrow \right\rangle =\alpha \left\langle \uparrow | \uparrow \right\rangle =\alpha </math> |
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| Aber gleichzeitig, wenn man den Operator gekreuzt nach links wirken läßt: | | Aber gleichzeitig, wenn man den Operator gekreuzt nach links wirken läßt: |
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| O.B. d. A.: wähle | | O.B. d. A.: wähle |
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| <math>\alpha =\beta =2</math> | | :<math>\alpha =\beta =2</math> |
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| Auch hier gewinnt man wieder Bestimmungsgleichungen für die Eigenwerte bzw. die Koeffizienten, wir haben ja keine Eigenwerte hier, indem man die gesuchten Operatoren durch bekannte ausdrückt ! | | Auch hier gewinnt man wieder Bestimmungsgleichungen für die Eigenwerte bzw. die Koeffizienten, wir haben ja keine Eigenwerte hier, indem man die gesuchten Operatoren durch bekannte ausdrückt ! |
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| So folgt: | | So folgt: |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =2\left| \uparrow \right\rangle \\ | | & \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =2\left| \uparrow \right\rangle \\ |
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| Außerdem: | | Außerdem: |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =\left( i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =2\left| \uparrow \right\rangle \\ | | & \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =\left( i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =2\left| \uparrow \right\rangle \\ |
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| \end{matrix} \right)</math> die Basis- Spinoren ( Spaltenvektoren) | | \end{matrix} \right)</math> die Basis- Spinoren ( Spaltenvektoren) |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & \left\langle \uparrow \right|=\left( 1,0 \right) \\ | | & \left\langle \uparrow \right|=\left( 1,0 \right) \\ |
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| \end{align}</math> Zeilenvektoren ( transponiert) | | \end{align}</math> Zeilenvektoren ( transponiert) |
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| <math>\left( \begin{matrix} | | :<math>\left( \begin{matrix} |
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| 0 & 1 \\ | | 0 & 1 \\ |
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| was äquivalent ist zu | | was äquivalent ist zu |
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| <math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{1}}\left| \uparrow \right\rangle =\left| \downarrow \right\rangle </math> | | :<math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{1}}\left| \uparrow \right\rangle =\left| \downarrow \right\rangle </math> |
Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Spin- Operatoren und Zustände basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 1) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Stern-Gerlach Experiment: (1922)
Für das inhomogene Magnetfeld gilt:
Die Kraft auf das magnetische Moment ergibt sich gemäß
Somit: Ablenkung proportional zu µ3!!
Bahndrehimpuls l ergäbe - fache Strahlaufspaltung (also in jedem Fall ungeradzahlige Strahlaufspaltung)
Beobachtet wurde zweifache Aufspaltung !!
Eigendrehimpuls (Spin) des Elektrons !
Klassische Vorstellung: Rotation eines geladenen Körpers um seine eigene Achse:
Dies ist jedoch falsch ! Vielmehr wurde experimentell der folgende Wert ermittelt:
mit g=2,0023 g sogenannter Lande-Faktor (gyromagnetischer Faktor)
Mit relativistischen Korrekturen kommt man zu der Abweichung von der genauen 2 !!!
Spin als Freiheitsgrad des Elektrons
Spin-Eigenzustände:
Spin-Hilbertraum (zweidimensional !)
Notation:
- Spin up
- Spin down
Dimensionsloser Spinoperator
Mit Eigenwerten und Spinzuständen als Eigenzustände:
- ist hermitesch
Eigenwerte:
Orthonormierung:
Vollständigkeit:
Das heißt, jeder beliebige, auch zeitabhängige Spinzustand kann entwickelt werden als
Aus:
(ganz allgemeine Drehimpuls-Vertauschungs-Relation)
(Operatoren, die dieser Relation genügen sind als Drehimpulse definiert !)
folgt:
Spin-Leiteroperatoren:
Somit folgt:
Andererseits gilt:
Beliebige Koeffizienten als Ansatz setzen !
Berechnung der Koeffizienten :
Weiter:
Aber gleichzeitig, wenn man den Operator gekreuzt nach links wirken läßt:
O.B. d. A.: wähle
Auch hier gewinnt man wieder Bestimmungsgleichungen für die Eigenwerte bzw. die Koeffizienten, wir haben ja keine Eigenwerte hier, indem man die gesuchten Operatoren durch bekannte ausdrückt !
So folgt:
Außerdem:
Zusammenfassung
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Die Spin- Operatoren lassen sich in diesem Sinne durch 2x2 Matrizen darstellen:
(Im zweidimensionalen Spin- Eigenraum):
Die Matrizen lassen sich ausschreiben: Paulische Spinmatrizen:
Was den bekannten Relationen genügt:
erfüllt, .... usw...
S3- Darstellung der Zustände:
Dabei kennzeichnen die Basis- Spinoren ( Spaltenvektoren)
- Zeilenvektoren ( transponiert)
was äquivalent ist zu