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| '''Stern- Gerlach Experiment: 1922:''' | | '''Stern- Gerlach Experiment: 1922:''' |
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| | [[Datei:Datei:Stern-Gerlach_Experiment_de.png]] |
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| Für das inhomogene Magnetfeld gilt: <math>\nabla {{B}_{3}}\bot Strahl</math> | | Für das inhomogene Magnetfeld gilt: <math>\nabla {{B}_{3}}\bot Strahl</math> |
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| Die Kraft auf das magnetische Moment ergibt sich gemäß | | Die Kraft auf das magnetische Moment ergibt sich gemäß |
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| <math>\bar{F}=\nabla \left( {{\mu }_{3}}{{B}_{3}} \right)={{\mu }_{3}}\nabla {{B}_{3}}</math> | | :<math>\bar{F}=\nabla \left( {{\mu }_{3}}{{B}_{3}} \right)={{\mu }_{3}}\nabla {{B}_{3}}</math> |
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| Somit: Ablenkung parallel zu µ3 !! | | Somit: Ablenkung proportional zu µ3!! |
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| Bahndrehimpuls l ergäbe <math>2l+1</math> | | Bahndrehimpuls l ergäbe <math>2l+1</math>- fache Strahlaufspaltung (also in jedem Fall ungeradzahlige Strahlaufspaltung) |
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| - fache Strahlaufspaltung ( also in jedem Fall ungeradzahlige Strahlaufspaltung)
| | Beobachtet wurde zweifache Aufspaltung !! |
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| beobachtet wurde zweifache Aufspaltung !!
| | :<math>\Rightarrow \bar{\mu }\tilde{\ }\bar{S}</math> |
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| <math>\Rightarrow \bar{\mu }\tilde{\ }\bar{S}</math> | |
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| Eigendrehimpuls ( Spin) des Elektrons ! | | Eigendrehimpuls ( Spin) des Elektrons ! |
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| <math>{{S}_{3}}={{m}_{S}}\hbar </math> | | :<math>{{S}_{3}}={{m}_{S}}\hbar </math> |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & {{m}_{S}}=\pm \frac{1}{2} \\ | | & {{m}_{S}}=\pm \frac{1}{2} \\ |
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| Klassische Vorstellung: Rotation eines geladenen Körpers um seine eigene Achse: | | Klassische Vorstellung: Rotation eines geladenen Körpers um seine eigene Achse: |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & \Rightarrow \bar{\mu }=\frac{+e}{2{{m}_{0}}}\bar{S}\quad e<0 \\ | | & \Rightarrow \bar{\mu }=\frac{+e}{2{{m}_{0}}}\bar{S}\quad e<0 \\ |
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| Dies ist jedoch falsch ! Vielmehr wurde experimentell der folgende Wert ermittelt: | | Dies ist jedoch falsch ! Vielmehr wurde experimentell der folgende Wert ermittelt: |
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| <math>{{\mu }_{3}}=+g\frac{+e}{2{{m}_{0}}}{{S}_{3}}</math> | | :<math>{{\mu }_{3}}=+g\frac{+e}{2{{m}_{0}}}{{S}_{3}}</math> |
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| mit g=2,0023 , g sogenannter Lande´- Faktor ( gyromagnetischer Faktor) | | mit g=2,0023 ,g sogenannter Lande´- Faktor (gyromagnetischer Faktor) |
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| Mit relativistischen Korrekturen kommt man zu der Abweichung von der genauen 2 !!! | | Mit relativistischen Korrekturen kommt man zu der Abweichung von der genauen 2 !!! |
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| Notation: | | Notation: |
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| <math>\left| +\frac{1}{2} \right\rangle =\left| \uparrow \right\rangle </math> | | ;Spin up:<math>\left| +\frac{1}{2} \right\rangle =\left| \uparrow \right\rangle </math> |
| | | ;Spin down:<math>\left| -\frac{1}{2} \right\rangle =\left| \downarrow \right\rangle </math> |
| Spin up ! | |
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| <math>\left| -\frac{1}{2} \right\rangle =\left| \downarrow \right\rangle </math> | |
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| Spin down !
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| Dimensionsloser Spinoperator | | Dimensionsloser Spinoperator |
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| Aus: | | Aus: |
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| <math>\hat{S}\times \hat{S}=i\hbar \hat{S}</math> | | :<math>\hat{S}\times \hat{S}=i\hbar \hat{S}</math> |
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| ( ganz allgemeine Drehimpuls- Vertausch- Relation) | | (ganz allgemeine Drehimpuls- Vertausch- Relation) |
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| ( Operatoren, die dieser Relation genügen sind als Drehimpulse definiert !) | | (Operatoren, die dieser Relation genügen sind als Drehimpulse definiert !) |
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| folgt: | | folgt: |
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| Beliebige Koeffizienten als Ansatz setzen ! | | Beliebige Koeffizienten als Ansatz setzen ! |
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| Berechnung der Koeffizienten <math>\alpha ,\beta </math> | | Berechnung der Koeffizienten <math>\alpha ,\beta </math>: |
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| : | | :<math>\begin{align} |
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| <math>\begin{align} | |
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| & \alpha *\alpha =\left\langle \downarrow \right|{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{+}}^{+}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{+}}\left| \downarrow \right\rangle =\left\langle \downarrow \right|\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}-i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle \\ | | & \alpha *\alpha =\left\langle \downarrow \right|{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{+}}^{+}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{+}}\left| \downarrow \right\rangle =\left\langle \downarrow \right|\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}-i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle \\ |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| Zusammenfassung: | | |
| | == Zusammenfassung == |
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| <math>\left| \uparrow \right\rangle </math> | | <math>\left| \uparrow \right\rangle </math> |
Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Spin- Operatoren und Zustände basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 1) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Stern- Gerlach Experiment: 1922:
Datei:Datei:Stern-Gerlach Experiment de.png
Für das inhomogene Magnetfeld gilt:
Die Kraft auf das magnetische Moment ergibt sich gemäß
Somit: Ablenkung proportional zu µ3!!
Bahndrehimpuls l ergäbe - fache Strahlaufspaltung (also in jedem Fall ungeradzahlige Strahlaufspaltung)
Beobachtet wurde zweifache Aufspaltung !!
Eigendrehimpuls ( Spin) des Elektrons !
Klassische Vorstellung: Rotation eines geladenen Körpers um seine eigene Achse:
Dies ist jedoch falsch ! Vielmehr wurde experimentell der folgende Wert ermittelt:
mit g=2,0023 ,g sogenannter Lande´- Faktor (gyromagnetischer Faktor)
Mit relativistischen Korrekturen kommt man zu der Abweichung von der genauen 2 !!!
Spin als Freiheitsgrad des Elektrons
Spin- Eigenzustände:
Spin- Hilbertraum ( zweidimensional !)
Notation:
- Spin up
- Spin down
Dimensionsloser Spinoperator
Mit Eigenwerten und Spinzuständen als Eigenzustände:
ist hermitesch
Eigenwerte:
Orthonormierung:
Vollständigkeit:
Das heißt, jeder beliebige, auch zeitabhängige Spinzustand kann entwickelt werden als
Aus:
(ganz allgemeine Drehimpuls- Vertausch- Relation)
(Operatoren, die dieser Relation genügen sind als Drehimpulse definiert !)
folgt:
Spin- leiteroperatoren:;
Somit folgt:
Andererseits gilt:
Beliebige Koeffizienten als Ansatz setzen !
Berechnung der Koeffizienten :
Weiter:
Aber gleichzeitig, wenn man den Operator gekreuzt nach links wirken läßt:
O.B. d. A.: wähle
Auch hier gewinnt man wieder Bestimmungsgleichungen für die Eigenwerte bzw. die Koeffizienten, wir haben ja keine Eigenwerte hier, indem man die gesuchten Operatoren durch bekannte ausdrückt !
So folgt:
Außerdem:
Zusammenfassung
Die Spin- Operatoren lassen sich in diesem Sinne durch 2x2 Matrizen darstellen:
( Im zweidimensionalen Spin- Eigenraum):
Die Matrizen lassen sich ausschreiben : Paulische Spinmatrizen:
Was den bekannten Relationen genügt:
erfüllt, .... usw...
S3- Darstellung der Zustände:
Dabei kennzeichnen
die Basis- Spinoren ( Spaltenvektoren)
Zeilenvektoren ( transponiert)
was äquivalent ist zu