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| {{FB|Stern-Gerlach Experiment}}: (1922) | | {{FB|Stern-Gerlach Experiment}}: (1922) |
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| [[Datei:Stern-Gerlach_Experiment_de.png]] | | [[Datei:Stern-Gerlach Experiment de.png]] |
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| Für das inhomogene Magnetfeld gilt: <math>\nabla {{B}_{3}}\bot \text{Strahl}</math> | | Für das inhomogene Magnetfeld gilt: <math>\nabla {{B}_{3}}\bot \text{Strahl}</math> |
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| Bahndrehimpuls l ergäbe <math>2l+1</math>- fache Strahlaufspaltung (also in jedem Fall ungeradzahlige Strahlaufspaltung) | | Bahndrehimpuls l ergäbe <math>2l+1</math>- fache Strahlaufspaltung (also in jedem Fall ungeradzahlige Strahlaufspaltung) |
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| Beobachtet wurde zweifache Aufspaltung !! | | Beobachtet wurde zweifache Aufspaltung!! |
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| :<math>\Rightarrow \bar{\mu }\sim \bar{S}</math> | | :<math>\Rightarrow \bar{\mu }\sim \bar{S}</math> |
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| Eigendrehimpuls ({{FB|Spin}}) des Elektrons ! | | Eigendrehimpuls ({{FB|Spin}}) des Elektrons! |
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| :<math>{{S}_{3}}={{m}_{S}}\hbar </math> | | :<math>{{S}_{3}}={{m}_{S}}\hbar </math> |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| Dies ist jedoch falsch ! Vielmehr wurde experimentell der folgende Wert ermittelt: | | Dies ist jedoch falsch! Vielmehr wurde experimentell der folgende Wert ermittelt: |
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| :<math>{{\mu }_{3}}=+g\frac{+e}{2{{m}_{0}}}{{S}_{3}}</math> | | :<math>{{\mu }_{3}}=+g\frac{+e}{2{{m}_{0}}}{{S}_{3}}</math> |
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| mit g=2,0023 g sogenannter {{FB|Lande-Faktor}} (gyromagnetischer Faktor) | | mit g=2,0023 g sogenannter {{FB|Lande-Faktor}} (gyromagnetischer Faktor) |
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| Mit relativistischen Korrekturen kommt man zu der Abweichung von der genauen 2 !!! | | Mit relativistischen Korrekturen kommt man zu der Abweichung von der genauen 2!!! |
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| ====Spin als Freiheitsgrad des Elektrons==== | | ====Spin als Freiheitsgrad des Elektrons==== |
| {{FB|Spin-Eigenzustände}}: <math>\left| {{m}_{s}} \right\rangle \in {{H}_{S}}</math> | | {{FB|Spin-Eigenzustände}}: <math>\left| {{m}_{s}} \right\rangle \in {{H}_{S}}</math> |
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| {{FB|Spin-Hilbertraum}} (zweidimensional !) | | {{FB|Spin-Hilbertraum}} (zweidimensional!) |
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| <math>{{\hat{S}}_{3}}</math> ist hermitesch | | :<math>{{\hat{S}}_{3}}</math> ist hermitesch |
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| Eigenwerte: <math>\pm 1</math> | | Eigenwerte: <math>\pm 1</math> |
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| :<math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & \left| a(t) \right\rangle =\left| \uparrow \right\rangle \left\langle \uparrow \right|\left| a(t) \right\rangle +\left| \downarrow \right\rangle \left\langle \downarrow \right|\left| a(t) \right\rangle \\ | | & \left| a(t) \right\rangle =\left| \uparrow \right\rangle \left\langle \uparrow | a(t) \right\rangle +\left| \downarrow \right\rangle \left\langle \downarrow | a(t) \right\rangle \\ |
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| & \left\langle \uparrow \right|\left| a(t) \right\rangle :={{a}_{1}}(t) \\ | | & \left\langle \uparrow | a(t) \right\rangle :={{a}_{1}}(t) \\ |
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| & \left\langle \downarrow \right|\left| a(t) \right\rangle :={{a}_{2}}(t) \\ | | & \left\langle \downarrow | a(t) \right\rangle :={{a}_{2}}(t) \\ |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| (ganz allgemeine {{FB|Drehimpuls-Vertauschungs-Relation}}) | | (ganz allgemeine {{FB|Drehimpuls-Vertauschungs-Relation}}) |
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| (Operatoren, die dieser Relation genügen sind als Drehimpulse definiert !) | | (Operatoren, die dieser Relation genügen sind als Drehimpulse definiert!) |
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| folgt: | | folgt: |
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| Beliebige Koeffizienten als Ansatz setzen ! | | Beliebige Koeffizienten als Ansatz setzen! |
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| Berechnung der Koeffizienten <math>\alpha ,\beta </math>: | | Berechnung der Koeffizienten <math>\alpha ,\beta </math>: |
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| <math>\left\langle \uparrow \right|{{\hat{\bar{\sigma }}}_{+}}\left| \downarrow \right\rangle =\alpha \left\langle \uparrow | \uparrow \right\rangle =\alpha </math> | | :<math>\left\langle \uparrow \right|{{\hat{\bar{\sigma }}}_{+}}\left| \downarrow \right\rangle =\alpha \left\langle \uparrow | \uparrow \right\rangle =\alpha </math> |
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| Aber gleichzeitig, wenn man den Operator gekreuzt nach links wirken läßt: | | Aber gleichzeitig, wenn man den Operator gekreuzt nach links wirken läßt: |
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| O.B. d. A.: wähle | | O.B. d. A.: wähle |
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| <math>\alpha =\beta =2</math> | | :<math>\alpha =\beta =2</math> |
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| Auch hier gewinnt man wieder Bestimmungsgleichungen für die Eigenwerte bzw. die Koeffizienten, wir haben ja keine Eigenwerte hier, indem man die gesuchten Operatoren durch bekannte ausdrückt ! | | Auch hier gewinnt man wieder Bestimmungsgleichungen für die Eigenwerte bzw. die Koeffizienten, wir haben ja keine Eigenwerte hier, indem man die gesuchten Operatoren durch bekannte ausdrückt! |
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| So folgt: | | So folgt: |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =2\left| \uparrow \right\rangle \\ | | & \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =2\left| \uparrow \right\rangle \\ |
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| Außerdem: | | Außerdem: |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =\left( i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =2\left| \uparrow \right\rangle \\ | | & \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =\left( i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =2\left| \uparrow \right\rangle \\ |
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| {| class="wikitable" border="1" | | {| class="wikitable" border="1" |
| |+ Zusammenfassung | | |+ Zusammenfassung |
| ! !!<math>\left| \uparrow \right\rangle </math> !! <math>\left| \downarrow \right\rangle </math> | | !!!<math>\left| \uparrow \right\rangle </math>!! <math>\left| \downarrow \right\rangle </math> |
| |- | | |- |
| | <math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{1}}</math> || <math>\left| \downarrow \right\rangle </math> || <math>\left| \uparrow \right\rangle </math> | | | <math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{1}}</math> || <math>\left| \downarrow \right\rangle </math> || <math>\left| \uparrow \right\rangle </math> |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| erfüllt, .... usw... | | erfüllt,.... usw... |
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| S3- Darstellung der Zustände: | | S3- Darstellung der Zustände: |
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| 1 \\ | | 1 \\ |
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| \end{matrix} \right)</math> die Basis- Spinoren ( Spaltenvektoren) | | \end{matrix} \right)</math> die Basis- Spinoren (Spaltenvektoren) |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & \left\langle \uparrow \right|=\left( 1,0 \right) \\ | | & \left\langle \uparrow \right|=\left( 1,0 \right) \\ |
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| & \left\langle \downarrow \right|=\left( 0,1 \right) \\ | | & \left\langle \downarrow \right|=\left( 0,1 \right) \\ |
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| \end{align}</math> Zeilenvektoren ( transponiert) | | \end{align}</math> Zeilenvektoren (transponiert) |
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| <math>\left( \begin{matrix} | | :<math>\left( \begin{matrix} |
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| 0 & 1 \\ | | 0 & 1 \\ |
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| was äquivalent ist zu | | was äquivalent ist zu |
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| <math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{1}}\left| \uparrow \right\rangle =\left| \downarrow \right\rangle </math> | | :<math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{1}}\left| \uparrow \right\rangle =\left| \downarrow \right\rangle </math> |
Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Spin- Operatoren und Zustände basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 1) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Stern-Gerlach Experiment: (1922)
Für das inhomogene Magnetfeld gilt:
Die Kraft auf das magnetische Moment ergibt sich gemäß
Somit: Ablenkung proportional zu µ3!!
Bahndrehimpuls l ergäbe - fache Strahlaufspaltung (also in jedem Fall ungeradzahlige Strahlaufspaltung)
Beobachtet wurde zweifache Aufspaltung!!
Eigendrehimpuls (Spin) des Elektrons!
Klassische Vorstellung: Rotation eines geladenen Körpers um seine eigene Achse:
Dies ist jedoch falsch! Vielmehr wurde experimentell der folgende Wert ermittelt:
mit g=2,0023 g sogenannter Lande-Faktor (gyromagnetischer Faktor)
Mit relativistischen Korrekturen kommt man zu der Abweichung von der genauen 2!!!
Spin als Freiheitsgrad des Elektrons
Spin-Eigenzustände:
Spin-Hilbertraum (zweidimensional!)
Notation:
- Spin up
- Spin down
Dimensionsloser Spinoperator
Mit Eigenwerten und Spinzuständen als Eigenzustände:
- ist hermitesch
Eigenwerte:
Orthonormierung:
Vollständigkeit:
Das heißt, jeder beliebige, auch zeitabhängige Spinzustand kann entwickelt werden als
Aus:
(ganz allgemeine Drehimpuls-Vertauschungs-Relation)
(Operatoren, die dieser Relation genügen sind als Drehimpulse definiert!)
folgt:
Spin-Leiteroperatoren:
Somit folgt:
Andererseits gilt:
Beliebige Koeffizienten als Ansatz setzen!
Berechnung der Koeffizienten :
Weiter:
Aber gleichzeitig, wenn man den Operator gekreuzt nach links wirken läßt:
O.B. d. A.: wähle
Auch hier gewinnt man wieder Bestimmungsgleichungen für die Eigenwerte bzw. die Koeffizienten, wir haben ja keine Eigenwerte hier, indem man die gesuchten Operatoren durch bekannte ausdrückt!
So folgt:
Außerdem:
Zusammenfassung
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Die Spin- Operatoren lassen sich in diesem Sinne durch 2x2 Matrizen darstellen:
(Im zweidimensionalen Spin- Eigenraum):
Die Matrizen lassen sich ausschreiben: Paulische Spinmatrizen:
Was den bekannten Relationen genügt:
erfüllt,.... usw...
S3- Darstellung der Zustände:
Dabei kennzeichnen die Basis- Spinoren (Spaltenvektoren)
- Zeilenvektoren (transponiert)
was äquivalent ist zu