Formaler Aufbau der Quantenmechanik: Unterschied zwischen den Versionen
*>SchuBot Einrückungen Mathematik |
|||
Zeile 5: | Zeile 5: | ||
{{NumBlk|:| | {{NumBlk|:| | ||
<math>\left[ \underline{x},\underline{p} \right]=\mathfrak{i} \hbar </math> | :<math>\left[ \underline{x},\underline{p} \right]=\mathfrak{i} \hbar </math> | ||
: |(2.1)|RawN=.}} | : |(2.1)|RawN=.}} | ||
Zeile 13: | Zeile 13: | ||
{{NumBlk|:| | {{NumBlk|:| | ||
<math>\Delta x\Delta p\ge \frac{\hbar }{2}</math> | :<math>\Delta x\Delta p\ge \frac{\hbar }{2}</math> | ||
: |(2.2)|RawN=.}} | : |(2.2)|RawN=.}} | ||
Zeile 32: | Zeile 32: | ||
{{NumBlk|:|Definition|(2.6)|RawN=.}}: Ein '''{{FB|Skalarprodukt}}''' eines Vektorraums V ist eine Abbildung <math>\left( V,V \right)\to \mathbb{C}</math>, so dass für <math>\psi ,\phi ,\chi \in V</math>gilt: | {{NumBlk|:|Definition|(2.6)|RawN=.}}: Ein '''{{FB|Skalarprodukt}}''' eines Vektorraums V ist eine Abbildung <math>\left( V,V \right)\to \mathbb{C}</math>, so dass für <math>\psi ,\phi ,\chi \in V</math>gilt: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \left\langle \psi | \psi \right\rangle \ge 0 \\ | & \left\langle \psi | \psi \right\rangle \ge 0 \\ | ||
Zeile 68: | Zeile 68: | ||
# Hilbertraum <math>{{\mathcal{H}}_{L}}</math>der quadratintegrierbaren Wellenfunktionen eines Potentialtopfes mit unendlich hohen Wänden in 1 Dimension | # Hilbertraum <math>{{\mathcal{H}}_{L}}</math>der quadratintegrierbaren Wellenfunktionen eines Potentialtopfes mit unendlich hohen Wänden in 1 Dimension | ||
# | # | ||
<math>\Psi \left( {\underline{x}} \right)</math> | :<math>\Psi \left( {\underline{x}} \right)</math> | ||
auf <math>x\in \left[ 0,L \right],\Psi \left( 0 \right)=\Psi \left( L \right)=0</math> | auf <math>x\in \left[ 0,L \right],\Psi \left( 0 \right)=\Psi \left( L \right)=0</math> | ||
<math>-\frac{\hbar }{2m}\Psi '{{'}_{n}}\left( x \right)={{E}_{n}}{{\Psi }_{n}}\left( x \right)</math> | :<math>-\frac{\hbar }{2m}\Psi '{{'}_{n}}\left( x \right)={{E}_{n}}{{\Psi }_{n}}\left( x \right)</math> | ||
{{NumBlk|:|Basis | {{NumBlk|:|Basis | ||
<math>{{\Psi }_{n}}\left( x \right)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{n\pi x}{L} \right),\quad {{E}_{n}}=\frac{{{\left( \hbar n\pi \right)}^{2}}}{2m{{L}^{2}}},\quad n\in \mathbb{N}</math> | :<math>{{\Psi }_{n}}\left( x \right)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{n\pi x}{L} \right),\quad {{E}_{n}}=\frac{{{\left( \hbar n\pi \right)}^{2}}}{2m{{L}^{2}}},\quad n\in \mathbb{N}</math> | ||
: |(2.9)|RawN=.}} | : |(2.9)|RawN=.}} | ||
Zeile 82: | Zeile 82: | ||
Skalarprodukt | Skalarprodukt | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \left\langle \Psi | \Phi \right\rangle =\int\limits_{0}^{L}{{{\Psi }^{*}}\left( x \right)\Phi \left( x \right)dx} \\ | & \left\langle \Psi | \Phi \right\rangle =\int\limits_{0}^{L}{{{\Psi }^{*}}\left( x \right)\Phi \left( x \right)dx} \\ | ||
Zeile 103: | Zeile 103: | ||
{{NumBlk|:| | {{NumBlk|:| | ||
<math>\Leftrightarrow \left\langle {{\Psi }_{n}} | {{\Psi }_{n'}} \right\rangle ={{\delta }_{nn'}}</math> | :<math>\Leftrightarrow \left\langle {{\Psi }_{n}} | {{\Psi }_{n'}} \right\rangle ={{\delta }_{nn'}}</math> | ||
und <math>\Phi =\sum\limits_{n}{\left\langle {{\Psi }_{n}} | \Phi \right\rangle {{\Psi }_{n}}\quad \forall \Phi \in \mathcal{H}}</math> |(2.10)|RawN=.}} | und <math>\Phi =\sum\limits_{n}{\left\langle {{\Psi }_{n}} | \Phi \right\rangle {{\Psi }_{n}}\quad \forall \Phi \in \mathcal{H}}</math> |(2.10)|RawN=.}} | ||
Zeile 113: | Zeile 113: | ||
{{NumBlk|:| | {{NumBlk|:| | ||
<math>\Phi =\sum\limits_{n}{\left\langle {{\Psi }_{n}} | \Phi \right\rangle {{\Psi }_{n}}\Leftrightarrow {{\left\| \Phi \right\|}^{2}}=\sum\limits_{n}{{{\left| \left\langle {{\Psi }_{n}} | \Phi \right\rangle \right|}^{2}}}}</math> | :<math>\Phi =\sum\limits_{n}{\left\langle {{\Psi }_{n}} | \Phi \right\rangle {{\Psi }_{n}}\Leftrightarrow {{\left\| \Phi \right\|}^{2}}=\sum\limits_{n}{{{\left| \left\langle {{\Psi }_{n}} | \Phi \right\rangle \right|}^{2}}}}</math> | ||
: |(2.11)|RawN=.}} | : |(2.11)|RawN=.}} | ||
Bemerkung: | Bemerkung: | ||
Zeile 121: | Zeile 121: | ||
===Dirac-Notation=== | ===Dirac-Notation=== | ||
Bequeme Notation für Ψ, Skalarprodukte <math>\left\langle \Psi | \Phi \right\rangle </math>etc. eines Hilbertraum | Bequeme Notation für Ψ, Skalarprodukte <math>\left\langle \Psi | \Phi \right\rangle </math>etc. eines Hilbertraum | ||
<math>\mathcal{H}</math> | :<math>\mathcal{H}</math> | ||
# {{NumBlk|:| {{FB|Zustände}} <math>\Phi \leftrightarrow \left| \Phi \right\rangle </math> | # {{NumBlk|:| {{FB|Zustände}} <math>\Phi \leftrightarrow \left| \Phi \right\rangle </math> | ||
Zeile 128: | Zeile 128: | ||
# Vollständigkeitsrelation{{FB|Vollständigkeitsrelation}} für Basis <math>{{\Psi }_{n}}\leftrightarrow \left| n \right\rangle </math> | # Vollständigkeitsrelation{{FB|Vollständigkeitsrelation}} für Basis <math>{{\Psi }_{n}}\leftrightarrow \left| n \right\rangle </math> | ||
# | # | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \left| \Phi \right\rangle =\sum\limits_{n}{\left\langle n | \Phi \right\rangle \left| n \right\rangle } \\ | & \left| \Phi \right\rangle =\sum\limits_{n}{\left\langle n | \Phi \right\rangle \left| n \right\rangle } \\ | ||
& \left| \Phi \right\rangle =\sum\limits_{n}{\underbrace{\left| n \right\rangle \left\langle n \right|}_{{\underline{1}}}\left. \Phi \right\rangle } \\ | & \left| \Phi \right\rangle =\sum\limits_{n}{\underbrace{\left| n \right\rangle \left\langle n \right|}_{{\underline{1}}}\left. \Phi \right\rangle } \\ | ||
Zeile 134: | Zeile 134: | ||
{{NumBlk|:|„{{FB|vollständige Eins}}“ | {{NumBlk|:|„{{FB|vollständige Eins}}“ | ||
<math>\underline{1}=\left| n \right\rangle \left\langle n \right|</math> | :<math>\underline{1}=\left| n \right\rangle \left\langle n \right|</math> | ||
: |(2.13)|RawN=.}} | : |(2.13)|RawN=.}} | ||
#{{FB|Dualraum}} und Bra-Zustände | #{{FB|Dualraum}} und Bra-Zustände | ||
Dualraum <math>{{\mathcal{H}}^{*}}</math>eines Hilbertraum <math>\mathcal{H}</math>: Raum aller linearen Funktionale | Dualraum <math>{{\mathcal{H}}^{*}}</math>eines Hilbertraum <math>\mathcal{H}</math>: Raum aller linearen Funktionale | ||
{{NumBlk|:| | {{NumBlk|:| | ||
<math>\left\langle \Psi \right|:\mathcal{H}\to \mathbb{C},\quad \left| \Phi \right\rangle \to \left\langle \Psi | \Phi \right\rangle </math> | :<math>\left\langle \Psi \right|:\mathcal{H}\to \mathbb{C},\quad \left| \Phi \right\rangle \to \left\langle \Psi | \Phi \right\rangle </math> | ||
: |(2.14)|RawN=.}} | : |(2.14)|RawN=.}} | ||
Vektor <math>\left| \Psi \right\rangle </math>als Funktional <math>\left\langle \Psi \right|</math>aufgefasst wie in (2.14) heißt „Dirac-Bra“ oder einfach „Bra“ Name von <math>\underbrace{\left\langle \Psi \right.}_{\text{bra}}|\underbrace{\left. \Phi \right\rangle }_{\text{ket}}</math>engl. ‚bracket‘ | Vektor <math>\left| \Psi \right\rangle </math>als Funktional <math>\left\langle \Psi \right|</math>aufgefasst wie in (2.14) heißt „Dirac-Bra“ oder einfach „Bra“ Name von <math>\underbrace{\left\langle \Psi \right.}_{\text{bra}}|\underbrace{\left. \Phi \right\rangle }_{\text{ket}}</math>engl. ‚bracket‘ | ||
Zeile 151: | Zeile 151: | ||
Definition: Ein '''{{FB|linearer Operator}}''' <math>\hat{A}:\mathcal{H}\to \mathcal{H}</math> (<math>\mathcal{H}</math> Hilbertraum), erfüllt | Definition: Ein '''{{FB|linearer Operator}}''' <math>\hat{A}:\mathcal{H}\to \mathcal{H}</math> (<math>\mathcal{H}</math> Hilbertraum), erfüllt | ||
{{NumBlk|:| | {{NumBlk|:| | ||
<math>\hat{A}\left( \left| \Psi \right\rangle +c\left| \Phi \right\rangle \right)=\hat{A}\left| \Psi \right\rangle +c\hat{A}\left| \Phi \right\rangle </math> | :<math>\hat{A}\left( \left| \Psi \right\rangle +c\left| \Phi \right\rangle \right)=\hat{A}\left| \Psi \right\rangle +c\hat{A}\left| \Phi \right\rangle </math> | ||
: |(2.15)|RawN=.}} | : |(2.15)|RawN=.}} | ||
Beispiele: | Beispiele: | ||
Zeile 157: | Zeile 157: | ||
für <math>\mathcal{H}={{\mathcal{H}}_{L}}:\quad \hat{x}:\Psi \left( x \right)\to x\Psi \left( x \right)\quad \hat{p}:\Psi \left( x \right)\to \frac{\hbar }{\mathfrak{i} }\Psi '\left( x \right)</math> | für <math>\mathcal{H}={{\mathcal{H}}_{L}}:\quad \hat{x}:\Psi \left( x \right)\to x\Psi \left( x \right)\quad \hat{p}:\Psi \left( x \right)\to \frac{\hbar }{\mathfrak{i} }\Psi '\left( x \right)</math> | ||
# n x n-Matrizen auf <math>{{\mathbb{C}}^{2}}</math> | # n x n-Matrizen auf <math>{{\mathbb{C}}^{2}}</math> | ||
<math>{{\mathbb{C}}^{2}}</math>ist in der Tat der einfachste nichttriviale Hilbertraum, auf dem sich Quantenmechanik machen lässt! Beispiel Spin ½ , Pauli-Matrizen. | :<math>{{\mathbb{C}}^{2}}</math>ist in der Tat der einfachste nichttriviale Hilbertraum, auf dem sich Quantenmechanik machen lässt! Beispiel Spin ½ , Pauli-Matrizen. | ||
Definition Der {{FB|Erwartungswert}} eines Operators <math>\hat{A}</math>im Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math>ist | Definition Der {{FB|Erwartungswert}} eines Operators <math>\hat{A}</math>im Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math>ist | ||
{{NumBlk|:| | {{NumBlk|:| | ||
<math>{{\left\langle {\hat{A}} \right\rangle }_{\Psi }}:=\frac{\left\langle \Psi | \hat{A}\Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi | \Psi \right\rangle }:=\frac{\left\langle \Psi \left| {\hat{A}} \right|\Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi | \Psi \right\rangle }</math> | :<math>{{\left\langle {\hat{A}} \right\rangle }_{\Psi }}:=\frac{\left\langle \Psi | \hat{A}\Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi | \Psi \right\rangle }:=\frac{\left\langle \Psi \left| {\hat{A}} \right|\Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi | \Psi \right\rangle }</math> | ||
: |(2.16)|RawN=.}} | : |(2.16)|RawN=.}} | ||
{{NumBlk|:|Definition|(2.17)|RawN=.}}: {{FB|Matrixelement}} eines Operators <math>\left\langle n\left| {\hat{A}} \right|m \right\rangle </math> | {{NumBlk|:|Definition|(2.17)|RawN=.}}: {{FB|Matrixelement}} eines Operators <math>\left\langle n\left| {\hat{A}} \right|m \right\rangle </math> | ||
Beispiele <math>\left| n \right\rangle \to {{\Psi }_{n}}\left( x \right)</math>Wellenfunktion des eindimensionalen Oszillators, normiert. | Beispiele <math>\left| n \right\rangle \to {{\Psi }_{n}}\left( x \right)</math>Wellenfunktion des eindimensionalen Oszillators, normiert. | ||
<math>\hat{A}={{\hat{x}}^{2}}</math> | :<math>\hat{A}={{\hat{x}}^{2}}</math> | ||
Dann ist <math>{{\left\langle {\hat{x}} \right\rangle }_{n}}=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{\Psi }_{n}}^{*}\left( x \right){{x}^{2}}{{\Psi }_{n}}\left( x \right)dx=}\int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{x}^{2}}\underbrace{{{\left| \Psi \left( x \right) \right|}^{2}}}_{\text{Wahrscheinlichkeitsdichte}}dx}</math> | Dann ist <math>{{\left\langle {\hat{x}} \right\rangle }_{n}}=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{\Psi }_{n}}^{*}\left( x \right){{x}^{2}}{{\Psi }_{n}}\left( x \right)dx=}\int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{x}^{2}}\underbrace{{{\left| \Psi \left( x \right) \right|}^{2}}}_{\text{Wahrscheinlichkeitsdichte}}dx}</math> | ||
{{NumBlk|:|Definition|(2.18)|RawN=.}}: Der zu einem linearen Hilbertraum-Operator A '''adjungierte Operator{{FB|adjungierter Operator}}''' A<sup>+</sup> ist definiert durch | {{NumBlk|:|Definition|(2.18)|RawN=.}}: Der zu einem linearen Hilbertraum-Operator A '''adjungierte Operator{{FB|adjungierter Operator}}''' A<sup>+</sup> ist definiert durch | ||
<math>\left\langle \Psi | A\Phi \right\rangle =\left\langle {{A}^{+}}\Psi | \Phi \right\rangle \quad \forall \Psi ,\Phi \in \mathcal{H}</math> | :<math>\left\langle \Psi | A\Phi \right\rangle =\left\langle {{A}^{+}}\Psi | \Phi \right\rangle \quad \forall \Psi ,\Phi \in \mathcal{H}</math> | ||
{{NumBlk|:|Definition|(2.19)|RawN=.}}: Ein linearer Operator heißt {{FB|hermitesch}} ({{FB|selbstadjungiert}})<ref>i.A. ungleich (der Unterscheid ist manchmal wichtig)</ref>, <math>{{A}^{+}}=A</math> wenn | {{NumBlk|:|Definition|(2.19)|RawN=.}}: Ein linearer Operator heißt {{FB|hermitesch}} ({{FB|selbstadjungiert}})<ref>i.A. ungleich (der Unterscheid ist manchmal wichtig)</ref>, <math>{{A}^{+}}=A</math> wenn | ||
<math>\left\langle \Psi | A\Phi \right\rangle =\left\langle A\Psi | \Phi \right\rangle \quad \forall \Psi ,\Phi \in \mathcal{H}</math> | :<math>\left\langle \Psi | A\Phi \right\rangle =\left\langle A\Psi | \Phi \right\rangle \quad \forall \Psi ,\Phi \in \mathcal{H}</math> | ||
Axiom: In der Quantenmechanik werden physikalische Messgrößen als Observable bezeichnet und durch selbstadjungierte Operatoren auf einem Hilbertraum dargestellt. | Axiom: In der Quantenmechanik werden physikalische Messgrößen als Observable bezeichnet und durch selbstadjungierte Operatoren auf einem Hilbertraum dargestellt. | ||
* Energie <math>\mathcal{H}</math>Hamiltonoperator | * Energie <math>\mathcal{H}</math>Hamiltonoperator | ||
{{NumBlk|:| | {{NumBlk|:| | ||
<math>\hat{H}=\frac{{{{\hat{p}}}^{2}}}{2m}+V\left( {\underline{r}} \right)</math> | :<math>\hat{H}=\frac{{{{\hat{p}}}^{2}}}{2m}+V\left( {\underline{r}} \right)</math> | ||
: |(2.20)|RawN=.}} | : |(2.20)|RawN=.}} | ||
für nichtrelativistische Teilchen der Masse | für nichtrelativistische Teilchen der Masse | ||
Zeile 184: | Zeile 184: | ||
* Spin ½ (Helizität) in Richtung <math>\hat{n}</math>für Dirac-Teilchen, | * Spin ½ (Helizität) in Richtung <math>\hat{n}</math>für Dirac-Teilchen, | ||
* | * | ||
<math>\frac{1}{2}\hat{n}\Sigma =\frac{1}{2}\left( \begin{matrix} | :<math>\frac{1}{2}\hat{n}\Sigma =\frac{1}{2}\left( \begin{matrix} | ||
\hat{n}\underline{\sigma } & 0 \\ | \hat{n}\underline{\sigma } & 0 \\ | ||
0 & \hat{n}\underline{\sigma } \\ | 0 & \hat{n}\underline{\sigma } \\ | ||
Zeile 192: | Zeile 192: | ||
Damit erhält man die {{FB|Spektralzerlegung}} von Operatoren <math>\hat{A}</math>nach seinen Eigenzuständen, d.h. | Damit erhält man die {{FB|Spektralzerlegung}} von Operatoren <math>\hat{A}</math>nach seinen Eigenzuständen, d.h. | ||
{{NumBlk|:| | {{NumBlk|:| | ||
<math>\hat{A}\left| n \right\rangle ={{a}_{n}}\left| n \right\rangle \Rightarrow \hat{A}=\sum\limits_{n}{{{a}_{n}}{{{\hat{P}}}_{n}}}</math> | :<math>\hat{A}\left| n \right\rangle ={{a}_{n}}\left| n \right\rangle \Rightarrow \hat{A}=\sum\limits_{n}{{{a}_{n}}{{{\hat{P}}}_{n}}}</math> | ||
: |(2.21)|RawN=.}} | : |(2.21)|RawN=.}} | ||
mit <math>{{\hat{P}}_{n}}</math>dem orthogonalen Projektor auf Unterraum der von den Eigenvektoren zum Eigenwert a<sub>n</sub> aufgespannt wird. | mit <math>{{\hat{P}}_{n}}</math>dem orthogonalen Projektor auf Unterraum der von den Eigenvektoren zum Eigenwert a<sub>n</sub> aufgespannt wird. | ||
Falls a<sub>n</sub> nicht entartet, gilt | Falls a<sub>n</sub> nicht entartet, gilt | ||
<math>{{\hat{P}}_{n}}=\left| n \right\rangle \left\langle n \right|</math> | :<math>{{\hat{P}}_{n}}=\left| n \right\rangle \left\langle n \right|</math> | ||
,<math>\left| n \right\rangle </math>normiert. | ,<math>\left| n \right\rangle </math>normiert. | ||
Axiom: | Axiom: | ||
Zeile 208: | Zeile 208: | ||
Ohne tunneln wäre der Hamiltonoperator für dieses vereinfachte System | Ohne tunneln wäre der Hamiltonoperator für dieses vereinfachte System | ||
{{NumBlk|:| | {{NumBlk|:| | ||
<math>{{\hat{H}}_{0}}={{\varepsilon }_{L}}\left| L \right\rangle \left\langle L \right|+{{\varepsilon }_{R}}\left| R \right\rangle \left\langle R \right|</math> | :<math>{{\hat{H}}_{0}}={{\varepsilon }_{L}}\left| L \right\rangle \left\langle L \right|+{{\varepsilon }_{R}}\left| R \right\rangle \left\langle R \right|</math> | ||
: |(2.23)|RawN=.}} | : |(2.23)|RawN=.}} | ||
Im Matrix- Schreibweise als {{FB|Qubit}} im Hilbertraum <math>\mathcal{H}={{\mathbb{C}}^{2}}</math> | Im Matrix- Schreibweise als {{FB|Qubit}} im Hilbertraum <math>\mathcal{H}={{\mathbb{C}}^{2}}</math> | ||
{{NumBlk|:| | {{NumBlk|:| | ||
<math>\left| L \right\rangle =\left( \begin{align} | :<math>\left| L \right\rangle =\left( \begin{align} | ||
& 1 \\ | & 1 \\ | ||
& 0 \\ | & 0 \\ | ||
Zeile 231: | Zeile 231: | ||
Den Gesamt-Hamilton-Operator beschreiben wir durch die Summe | Den Gesamt-Hamilton-Operator beschreiben wir durch die Summe | ||
{{NumBlk|:| | {{NumBlk|:| | ||
<math>\hat{H}={{\hat{H}}_{0}}+\hat{V}</math> | :<math>\hat{H}={{\hat{H}}_{0}}+\hat{V}</math> | ||
: |(2.26)|RawN=.}} | : |(2.26)|RawN=.}} | ||
<FONT COLOR="#3300CC">'''''AUFGABEN…'''''</FONT> | <FONT COLOR="#3300CC">'''''AUFGABEN…'''''</FONT> | ||
Zeile 237: | Zeile 237: | ||
Ausgangspunkt: Bewegungsgleichung (Schrödinger, Dirac) der Form | Ausgangspunkt: Bewegungsgleichung (Schrödinger, Dirac) der Form | ||
{{NumBlk|:| | {{NumBlk|:| | ||
<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle =\hat{H}\left( t \right)\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle </math> | :<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle =\hat{H}\left( t \right)\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle </math> | ||
: |(2.27)|RawN=.}} | : |(2.27)|RawN=.}} | ||
Hier ist | Hier ist | ||
<math>\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle </math> | :<math>\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle </math> | ||
zeitabhängig und auch der Hamiltonian | zeitabhängig und auch der Hamiltonian | ||
<math>\hat{H}\left( t \right)</math> | :<math>\hat{H}\left( t \right)</math> | ||
kann zeitabhängig sein, z.B. <math>\hat{H}=\frac{{{p}^{2}}}{2m}+V\left( x,t \right)</math> (zeitabhängiges Potential) | kann zeitabhängig sein, z.B. <math>\hat{H}=\frac{{{p}^{2}}}{2m}+V\left( x,t \right)</math> (zeitabhängiges Potential) | ||
====Zeitunabhängiger Hamiltonian==== | ====Zeitunabhängiger Hamiltonian==== | ||
In diesem Fall formale Lösung von (2.27) durch | In diesem Fall formale Lösung von (2.27) durch | ||
{{NumBlk|:| | {{NumBlk|:| | ||
<math>\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle ={{e}^{-i\hat{H}\left( t-{{t}_{0}} \right)}}\left| \Psi \left( {{t}_{0}} \right) \right\rangle \quad ,\quad t>{{t}_{0}}</math> | :<math>\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle ={{e}^{-i\hat{H}\left( t-{{t}_{0}} \right)}}\left| \Psi \left( {{t}_{0}} \right) \right\rangle \quad ,\quad t>{{t}_{0}}</math> | ||
: |(2.28)|RawN=.}} | : |(2.28)|RawN=.}} | ||
als {{FB|Anfangswertproblem}} mit dem | als {{FB|Anfangswertproblem}} mit dem | ||
{{NumBlk|:| | {{NumBlk|:| | ||
<math>\hat{U}\left( t,{{t}_{0}} \right)={{e}^{i\hat{H}\left( t-{{t}_{0}} \right)}}\quad t>{{t}_{0}}</math> | :<math>\hat{U}\left( t,{{t}_{0}} \right)={{e}^{i\hat{H}\left( t-{{t}_{0}} \right)}}\quad t>{{t}_{0}}</math> | ||
: |(2.29)|RawN=.}} | : |(2.29)|RawN=.}} | ||
Û ist unitär, <math>{{\hat{U}}^{-1}}={{\hat{U}}^{+}}</math>, denn <math>\hat{H}={{\hat{H}}^{+}}</math>ist selbstadjungiert | Û ist unitär, <math>{{\hat{U}}^{-1}}={{\hat{U}}^{+}}</math>, denn <math>\hat{H}={{\hat{H}}^{+}}</math>ist selbstadjungiert | ||
Die {{FB|Zeitentwicklung}} | Die {{FB|Zeitentwicklung}} | ||
<math>\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle =\hat{U}\left( t,{{t}_{0}} \right)\left| \Psi \left( {{t}_{0}} \right) \right\rangle </math> | :<math>\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle =\hat{U}\left( t,{{t}_{0}} \right)\left| \Psi \left( {{t}_{0}} \right) \right\rangle </math> | ||
ist eine unitäre Transformation. Erwartungswerte von der Observabelen  | ist eine unitäre Transformation. Erwartungswerte von der Observabelen  | ||
<math>{{\left\langle {\hat{A}} \right\rangle }_{0}}:={{\left\langle {\hat{A}} \right\rangle }_{\left| \Psi \left( 0 \right) \right\rangle }}=\left\langle \Psi \left( 0 \right)\,\left| \hat{A}\, \right|\,\Psi \left( 0 \right) \right\rangle </math> | :<math>{{\left\langle {\hat{A}} \right\rangle }_{0}}:={{\left\langle {\hat{A}} \right\rangle }_{\left| \Psi \left( 0 \right) \right\rangle }}=\left\langle \Psi \left( 0 \right)\,\left| \hat{A}\, \right|\,\Psi \left( 0 \right) \right\rangle </math> | ||
: zur Zeit <math>{{t}_{0}}=0</math> (<math>\left| \Psi \left( 0 \right) \right\rangle </math> normiert.) | : zur Zeit <math>{{t}_{0}}=0</math> (<math>\left| \Psi \left( 0 \right) \right\rangle </math> normiert.) | ||
<math>{{\left\langle {\hat{A}} \right\rangle }_{t}}:={{\left\langle {\hat{A}} \right\rangle }_{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }}=\left\langle \Psi \left( t \right)\,\left| \hat{A}\, \right|\,\Psi \left( t \right) \right\rangle </math> | :<math>{{\left\langle {\hat{A}} \right\rangle }_{t}}:={{\left\langle {\hat{A}} \right\rangle }_{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }}=\left\langle \Psi \left( t \right)\,\left| \hat{A}\, \right|\,\Psi \left( t \right) \right\rangle </math> | ||
: zur Zeit <math>{{t}_{0}}>0</math> | : zur Zeit <math>{{t}_{0}}>0</math> | ||
Wir haben | Wir haben | ||
<math>{{\left\langle {\hat{A}} \right\rangle }_{t}}=\left\langle \Psi \left( 0 \right){{e}^{\mathfrak{i} \hat{H}t}}\,\left| \hat{A}\, \right|\,{{e}^{-\mathfrak{i} \hat{H}t}}\Psi \left( 0 \right) \right\rangle =\left\langle \Psi \left( 0 \right)\,\underbrace{\left| {{e}^{\mathfrak{i} \hat{H}t}}\hat{A}{{e}^{-\mathfrak{i} \hat{H}t}} \right|}_{\tilde{A}}\,\Psi \left( 0 \right) \right\rangle </math> | :<math>{{\left\langle {\hat{A}} \right\rangle }_{t}}=\left\langle \Psi \left( 0 \right){{e}^{\mathfrak{i} \hat{H}t}}\,\left| \hat{A}\, \right|\,{{e}^{-\mathfrak{i} \hat{H}t}}\Psi \left( 0 \right) \right\rangle =\left\langle \Psi \left( 0 \right)\,\underbrace{\left| {{e}^{\mathfrak{i} \hat{H}t}}\hat{A}{{e}^{-\mathfrak{i} \hat{H}t}} \right|}_{\tilde{A}}\,\Psi \left( 0 \right) \right\rangle </math> | ||
also | also | ||
{{NumBlk|:| | {{NumBlk|:| | ||
<math>\tilde{A}\left( t \right):={{e}^{-\mathfrak{i} \hat{H}t}}\hat{A}{{e}^{-\mathfrak{i} \hat{H}t}}</math> | :<math>\tilde{A}\left( t \right):={{e}^{-\mathfrak{i} \hat{H}t}}\hat{A}{{e}^{-\mathfrak{i} \hat{H}t}}</math> | ||
(Zeitentwicklung von Operator | (Zeitentwicklung von Operator | ||
<math>\hat{A}</math> | :<math>\hat{A}</math> | ||
im Heisenbergbild) | |RawN=.}} | im Heisenbergbild) | |RawN=.}} | ||
Bemerkung: <math>\text{Ket}\quad \hat{B}\left| \Psi \right\rangle \mapsto \left\langle \Psi \right|{{\hat{B}}^{+}}\quad \quad Bra</math> | Bemerkung: <math>\text{Ket}\quad \hat{B}\left| \Psi \right\rangle \mapsto \left\langle \Psi \right|{{\hat{B}}^{+}}\quad \quad Bra</math> | ||
Skalarprodukt: Mathematiker: | Skalarprodukt: Mathematiker: | ||
<math>\left( \left| \Psi \right\rangle ,\left| \Phi \right\rangle \right)\equiv \left\langle \Psi | \Phi \right\rangle </math> | :<math>\left( \left| \Psi \right\rangle ,\left| \Phi \right\rangle \right)\equiv \left\langle \Psi | \Phi \right\rangle </math> | ||
:Physiker-Notation | :Physiker-Notation | ||
Es gibt also zwei <u>unitär Äquivalente</u> Arten der Zeitentwicklung | Es gibt also zwei <u>unitär Äquivalente</u> Arten der Zeitentwicklung | ||
Zeile 283: | Zeile 283: | ||
Im Heisenberg-Bild hat man die Bewegungsgleichung | Im Heisenberg-Bild hat man die Bewegungsgleichung | ||
{{NumBlk|:|Heisenberg-Bewegungsgleichung{{FB|Bewegungsgleichung:Heisenberg}} | {{NumBlk|:|Heisenberg-Bewegungsgleichung{{FB|Bewegungsgleichung:Heisenberg}} | ||
<math>{{d}_{t}}\hat{A}\left( t \right)=\mathfrak{i} \left[ \hat{H},\hat{A}\left( t \right) \right]</math> | :<math>{{d}_{t}}\hat{A}\left( t \right)=\mathfrak{i} \left[ \hat{H},\hat{A}\left( t \right) \right]</math> | ||
: |(2.31)|RawN=.}} | : |(2.31)|RawN=.}} | ||
Häufig schreibt man<math>{{\hat{A}}_{H}}\left( t \right)</math>, falls die Operatoren <math>\hat{A}</math>bereits im Schrödinger-Bild eine intrinsische Zeitabhängigkeit haben, z.B. durch zeitabhängige äußere Felder, d.h. | Häufig schreibt man<math>{{\hat{A}}_{H}}\left( t \right)</math>, falls die Operatoren <math>\hat{A}</math>bereits im Schrödinger-Bild eine intrinsische Zeitabhängigkeit haben, z.B. durch zeitabhängige äußere Felder, d.h. | ||
{{NumBlk|:| | {{NumBlk|:| | ||
<math>\hat{A}=\hat{A}\left( t \right)\Rightarrow {{\left\langle {\hat{A}} \right\rangle }_{t}}=\left\langle \Psi \left( t \right)\,\underbrace{\left| \hat{A}\left( t \right)\, \right|}_{\text{Intrinsisch}}\,\Psi \left( t \right) \right\rangle =\left\langle \Psi \left( 0 \right)\,\underbrace{\left| {{e}^{\mathfrak{i} \hat{H}t}}\hat{A}{{e}^{-\mathfrak{i} \hat{H}t}} \right|}_{{{{\hat{A}}}_{H}}\left( t \right)}\,\Psi \left( 0 \right) \right\rangle </math> | :<math>\hat{A}=\hat{A}\left( t \right)\Rightarrow {{\left\langle {\hat{A}} \right\rangle }_{t}}=\left\langle \Psi \left( t \right)\,\underbrace{\left| \hat{A}\left( t \right)\, \right|}_{\text{Intrinsisch}}\,\Psi \left( t \right) \right\rangle =\left\langle \Psi \left( 0 \right)\,\underbrace{\left| {{e}^{\mathfrak{i} \hat{H}t}}\hat{A}{{e}^{-\mathfrak{i} \hat{H}t}} \right|}_{{{{\hat{A}}}_{H}}\left( t \right)}\,\Psi \left( 0 \right) \right\rangle </math> | ||
: |(2.32)|RawN=.}} | : |(2.32)|RawN=.}} | ||
so dass <font color="#3300CC">'''''(CHECK)'''''</FONT> | so dass <font color="#3300CC">'''''(CHECK)'''''</FONT> | ||
{{NumBlk|:| | {{NumBlk|:| | ||
<math>{{d}_{t}}{{\hat{A}}_{H}}\left( t \right)=i\left[ \hat{H},\hat{A}\left( t \right) \right]+{{e}^{\mathfrak{i} \hat{H}t}}\underbrace{{{d}_{t}}\hat{A}\left( t \right)}_{\text{intrinsisch}}{{e}^{-\mathfrak{i} \hat{H}t}}</math> | :<math>{{d}_{t}}{{\hat{A}}_{H}}\left( t \right)=i\left[ \hat{H},\hat{A}\left( t \right) \right]+{{e}^{\mathfrak{i} \hat{H}t}}\underbrace{{{d}_{t}}\hat{A}\left( t \right)}_{\text{intrinsisch}}{{e}^{-\mathfrak{i} \hat{H}t}}</math> | ||
: |(2.33)|RawN=.}} | : |(2.33)|RawN=.}} | ||
Zeile 298: | Zeile 298: | ||
Hier betrachten wir | Hier betrachten wir | ||
{{NumBlk|:| | {{NumBlk|:| | ||
<math>\hat{H}\left( t \right)=\underline{B}\left( t \right)\underline{\sigma }=\left( \begin{matrix} | :<math>\hat{H}\left( t \right)=\underline{B}\left( t \right)\underline{\sigma }=\left( \begin{matrix} | ||
{{B}_{z}}\left( t \right) & B_{||}^{*}\left( t \right) \\ | {{B}_{z}}\left( t \right) & B_{||}^{*}\left( t \right) \\ | ||
B_{||}^{*}\left( t \right) & -{{B}_{z}}\left( t \right) \\ | B_{||}^{*}\left( t \right) & -{{B}_{z}}\left( t \right) \\ | ||
Zeile 309: | Zeile 309: | ||
mit Konstante <math>-\frac{e\hbar }{2m}\to 1</math> und Separation des Ortes (<u>x</u>) und Spin Freiheitsgrade | mit Konstante <math>-\frac{e\hbar }{2m}\to 1</math> und Separation des Ortes (<u>x</u>) und Spin Freiheitsgrade | ||
{{NumBlk|:| | {{NumBlk|:| | ||
<math>\varphi \left( \underline{x},t \right)=\underbrace{\Psi \left( \underline{x},t \right)}_{\text{Orts-WF}}\underbrace{\left( \begin{align} | :<math>\varphi \left( \underline{x},t \right)=\underbrace{\Psi \left( \underline{x},t \right)}_{\text{Orts-WF}}\underbrace{\left( \begin{align} | ||
& {{\chi }_{1}}\left( t \right) \\ | & {{\chi }_{1}}\left( t \right) \\ | ||
& {{\chi }_{2}}\left( t \right) \\ | & {{\chi }_{2}}\left( t \right) \\ | ||
Zeile 316: | Zeile 316: | ||
in Dirac-Schreibweise | in Dirac-Schreibweise | ||
{{NumBlk|:| | {{NumBlk|:| | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \left| \varphi \left( t \right) \right\rangle \quad =\quad \left| \Psi \left( t \right) \right\rangle \quad \otimes \quad \left| \chi \left( t \right) \right\rangle \\ | & \left| \varphi \left( t \right) \right\rangle \quad =\quad \left| \Psi \left( t \right) \right\rangle \quad \otimes \quad \left| \chi \left( t \right) \right\rangle \\ | ||
& \mathcal{H}\quad =\quad {{\mathcal{H}}_{Ort}}\quad \otimes \quad {{\mathcal{H}}_{Spin}} \\ | & \mathcal{H}\quad =\quad {{\mathcal{H}}_{Ort}}\quad \otimes \quad {{\mathcal{H}}_{Spin}} \\ | ||
Zeile 338: | Zeile 338: | ||
# <math>\underline{B}=\text{const}\Rightarrow </math>quantenmechanische Ozillatoren | # <math>\underline{B}=\text{const}\Rightarrow </math>quantenmechanische Ozillatoren | ||
Eigenwerte von <math>\hat{H}</math> sind | Eigenwerte von <math>\hat{H}</math> sind | ||
<math>{{\varepsilon }_{\pm }}=\pm \left| {\underline{B}} \right|\quad \left| {\underline{B}} \right|=\sqrt{B_{z}^{2}+{{\left| {{B}_{||}} \right|}^{2}}}</math> | :<math>{{\varepsilon }_{\pm }}=\pm \left| {\underline{B}} \right|\quad \left| {\underline{B}} \right|=\sqrt{B_{z}^{2}+{{\left| {{B}_{||}} \right|}^{2}}}</math> | ||
(CHECK) | (CHECK) | ||
Zeitentwicklung <math>U\left( t,0 \right)={{e}^{-i\hat{H}t}}=S{{e}^{-iDt}}{{S}^{-1}}</math>mit <math>D=diag\left( {{\varepsilon }_{+}},{{\varepsilon }_{-}} \right)</math> | Zeitentwicklung <math>U\left( t,0 \right)={{e}^{-i\hat{H}t}}=S{{e}^{-iDt}}{{S}^{-1}}</math>mit <math>D=diag\left( {{\varepsilon }_{+}},{{\varepsilon }_{-}} \right)</math> | ||
Alternativer Lösungsweg: Ansatz | Alternativer Lösungsweg: Ansatz | ||
<math>{{\chi }_{j}}\left( t \right)={{c}_{j}}{{e}^{izt}}</math> | :<math>{{\chi }_{j}}\left( t \right)={{c}_{j}}{{e}^{izt}}</math> | ||
in (siehe b) | in (siehe b) | ||
# Rotierende B-Feld Rabi-Oszillationen | # Rotierende B-Feld Rabi-Oszillationen | ||
Hier | Hier | ||
{{NumBlk|:| | {{NumBlk|:| | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& {{B}_{z}}={{B}_{0}}=\text{const} \\ | & {{B}_{z}}={{B}_{0}}=\text{const} \\ | ||
& {{B}_{||}}={{B}_{1}}{{e}^{\mathfrak{i} \omega t}}=\underbrace{{{B}_{1}}\cos \omega t}_{{{B}_{x}}}+\mathfrak{i} \underbrace{{{B}_{1}}\sin \omega t}_{{{B}_{y}}}\quad {{B}_{1}}\in \mathbb{R} \\ | & {{B}_{||}}={{B}_{1}}{{e}^{\mathfrak{i} \omega t}}=\underbrace{{{B}_{1}}\cos \omega t}_{{{B}_{x}}}+\mathfrak{i} \underbrace{{{B}_{1}}\sin \omega t}_{{{B}_{y}}}\quad {{B}_{1}}\in \mathbb{R} \\ | ||
Zeile 353: | Zeile 353: | ||
: |(2.38)|RawN=.}} | : |(2.38)|RawN=.}} | ||
<math>{{B}_{||}}</math> | :<math>{{B}_{||}}</math> | ||
rotiert in x-y-Ebene „Drehwellenmodelle“ | rotiert in x-y-Ebene „Drehwellenmodelle“ | ||
{{NumBlk|:| <math>\begin{align} | {{NumBlk|:| <math>\begin{align} | ||
Zeile 366: | Zeile 366: | ||
: mit | : mit | ||
{{NumBlk|:| | {{NumBlk|:| | ||
<math>{{\Omega }_{R}}:=\sqrt{{{\left( 2{{B}_{0}}-\omega \right)}^{2}}+4B_{1}^{2}}</math> | :<math>{{\Omega }_{R}}:=\sqrt{{{\left( 2{{B}_{0}}-\omega \right)}^{2}}+4B_{1}^{2}}</math> | ||
: |(2.40)|RawN=.}} | : |(2.40)|RawN=.}} | ||
Damit zwei linear unabhängige Lösungen für <math>{{\chi }_{2}}\left( t \right),{{\chi }_{1}}\left( t \right)</math> | Damit zwei linear unabhängige Lösungen für <math>{{\chi }_{2}}\left( t \right),{{\chi }_{1}}\left( t \right)</math> | ||
{{NumBlk|:| | {{NumBlk|:| | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& {{\chi }_{2}}\left( t \right)={{c}_{+}}{{e}^{\mathfrak{i} \left( \frac{\omega }{2}+\frac{{{\Omega }_{R}}}{2} \right)t}}+{{c}_{-}}{{e}^{\mathfrak{i} \left( \frac{\omega }{2}-\,\frac{{{\Omega }_{R}}}{2} \right)t}}\quad {{c}_{\pm }}\in \mathbb{C} \\ | & {{\chi }_{2}}\left( t \right)={{c}_{+}}{{e}^{\mathfrak{i} \left( \frac{\omega }{2}+\frac{{{\Omega }_{R}}}{2} \right)t}}+{{c}_{-}}{{e}^{\mathfrak{i} \left( \frac{\omega }{2}-\,\frac{{{\Omega }_{R}}}{2} \right)t}}\quad {{c}_{\pm }}\in \mathbb{C} \\ | ||
& ={{e}^{\mathfrak{i} \omega t}}\left\{ \alpha \cos \frac{{{\Omega }_{R}}}{2}+\beta \sin \frac{{{\Omega }_{R}}}{2} \right\}\quad \alpha ,\beta \in \mathbb{C} | & ={{e}^{\mathfrak{i} \omega t}}\left\{ \alpha \cos \frac{{{\Omega }_{R}}}{2}+\beta \sin \frac{{{\Omega }_{R}}}{2} \right\}\quad \alpha ,\beta \in \mathbb{C} |
Version vom 12. September 2010, 16:39 Uhr
Der Artikel Formaler Aufbau der Quantenmechanik basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 2.Kapitels (Abschnitt 0) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes. |
Formaler Aufbau der Quantenmechanik | Formaler Aufbau der Quantenmechanik | |
---|---|---|
Die Abfrage enthält eine leere Bedingung.
Ein Anfang der Quantenmechanik ist der Kommutator
(2.1)
mit den OperatorenOrtsoperator (Ort) (ImpulsImpulsoperator), einer Unschärferelation
(2.2)
und quantenmechanischen Zuständen, die mit Wellenfunktionen, z.B. beschrieben werden. Diese Zustände sind Elemente eines Hilbertraums, auf dem die Operatoren der Messgrößen operieren.
Hilbertraum
Definition (2.3)
- Ein Hilbertraum ist ein vollständiger unitärer Raum.
Definition (2.4)
- Ein Vektorraum mit Skalarprodukt und (induzierter)
Norm heißt unitärer Raum.
Definition (2.5)
- Eine Norm' eines komplexen Vektorraums V ist ein Abbildung , so dass für gilt '
Definition (2.6)
- Ein Skalarprodukt' eines Vektorraums V ist eine Abbildung , so dass für gilt: '
Definition (2.7)
- Ein Folge in einem normierten Raum heißt Cauchy-Folge, falls ganz so dass .
Definition (2.8)
- Ein unitärer Raum, in dem jede Cauchy-Folge konvergiert heißt vollständigvollständiger unitärer Raum.
Beispiele:
- Hilbertraum , n-dimensionaler komplexer Vektorraum mit Basis .
- Hilbertraum der quadratintegrierbaren Wellenfunktionen eines Potentialtopfes mit unendlich hohen Wänden in 1 Dimension
auf
Basis (2.9)
Skalarprodukt
vergleich mit
(AUFGABE):
- Definiere mit
- bestimme N so dass
- Beweise die Formel
- Beweise die Cauchy-Scharz Ungleichung für
Definition: vollständiges Orthogonalsystem eins HR
und
(2.10)
Satz (Parseval)
(2.11)
Bemerkung:
- Vollständige „normierte Räume“ heißen BanachräumeBanachraum (haben kein Skalarprodukt)
- Mehr Details: Funktionalanalysis z.B. Bornstein/Senendajew Taschenbuch der Mathematik, ergänzende Kapitel
Dirac-Notation
Bequeme Notation für Ψ, Skalarprodukte etc. eines Hilbertraum
Zustände - „Ket“, „Dirac-Ket“
(2.12)
- Skalarprodukt von
- VollständigkeitsrelationVollständigkeitsrelation für Basis
„vollständige Eins“ (2.13)
- Dualraum und Bra-Zustände
Dualraum eines Hilbertraum : Raum aller linearen Funktionale
(2.14)
Vektor als Funktional aufgefasst wie in (2.14) heißt „Dirac-Bra“ oder einfach „Bra“ Name von engl. ‚bracket‘ Geometrische Interpretation im :
- alsKets: normale Vektoren
- alsBras: als Abbildung, z.B. Projektion auf 3-Achse Basis für Dualraum , d.h. jedes Funktional (Projektion) als Linearkombination
- „Tricks“: Dirac-Notation sehr flexibel, z.B.
- „Einschieben der Eins“
Operatoren in der Quantenmechanik
Definition: Ein linearer Operator' ( Hilbertraum), erfüllt
'(2.15)
Beispiele:
für
- n x n-Matrizen auf
- ist in der Tat der einfachste nichttriviale Hilbertraum, auf dem sich Quantenmechanik machen lässt! Beispiel Spin ½ , Pauli-Matrizen.
Definition Der Erwartungswert eines Operators im Zustand ist
(2.16)
Definition (2.17)
- Matrixelement eines Operators
Beispiele Wellenfunktion des eindimensionalen Oszillators, normiert.
Dann ist
Definition (2.18)
- Der zu einem linearen Hilbertraum-Operator A adjungierte Operatoradjungierter Operator' A+ ist definiert durch '
Definition (2.19)
- Ein linearer Operator heißt hermitesch (selbstadjungiert)[1], wenn
Axiom: In der Quantenmechanik werden physikalische Messgrößen als Observable bezeichnet und durch selbstadjungierte Operatoren auf einem Hilbertraum dargestellt.
- Energie Hamiltonoperator
(2.20)
für nichtrelativistische Teilchen der Masse
- Ort , Impuls , DrehimpulsDrehimpuls
- Spin ½ (Helizität) in Richtung für Dirac-Teilchen,
vgl. Satz: Die Eigenwerte selbstadjungierter Operatoren sind reell die Eigenkets sind orthogonal. Damit erhält man die Spektralzerlegung von Operatoren nach seinen Eigenzuständen, d.h.
(2.21)
mit dem orthogonalen Projektor auf Unterraum der von den Eigenvektoren zum Eigenwert an aufgespannt wird. Falls an nicht entartet, gilt
,normiert. Axiom: Die möglichen Messwerte einer Observablen  im Zustand sind die Eigenwerte an, die mit Wahrscheinlichkeit
(2.22)
auftreten. Wird an gemessen, so geht instantan in über („Kopenhagener Deutung“, „Reduktion des Wellenpakets“).
Das Zweiniveausystem als einfachstes Quantensystem
Wir betrachten ein Teilchen, das zwischen zwei Potentialmulden (L links) und (R rechts) hin und her-tunnelt. In grober Vereinfachung betrachten wir nur die Energie der tiefsten Zustände links und rechts und
Ohne tunneln wäre der Hamiltonoperator für dieses vereinfachte System
(2.23)
Im Matrix- Schreibweise als Qubit im Hilbertraum
(2.24)
Den (komplizierten) Tunneleffekt bestreiben wir vereinfacht durch ein „effektives Potential“ in , d.h. durch den
Tunnel-Operator (2.25)
Den Gesamt-Hamilton-Operator beschreiben wir durch die Summe
(2.26)
AUFGABEN…
Zeitentwicklung in der Quantenmechanik
Ausgangspunkt: Bewegungsgleichung (Schrödinger, Dirac) der Form
(2.27)
Hier ist
zeitabhängig und auch der Hamiltonian
kann zeitabhängig sein, z.B. (zeitabhängiges Potential)
Zeitunabhängiger Hamiltonian
In diesem Fall formale Lösung von (2.27) durch
(2.28)
als Anfangswertproblem mit dem
(2.29)
Û ist unitär, , denn ist selbstadjungiert Die Zeitentwicklung
ist eine unitäre Transformation. Erwartungswerte von der Observabelen Â
- zur Zeit ( normiert.)
- zur Zeit
Wir haben
also
(Zeitentwicklung von Operator
im Heisenbergbild)
Bemerkung: Skalarprodukt: Mathematiker:
- Physiker-Notation
Es gibt also zwei unitär Äquivalente Arten der Zeitentwicklung
- „Schrödinger-Bild“ Operatoren fest, Zustände zeitabhängig
- „Heisenberg-Bild“ Zustand fest (Anfangszustand), Operatoren zeitabhängig
Im Heisenberg-Bild hat man die Bewegungsgleichung
Heisenberg-BewegungsgleichungBewegungsgleichung:Heisenberg (2.31)
Häufig schreibt man, falls die Operatoren bereits im Schrödinger-Bild eine intrinsische Zeitabhängigkeit haben, z.B. durch zeitabhängige äußere Felder, d.h.
(2.32)
so dass (CHECK)
(2.33)
Zeitabhängiger Hamiltonian: Spin ½, 2 Niveausystem, NMR
Die meisten Fälle mit zeitabhängigem sind exakt nicht mehr lösbar. Hier betrachten wir
(2.34)
zum Beispiel für einen Spin ½, beschrieben durch den -Vektor der Pauli-Matrizen, in einem zeitabhängigen B-Feld
- Hilbertraum hier
- (2.34) einfaches Modell für Spin ½ Freiheitsgrad z.B. ein Elektron in der Pauli-Gleichung
- (1.44)
mit Konstante und Separation des Ortes (x) und Spin Freiheitsgrade
(2.35)
in Dirac-Schreibweise
(2.36)
mit (Hilbertraum der Quadratintegrabelen Funktionen auf ) und . Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung für (2.34)
(2.37)
kann für zeitabhängige i.A. nur numerische gelöst werden. AUFGABE: schreiben Sie eine Code, der (2.37) löst, und diskutiere die Physik die damit beschrieben wird. Spezialfälle von (2.37) können analytisch gelöst werden
- quantenmechanische Ozillatoren
Eigenwerte von sind
(CHECK) Zeitentwicklung mit Alternativer Lösungsweg: Ansatz
in (siehe b)
- Rotierende B-Feld Rabi-Oszillationen
Hier
(2.38)
rotiert in x-y-Ebene „Drehwellenmodelle“
(2.39)
Nichttriviale Lösung von (2.39) für
- mit
(2.40)
Damit zwei linear unabhängige Lösungen für
(2.41)
für entsprechen: Koeffizienten für hängen über (2.37) zusammen. Aufgabe: 1 Fall b) lösen für und diskutieren.
- ↑ i.A. ungleich (der Unterscheid ist manchmal wichtig)