Warum betreibt man statistische Physik
Vorlage:Frage
Beschreibung von Vielteilchensystemen → viele Freiheitsgrade→unmöglich Lösung anzugeben
Mangel an Informationen → Mangel an Fragen
Ziel Gesetzte für makroskopische/mikroskopische Systemvariablen unter Einfluss externer Felder finden
Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Quantenmechanischen Zustände
Ψ
i
{\displaystyle \Psi _{i}}
)
BILD
G
ν
{\displaystyle G_{\nu }}
als Funktion von
λ
ν
,
h
α
{\displaystyle \lambda _{\nu },h_{\alpha }}
auffassen
Viele mikrozustände führen zum selben makrozustand
siehe auch [1]
Was sind die Konzepte der statistischen Physik
-Konzept zur Mittelung von Vielteilchensystemen.
Shannon Information: Maß für Informationsgehelt von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Entropie: Maß des Nichtwissens-
Shannon Information
Shannon Information
I
[
p
α
]
:=
∑
α
p
α
ln
p
α
{\displaystyle I\left[p_{\alpha }\right]:=\sum _{\alpha }p_{\alpha }\operatorname {ln} p_{\alpha }}
[2]
I
[
p
α
]
≤
0
{\displaystyle I\left[p_{\alpha }\right]\leq 0}
p
α
=
0
→
I
[
p
α
]
=
0
{\displaystyle {{p}_{\alpha }}=0\to I\left[{{p}_{\alpha }}\right]=0}
maximal bei scharfer Verteilung
Minimierung der Shannon-Information
Schöll S21
λ
=
−
(
Ψ
+
1
)
{\displaystyle \lambda =-(\Psi +1)}
Variation unter NB
∑
α
p
α
=
1
{\displaystyle \sum _{\alpha }p_{\alpha }=1}
ist eine Observable
Annahme N_m andere Observable
D[x Log[x], x]=Log[x]+1
0
=
∑
α
δ
p
α
(
ln
p
α
+
1
+
∑
n
=
1
N
M
λ
n
A
α
n
)
{\displaystyle 0=\sum _{\alpha }\delta p_{\alpha }\left(\operatorname {ln} p_{\alpha }+1+\sum _{n=1}^{N_{M}}\lambda _{n}A_{\alpha }^{n}\right)}
[3]
p
α
=
e
x
p
(
Ψ
−
λ
n
A
α
n
)
{\displaystyle p_{\alpha }=exp(\Psi -\lambda _{n}A_{\alpha }^{n})}
Ψ
=
−
1
−
λ
0
{\displaystyle \Psi =-1-\lambda _{0}}
verallgmeinerte kanonische Verteilung
?Volumenabhängigkeit
--> Beispiel Fermigas Stufenfunktion
--> größeres Volumen mehr zustände
--> verteilungsfunktion verschiebt sich nach links
Entropie
Über negative Shannon Info *k
S
:=
−
k
I
[
p
α
]
=
−
k
∑
α
p
α
ln
p
α
{\displaystyle S:=-kI\left[p_{\alpha }\right]=-k\sum _{\alpha }p_{\alpha }\operatorname {ln} p_{\alpha }}
[4]
Über Dichtematrix/operator
S
:=
−
k
⟨
ln
ρ
⟩
=
−
k
Tr
(
ln
ρ
⟩
=
−
k
∑
α
p
α
ln
p
α
{\displaystyle S:=-k\left\langle \operatorname {ln} \rho \right\rangle =-k\operatorname {Tr} \left(\operatorname {ln} \rho \right\rangle =-k\sum _{\alpha }p_{\alpha }\operatorname {ln} p_{\alpha }}
Minimum bei reinen Zuständen?
S
(
ρ
)
≥
0
{\displaystyle S(\rho )\geq 0}
TD
d
S
=
d
Q
T
{\displaystyle dS={\frac {dQ}{T}}}
Bose-Einstein-Kondensation
Dichteoperator f kanonisches Ensemble
ρ
=
∑
a
l
p
h
a
p
α
k
e
t
b
r
a
α
α
{\displaystyle \rho =\sum _{a}lphap_{\alpha }ketbra{\alpha }{\alpha }}
\alpha Eigenstate
p
α
=
1
Z
e
x
p
(
−
β
ϵ
α
)
{\displaystyle p_{\alpha }={\frac {1}{Z}}exp(-\beta \epsilon _{\alpha })}
Z Zustandssumme
Bose-Verteilung
⟨
n
(
E
)
⟩
=
1
e
β
(
E
−
μ
)
−
1
{\displaystyle \left\langle n(E)\right\rangle ={\frac {1}{e^{\beta (E-\mu )}-1}}}
,
β
=
1
k
T
{\displaystyle \beta ={\frac {1}{kT}}}
Bei Photonen µ=0
hohe Temperatur ?
Kurve schneidet Y nicht
Fermi-Verteilung
⟨
n
(
E
)
⟩
=
1
e
β
(
E
−
μ
)
+
1
{\displaystyle \left\langle n(E)\right\rangle ={\frac {1}{e^{\beta (E-\mu )}+1}}}
,
β
=
1
k
T
{\displaystyle \beta ={\frac {1}{kT}}}
T=0 Fermi Energie
µ→E_f bei T=0 und als Fermienergie bezeichnet
Boltzmann-Verteilung
⟨
n
(
E
i
)
⟩
=
1
e
β
(
E
i
−
μ
)
{\displaystyle \langle n(E_{i})\rangle ={\frac {1}{e^{\beta (E_{i}-\mu )}}}}
Schneidet bei 1
ideales Gas (kein eWW)
Chemisches Potential?
klassischer Grenzfall geringe Teilchendichte, hohe Temperatur
gilt bei hoher Energie und geringer dichte
photonen haben kein ch potential
Wärmekapazität
Speicherfähigkeit der thermischen Energie pro Temperaturänderung
C
X
=
δ
Q
d
T
|
X
{\displaystyle C_{X}=\left.{\frac {\delta Q}{\mathrm {d} T}}\right|_{X}}
?Elektronen
?Photonen
schwarzer strahler sigma t⁴ fürht zu t³
?klassisch
Freiheitsgrade über T für 2-Atomiges Gas
GKSO
gerneralisierter kanonischer statistischer Operator
?Zustandssumme
Zustandssumme
kanonische Verteilung
Z
=
e
ψ
=
e
1
+
λ
0
=
∑
α
e
−
λ
n
A
α
n
{\displaystyle Z=e^{\psi }=e^{1+\lambda _{0}}=\sum _{\alpha }e^{-\lambda _{n}A_{\alpha }^{n}}}
[5]
Z
k
(
N
,
V
,
T
)
=
∑
i
e
−
β
E
i
.
Z
g
k
(
μ
,
V
,
T
)
=
∑
i
e
−
β
(
E
i
−
μ
N
i
)
Z
m
(
U
,
N
,
V
)
=
∑
E
ψ
(
N
,
V
)
≤
U
1
Z
m
(
U
,
N
,
V
)
=
∫
H
(
p
,
q
,
N
,
V
)
≤
U
d
3
N
p
d
3
N
q
h
3
N
N
!
{\displaystyle {\begin{aligned}Z_{k}(N,V,T)&=\sum _{i}\mathrm {e} ^{-\beta E_{i}}.\\Z_{gk}(\mu ,V,T)&=\sum _{i}\mathrm {e} ^{-\beta (E_{i}-\mu N_{i})}\\Z_{\mathrm {m} }(U,N,V)&=\sum _{E_{\psi }(N,V)\leq U}1\\Z_{\mathrm {m} }(U,N,V)&=\int \limits _{H(p,q,N,V)\leq U}\!\!\!{\frac {d^{3N}p\;d^{3N}q}{h^{3N}N!}}\end{aligned}}}
Wie kann man Potentiale berechnen?
S
(
N
,
V
,
E
)
=
k
B
log
Z
m
(
N
,
V
,
E
)
F
(
N
,
V
,
T
)
=
−
k
B
T
log
Z
k
(
N
,
V
,
T
)
Ω
(
μ
,
V
,
T
)
=
−
k
B
T
log
Z
g
(
μ
,
V
,
T
)
{\displaystyle {\begin{aligned}S(N,V,E)&=k_{\mathrm {B} }\,\log Z_{m}(N,V,E)\\F(N,V,T)&=-k_{\mathrm {B} }T\,\log Z_{k}(N,V,T)\\\Omega (\mu ,V,T)&=-k_{\mathrm {B} }T\,\log Z_{g}(\mu ,V,T)\end{aligned}}}
[1]
Zustandsgleichung
Wie erhält man sie
leite P
leite Potential nach Volumen ab --> p
Zustandsdichte
Die Zustandsdichte D(E) bzw. D(ω) ist eine physikalische Größe, die angibt, wie viele Zustände innerhalb des Energie- bzw. Frequenzintervalls [E,E + dE] bzw. [ω,ω + dω] existieren.
D
(
E
)
=
2
⋅
d
d
E
(
N
(
E
)
V
)
mit
V
=
L
x
⋅
L
y
⋅
L
z
.
{\displaystyle D(E)=2\cdot {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} E}}\left({\frac {N(E)}{V}}\right)\qquad {\text{mit}}\qquad V=L_{\mathrm {x} }\cdot L_{\mathrm {y} }\cdot L_{\mathrm {z} }\quad .}
[2]
Enthalpie
H
:=
U
+
p
V
:=
U
(
S
,
V
,
N
)
−
∂
U
∂
V
S
,
N
V
{\displaystyle H:=U+pV:=U(S,V,N)-{\frac {\partial U}{\partial V}}_{S,N}V}
[6]
[7]
d
H
=
T
d
S
+
V
d
p
+
μ
d
N
{\displaystyle dH=TdS+Vdp+\mu dN}
dU: änderung der inneren Energie
d(pV) Änderung der Volumenarbeit
Freie Energie
Von Variablen Volumen Temperatur und Teilchenzahl abhängig
Zusammenhang mit Zustandssumme
F
(
T
,
V
,
N
)
−
k
T
ln
Z
k
{\displaystyle F(T,V,N)-kT\operatorname {ln} Z_{k}}
also dem kanonischen Ensemble zugeordnet
thermodynamisches Potential
Großkanonisches Potential
[3]
Ω
:=
F
−
μ
N
=
U
−
T
S
−
μ
N
{\displaystyle \Omega :=\ F-\mu N=U-TS-\mu N}
dΩ = − SdT − Ndμ − pdV
Ω = − pV.
thermische Wellenlänge
f ideales Gas
λ
=
h
2
π
m
h
T
,
E
=
π
h
T
{\displaystyle \lambda ={\frac {h}{\sqrt {2\pi mhT}}},E=\pi hT}
?
Temperatur
T
−
1
=
∂
S
∂
E
{\displaystyle T^{-1}={\frac {\partial S}{\partial E}}}
mikroskopisches Ensemble
chemisches Potential
-Einschränkung: Bosegas nur kleiner 0 Zulässig
Dichtematrixgleichung
Gleichgewicht
Zeitabhängigkeite 0 äussere Felder konstat
anschaulich keine Übergänge finden statt
herleitung
Lösunge der Dichtematrixgleichung F. GoldenRule
Mittelwert
⟨
f
(
X
)
⟩
=
∑
n
=
1
d
p
n
f
(
x
n
)
=
∫
−
∞
∞
d
x
p
(
x
)
f
(
x
)
{\displaystyle \left\langle f\left(X\right)\right\rangle =\sum \limits _{n=1}^{d}{{{p}_{n}}f\left({{x}_{n}}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{dxp\left(x\right)f\left(x\right)}}}
mit delta verknüpft
für das normalerweise gilt
lim
ε
−
>
0
1
ε
p
(
x
ε
)
=
δ
(
x
)
{\displaystyle {\underset {\varepsilon ->0}{\mathop {\lim } }}\,{\frac {1}{\varepsilon }}p\left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)=\delta \left(x\right)}
[8]
Ensemble Theorie
Liste:
mikrokanonisch N,V,E
kanonisch NTV →F
großkanonisch µ V T \Omeaga
(kanonisch harmonisch) N P T
Skizzen
Hohlraumstrahlung
Plancksche Strahlungsformel
-herleitung: scon schön mgl kanonischem ensemble zumme über zustände im hamiltonian
spin der Photonen beachten (polarisationszustand)
Zustandsdglichungen der Photonen E=const T^4 p=1/3E/V
Potentialtopf
ϵ
n
=
ℏ
2
π
2
2
m
L
2
{\displaystyle \epsilon _{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}}
φ
n
(
r
→
)
=
2
L
sin
(
n
x
π
L
x
)
2
L
sin
(
n
y
π
L
y
)
2
L
sin
(
n
z
π
L
z
)
{\displaystyle {{\varphi }_{n}}\left({\vec {r}}\right)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {{{n}_{x}}\pi }{L}}x\right){\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {{{n}_{y}}\pi }{L}}y\right){\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {{{n}_{z}}\pi }{L}}z\right)}
mit
∑
k
≜
(
L
2
π
)
3
∫
d
3
k
{\displaystyle {{\sum }_{k}}\triangleq {{\left({\frac {L}{2\pi }}\right)}^{3}}\int {{{d}^{\text{3}}}k}}
φ
k
→
=
1
V
e
i
k
→
.
r
→
,
k
i
=
2
π
L
m
i
,
m
i
∈
Z
k
→
.
r
→
=
∑
i
k
i
x
i
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\varphi }_{\vec {k}}}={\frac {1}{\sqrt {V}}}{{e}^{i{\vec {k}}.{\vec {r}}}},{{k}_{i}}={\frac {2\pi }{L}}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb {Z} \\&{\vec {k}}.{\vec {r}}=\sum \limits _{i}{{{k}_{i}}{{x}_{i}}}\\\end{aligned}}}
Quantentheoretischer Zugang
Druck
p
=
∂
F
∂
V
{\displaystyle p={\frac {\partial F}{\partial V}}}
isoliertes System:
p
=
−
∂
E
∂
V
{\displaystyle p=-{\frac {\partial E}{\partial V}}}
[9] Energie,Volumen
kanonisches Ensemble
Dichteoperator \rho=Z^{-1} e^{-\beta H}
N,V Fest
μ
=
1
β
∂
N
l
n
Z
{\displaystyle \mu ={\frac {1}{\beta }}\partial _{N}lnZ}
Energieeigenmwerte \epsilon_r
Z
=
∑
r
e
x
p
(
−
β
ϵ
r
)
{\displaystyle Z=\sum _{r}exp(-\beta \epsilon _{r})}
mikrokanonisches Ensemble (Definition)
Konstanz der Gesamtenergie
Übergang Stat M zu Thermodyn
1/T=dS/dE
von Neumann Gleichung
Mastergleichung
statistischer Operator
Entropiedefinition
Interpreation
Großkanonischer Operator
Was kann man damit bereichen
Skizze zu Wärmebad und Teilchenreservoir
siehe auch
↑ Brandes,T, Thermodynamik und Statistische Physik , Vorlesung, TU-Berlin, Wintersemester 2006/2007, (Kap 5.2)
↑ Brandes,T, Thermodynamik und Statistische Physik , Vorlesung, TU-Berlin, Wintersemester 2006/2007, Gleichung (5.4.5) (S 45)
↑ Brandes,T, Thermodynamik und Statistische Physik , Vorlesung, TU-Berlin, Wintersemester 2006/2007, Gleichung 5.4.13 (Kap 5.4.3 S46)
↑ Brandes,T, Thermodynamik und Statistische Physik , Vorlesung, TU-Berlin, Wintersemester 2006/2007, Gleichung (5.5.7) (S 48)
↑ Brandes,T, Thermodynamik und Statistische Physik , Vorlesung, TU-Berlin, Wintersemester 2006/2007, Gleichung 5.4.15 (S47)
↑ Brandes,T, Thermodynamik und Statistische Physik , Vorlesung, TU-Berlin, Wintersemester 2006/2007, Gleichung 3.6.1 (S27)
↑ Brandes,T, Thermodynamik und Statistische Physik , Vorlesung, TU-Berlin, Wintersemester 2006/2007, Gleichung 1.5.2 (S9)
↑ Brandes,T, Thermodynamik und Statistische Physik , Vorlesung, TU-Berlin, Wintersemester 2006/2007, Gleichung 5.3.8
↑ Brandes,T, Thermodynamik und Statistische Physik , Vorlesung, TU-Berlin, Wintersemester 2006/2007, Gleichung 1.2.1 (S4)