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| <math>hello</math> | | <math>hello</math> |
| == Rotation in kartesischen Koordinaten ==
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| Seien <math>(x,y,z)</math> die [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinaten]] des dreidimensionalen euklidischen Raumes und <math>\mathbf e_x\,,</math> <math>\mathbf e_y</math> und <math>\mathbf e_z</math> die normierten, zueinander senkrechten Basisvektoren, die an jedem Punkt in Richtung der zunehmenden Koordinaten zeigen.
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| Die Rotation eines dreidimensionalen, differenzierbaren Vektorfeldes
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| : <math>\mathbf F(x,y,z)=F_x(x,y,z)\, \mathbf e_x + F_y(x,y,z)\,\mathbf e_y + F_z(x,y,z)\,\mathbf e_z </math>
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| ist das dreidimensionale Vektorfeld
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| :<math>
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| \mathbf{\operatorname{rot}}\,
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| \mathbf F(x,y,z) =
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| \left (\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right )\mathbf e_x
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| +
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| \left (\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right )\mathbf e_y
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| +
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| \left (\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right )\mathbf e_z
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| \,.</math>
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| Als Merkregel kann man <math>\operatorname{rot}\, \mathbf F</math> als [[Determinante (Mathematik)|Determinante]] einer Matrix auffassen, deren erste Spalte die kartesischen Basisvektoren enthält, die zweite die partiellen Ableitungen nach den kartesischen Koordinaten und die dritte die zu differenzierenden Komponentenfunktionen
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| :<math>\operatorname{rot}\,\mathbf F =\operatorname{det}\,
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| \begin{pmatrix}
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| \mathbf e_x & \frac{\partial}{\partial x} & F_x\\
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| \mathbf e_y & \frac{\partial}{\partial y} & F_y\\
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| \mathbf e_z & \frac{\partial}{\partial z} & F_z
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| \end{pmatrix}\,.
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| </math>
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