Zeitabhängige Störungsrechnung

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Zeitabhängige Störungsrechnung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 1) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Zeitabhängige Störungsrechnung	Näherungsmethoden
	Zeitabhängige Störungsrechnung Induzierte Emission und Absorption von Lichtquanten in Atomen Zeitunabhängige Störungsrechnung ohne Entartung Zeitunabhängige Störungsrechnung bei Entartung Stark Effekt im H- Atom Homöopolare chemische Bindung des Wasserstoffmoleküls Variationsverfahren	Schrödingsche Wellenmechanik Formalisierung der Quantenmechanik Drehimpuls Spin und Systeme identischer Teilchen Näherungsmethoden Streutheorie Relativistische Quntenmechanik

(Dirac)

Es soll die zeitliche Entwicklung eines Zustandes ${{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}$ aus der Schrödingergleichung

${\hat {H}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}$

berechnet werden, wobei

${\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {H}}_{1}(t)$

durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.

Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters $\varepsilon$ linear entwickelt werden kann:

${{\hat {H}}_{1}}(t)=\varepsilon {\hat {V}}$

(dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein!)

Die Eigenzustände und Eigenwerte von H₀ seien bekannt:

${{\hat {H}}_{0}}\left|n\right\rangle ={{E}_{n}}\left|n\right\rangle$ (ungestörtes Problem)

Dabei gilt natürlich weiterhin die Orthonormierung und Vollständigkeit des Basissystems:

${\begin{aligned}&\left\langle n{\acute {\ }}|n\right\rangle ={{\delta }_{n{\acute {\ }}n}}\\&\sum \limits _{n}{}\left|n\right\rangle \left\langle n\right|=1\\\end{aligned}}$

Annahme: diskretes Spektrum

Die Entwicklung von ${{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}$ nach den Eigenzuständen des ungestörten Systems liefert:

${\begin{aligned}&\sum \limits _{n}{}\left|n\right\rangle \left\langle n\right|{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}=\sum \limits _{n}{}{{c}_{n}}(t)\left|n\right\rangle \\&\left\langle n\right|{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}:={{c}_{n}}(t)\\\end{aligned}}$

Die Anfangsbedingung sei ein noch ungestörter Zustand $\left|{{n}_{0}}\right\rangle$:

${{\left|\Psi \right\rangle }_{t=0}}=\left|{{n}_{0}}\right\rangle$

Damit:

$\left\langle n|{{n}_{0}}\right\rangle :={{c}_{n}}(0)={{\delta }_{n{{n}_{0}}}}$

Die Zeitentwicklung unter dem Einfluss der Störung lautet (Einsetzen von

${\begin{aligned}&\sum \limits _{n}{}\left|n\right\rangle \left\langle n\right|{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}=\sum \limits _{n}{}{{c}_{n}}(t)\left|n\right\rangle \\&\left\langle n\right|{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}:={{c}_{n}}(t)\\\end{aligned}}$

in die Schrödingergleichung:

${\begin{aligned}&{\hat {H}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}\\&\Rightarrow \sum \limits _{n}{}{{c}_{n}}(t){\hat {H}}\left|n\right\rangle =i\hbar \sum \limits _{n}{}{\frac {d}{dt}}{{c}_{n}}(t)\left|n\right\rangle =\sum \limits _{n}{}{{c}_{n}}(t)\left({{\hat {H}}_{0}}+{{\hat {H}}^{1}}(t)\right)\left|n\right\rangle =\sum \limits _{n}{}{{c}_{n}}(t)\left({{E}_{n}}+{{\hat {H}}^{1}}(t)\right)\left|n\right\rangle \\\end{aligned}}$

Charakteristisch für diese entwickelten Probleme ist das Auftreten der Summe, wie hier zu sehen. Diese kann man beseitigen, indem von links mit einem zweiten Zustand "herausprojiziert" wird):

${\begin{aligned}&i\hbar \sum \limits _{n}{}{\frac {d}{dt}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m|n\right\rangle =\sum \limits _{n}{}{{c}_{n}}(t)\left\langle m\right|\left({{\hat {H}}_{0}}+{{\hat {H}}^{1}}(t)\right)\left|n\right\rangle =\sum \limits _{n}{}{{c}_{n}}(t)\left\langle m\right|\left({{E}_{n}}+{{\hat {H}}^{1}}(t)\right)\left|n\right\rangle \\&=\sum \limits _{n}{}{{c}_{n}}(t)\left(\left\langle m\right|{{E}_{n}}\left|n\right\rangle +\left\langle m\right|{{\hat {H}}^{1}}(t)\left|n\right\rangle \right)=\sum \limits _{n}{}{{c}_{n}}(t){{E}_{n}}{{\delta }_{mn}}+\sum \limits _{n}{}{{c}_{n}}(t)\left\langle m\right|{{\hat {H}}^{1}}(t)\left|n\right\rangle \\&\Rightarrow i\hbar \sum \limits _{n}{}{\frac {d}{dt}}{{c}_{n}}(t)\left\langle m|n\right\rangle ={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+\sum \limits _{n}{}{{c}_{n}}(t)\left\langle m\right|{{\hat {H}}^{1}}(t)\left|n\right\rangle =i\hbar {\frac {d}{dt}}{{c}_{m}}(t)\\\end{aligned}}$

Hilfreich ist die Definition eines ${{c}_{n}}(t):={{e}^{-\left(i{\frac {{{E}_{n}}t}{\hbar }}\right)}}{{g}_{n}}(t)$ mit Hilfe der Eigenwerte des Zeitentwicklungsoperators für die ungestörten Zustände:

${{e}^{-\left(i{\frac {{{E}_{n}}t}{\hbar }}\right)}}$

Man schreibt also eine Zeitentwicklung für die Entwicklungskoeffizienten auf!

Somit kann die Differenzialgleichung für die Entwicklungskoeffizienten umgeschrieben werden:

$i\hbar {\frac {d}{dt}}{{c}_{m}}(t)={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+\sum \limits _{n}{}{{c}_{n}}(t)\left\langle m\right|{{\hat {H}}^{1}}(t)\left|n\right\rangle$

mit $i\hbar {\frac {d}{dt}}{{c}_{m}}(t)={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+{{e}^{-\left(i{\frac {{{E}_{m}}t}{\hbar }}\right)}}i\hbar {\frac {d}{dt}}{{g}_{m}}(t)$

Setzt man dies ein, so folgt:

${\begin{aligned}&{{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+{{e}^{-\left(i{\frac {{{E}_{m}}t}{\hbar }}\right)}}i\hbar {\frac {d}{dt}}{{g}_{m}}(t)={{c}_{m}}(t){{E}_{m}}+\sum \limits _{n}{}{{c}_{n}}(t)\left\langle m\right|{{\hat {H}}^{1}}(t)\left|n\right\rangle \\&\Rightarrow i\hbar {\frac {d}{dt}}{{g}_{m}}(t)={{e}^{\left(i{\frac {{{E}_{m}}t}{\hbar }}\right)}}\sum \limits _{n}{}{{c}_{n}}(t)\left\langle m\right|{{\hat {H}}^{1}}(t)\left|n\right\rangle \\\end{aligned}}$

und wegen ${{c}_{n}}(t):={{e}^{-\left(i{\frac {{{E}_{n}}t}{\hbar }}\right)}}{{g}_{n}}(t)$ also:

$i\hbar {\frac {d}{dt}}{{g}_{m}}(t)=\sum \limits _{n}{}{{e}^{\left(i{\frac {\left({{E}_{m}}-{{E}_{n}}\right)t}{\hbar }}\right)}}\left\langle m\right|{{\hat {H}}^{1}}(t)\left|n\right\rangle {{g}_{n}}(t)$

Die eigentliche Störungsrechnung kommt erst jetzt:

Wir machen eine Sörungsentwicklung für kleines $\varepsilon$:

${{\hat {H}}_{1}}(t)=\varepsilon {\hat {V}}$

(dabei kann die Störung natürlich explizit zeitabhängig sein!)

Man motiviert dass bei kleinen Potenzialstörungen höhere Ordnungen von $\left\langle m\right|{{\hat {H}}^{1}}(t)\left|n\right\rangle$

polynomial in $\varepsilon$

fallen, was für die Entwicklungskoeffizienten bedeutet:

${{g}_{n}}(t)={{g}_{n}}^{(0)}(t)+\varepsilon {{g}_{n}}^{(1)}(t)+{{\varepsilon }^{2}}{{g}_{n}}^{(2)}(t)+...$

Merke: Der entscheidende Schritt der zeitabhängigen Störungsrechnung ist hier: die Taylorentwicklung der Entwicklungskoeffizienten, in denen der Zustand entwickelt wurde.

Dabei gilt:

${\begin{aligned}&\sum \limits _{n}{}\left|n\right\rangle \left\langle n\right|{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}=\sum \limits _{n}{}{{c}_{n}}(t)\left|n\right\rangle \\&\left\langle n\right|{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}:={{c}_{n}}(t)\\\end{aligned}}$

${{c}_{n}}(t):={{e}^{-\left(i{\frac {{{E}_{n}}t}{\hbar }}\right)}}{{g}_{n}}(t)$

Da aber die Differenzialgleichung für unsere ${{g}_{m}}(t)$

$i\hbar {\frac {d}{dt}}{{g}_{m}}(t)=\sum \limits _{n}{}{{e}^{\left(i{\frac {\left({{E}_{m}}-{{E}_{n}}\right)t}{\hbar }}\right)}}\left\langle m\right|{{\hat {H}}^{1}}(t)\left|n\right\rangle {{g}_{n}}(t)$

ebenso beidseitig entwickelt werden kann:

${\begin{aligned}&i\hbar {\frac {d}{dt}}\left({{g}_{m}}^{(0)}(t)+\varepsilon {{g}_{m}}^{(1)}(t)+{{\varepsilon }^{2}}{{g}_{m}}^{(2)}(t)+...\right)\\&=\sum \limits _{n}{}{{e}^{\left(i{\frac {\left({{E}_{m}}-{{E}_{n}}\right)t}{\hbar }}\right)}}\left\langle m\right|{{\hat {H}}^{1}}(t)\left|n\right\rangle \left({{g}_{n}}^{(0)}(t)+\varepsilon {{g}_{n}}^{(1)}(t)+{{\varepsilon }^{2}}{{g}_{n}}^{(2)}(t)+...\right)\\\end{aligned}}$

und dies für beliebige $\varepsilon$

gilt, kann an der Gleichung ein Koeffizientenvergleich in der Ordnung ${{\varepsilon }^{k}}$

durchgeführt werden und es folgt: $k=0$:

${\begin{aligned}&i\hbar {\frac {d}{dt}}{{g}_{m}}^{(0)}(t)=0\\&\Rightarrow {{g}_{m}}^{(0)}(t)=const=!={{\delta }_{m{{n}_{0}}}}\\\end{aligned}}$

Exakte Lösung für $\varepsilon =0$

${{c}_{m}}^{(0)}(t)={{e}^{-i{\frac {{E}_{m}}{\hbar }}t}}{{\delta }_{m{{n}_{0}}}}$

Für k=1

$i\hbar {\frac {d}{dt}}{{g}_{m}}^{(1)}(t)=\sum \limits _{n}{}{{e}^{\left(i{\frac {\left({{E}_{m}}-{{E}_{n}}\right)t}{\hbar }}\right)}}\left\langle m\right|{\hat {V}}\left|n\right\rangle {{g}_{n}}^{(0)}$

Dabei wurde ${{\varepsilon }^{k}}={{\varepsilon }^{1}}$

bereits beidseitig gekürzt.

Beim Vergleich der Ordnungen von $\varepsilon$

muss man aufpassen.

Links ist die Ordnung des Entwicklungskoeffizienten gleich der Ordnung von $\varepsilon$ .

Rechts dagegen hat man eine Ordnung von $\varepsilon$

,

die noch um eines größer ist als die Ordnung des Entwicklungskoeffizienten, da ja noch ${{\hat {H}}_{1}}(t)=\varepsilon {\hat {V}}$

.

Also hat man formal in erster Ordnung von $\varepsilon$

$i\hbar {\frac {d}{dt}}\varepsilon {{g}_{m}}^{(1)}(t)=\sum \limits _{n}{}{{e}^{\left(i{\frac {\left({{E}_{m}}-{{E}_{n}}\right)t}{\hbar }}\right)}}\left\langle m\right|\varepsilon {\hat {V}}\left|n\right\rangle {{g}_{n}}^{(0)}\Rightarrow i\hbar {\frac {d}{dt}}{{g}_{m}}^{(1)}(t)=\sum \limits _{n}{}{{e}^{\left(i{\frac {\left({{E}_{m}}-{{E}_{n}}\right)t}{\hbar }}\right)}}\left\langle m\right|{\hat {V}}\left|n\right\rangle {{g}_{n}}^{(0)}$

Wir wissen: ${{g}_{m}}^{(0)}(t)=const=!={{\delta }_{m{{n}_{0}}}}$

Somit:

$i\hbar {\frac {d}{dt}}{{g}_{m}}^{(1)}(t)=\sum \limits _{n}{}{{e}^{\left(i{\frac {\left({{E}_{m}}-{{E}_{n}}\right)t}{\hbar }}\right)}}\left\langle m\right|{\hat {V}}\left|n\right\rangle {{g}_{n}}^{(0)}$

also:

$i\hbar {\frac {d}{dt}}{{g}_{m}}^{(1)}(t)={{e}^{\left(i{\frac {\left({{E}_{m}}-{{E}_{n0}}\right)t}{\hbar }}\right)}}\left\langle m\right|{\hat {V}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle$

und mit der Anfangsbedingung ${{g}_{n}}^{(1)}(0)=0$

kann formal integriert werden:

${{g}_{m}}^{(1)}(t)={\frac {1}{i\hbar }}\int _{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\left(i{\frac {\left({{E}_{m}}-{{E}_{n0}}\right)\tau }{\hbar }}\right)}}\left\langle m\right|{\hat {V}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle$

Übergangswahrscheinlichkeit

Per Definition die Wahrscheinlichkeit, zur Zeit t den Zustand $\left|n\right\rangle$

zu finden, wenn zu t=0 der Zustand $\left|{{n}_{0}}\right\rangle$

vorliegt.

${{\left|\left\langle n\right|{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}\right|}^{2}}={{\left|\sum \limits _{n{\acute {\ }}}{}{{c}_{n{\acute {\ }}}}(t)\left\langle n|n{\acute {\ }}\right\rangle \right|}^{2}}={{\left|{{c}_{n}}(t)\right|}^{2}}={{\left|{{g}_{n}}(t)\right|}^{2}}$

Als Näherung wird nur die niedrigste, nichtverschwindende Ordnung betrachtet:

${{g}_{n}}(t)={{g}_{n}}^{(o)}={{\delta }_{n{{n}_{0}}}}=1$

für n=n0 und

${{g}_{n}}(t)=\varepsilon {{g}_{n}}^{(1)}$

für $n\neq {{n}_{0}}$

Zeitunabhängige Störung:

${\hat {V}}=const.$

${\begin{aligned}&{{g}_{n}}^{(1)}(t)=-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\left(i{\frac {\left({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}\right)\tau }{\hbar }}\right)}}\left\langle n\right|{\hat {V}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle =-\left\langle n\right|{\hat {V}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle {\frac {{{e}^{\left(i{\frac {\left({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}\right)t}{\hbar }}\right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}}}\\&{{\left|{{g}_{n}}^{(1)}(t)\right|}^{2}}={{\left|\left\langle n\right|{\hat {V}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \right|}^{2}}\left\{{\frac {{{e}^{\left(-i{\frac {\left({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}\right)t}{\hbar }}\right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}}}\right\}\left\{{\frac {{{e}^{\left(i{\frac {\left({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}\right)t}{\hbar }}\right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}}}\right\}:={{\left|\left\langle n\right|{\hat {V}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \right|}^{2}}\left\{{\frac {\left({{e}^{\left(-i\Omega t\right)}}-1\right)\left({{e}^{\left(i\Omega t\right)}}-1\right)}{{{\Omega }^{2}}{{\hbar }^{2}}}}\right\}\\&\Omega :={\frac {\left({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}\right)}{\hbar }}\\&\Rightarrow {{\left|{{g}_{n}}^{(1)}(t)\right|}^{2}}={{\left|\left\langle n\right|{\hat {V}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \right|}^{2}}{\frac {2\left(1-\cos \Omega t\right)}{{{\Omega }^{2}}{{\hbar }^{2}}}}={{\left|\left\langle n\right|{\hat {V}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \right|}^{2}}{\frac {4{{\sin }^{2}}{\frac {\Omega }{2}}t}{{{\Omega }^{2}}{{\hbar }^{2}}}}\\&{\frac {4{{\sin }^{2}}{\frac {\Omega }{2}}t}{{{\Omega }^{2}}{{\hbar }^{2}}}}:={{D}_{t}}\left({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}\right)\\&\Rightarrow {{\left|{{g}_{n}}^{(1)}(t)\right|}^{2}}={{\left|\left\langle n\right|{\hat {V}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \right|}^{2}}{{D}_{t}}\left({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}\right)\\\end{aligned}}$

Die Größe$\Omega :={\frac {\left({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}\right)}{\hbar }}$ heißt Übergangsfrequenz. Und bezieht sich auf den Übergang von $\left|{{n}_{0}}\right\rangle$ auf $\left|n\right\rangle$

Datei:Sign squared.png Für die Darstellung der Übergangswahrscheinlichkeit um die optimale Energie gilt (grafisch):

${\begin{aligned}&{{D}_{t}}(0)={{\left({\frac {t}{\hbar }}\right)}^{2}}\\&{\begin{matrix}\lim \\t\to \infty \\\end{matrix}}\left({{D}_{t}}(0)\right)=\infty \\&\int _{-\infty }^{\infty }{{{D}_{t}}(E)}=\int _{-\infty }^{\infty }{}dE{\frac {4{{\sin }^{2}}\left({\frac {Et}{2\hbar }}\right)}{{E}^{2}}}={\frac {2t}{\hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }{}d\xi {\frac {{{\sin }^{2}}\xi }{{\xi }^{2}}}\\&\int _{-\infty }^{\infty }{}d\xi {\frac {{{\sin }^{2}}\xi }{{\xi }^{2}}}=\pi \\&\Rightarrow \int _{-\infty }^{\infty }{{{D}_{t}}(E)}={\frac {2\pi }{\hbar }}t\\\end{aligned}}$

Also:

${\begin{aligned}&{{D}_{t}}(E)=:{\frac {2\pi }{\hbar }}t{{\delta }_{t}}(E)\\&{\begin{matrix}\lim \\t\to \infty \\\end{matrix}}{{D}_{t}}(E)={\frac {2\pi }{\hbar }}t\delta (E)\\\end{aligned}}$

Grafisch Datei:Sign squared.gif

$\Rightarrow {{\left|\left\langle n\right|{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}\right|}^{2}}={{\left|{{g}_{n}}(t)\right|}^{2}}={\frac {2\pi }{\hbar }}{{\left|\left\langle n\right|{{\hat {H}}^{1}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \right|}^{2}}\cdot t\cdot {{\delta }_{t}}({{E}_{n}}-{{E}_{{n}_{0}}})$

Für $t\to \infty$ Energieerhaltung: ${{E}_{n}}-{{E}_{{n}_{0}}}=0$

Für $t<\infty$ hat ${{D}_{t}}(E)=:{\frac {2\pi }{\hbar }}t{{\delta }_{t}}(E)$ die Breite $\Delta E\cong {\frac {4\pi \hbar }{t}}$

Damit folgt die Energie- Zeit Unschärferelation:

$\Delta Et\cong 4\pi \hbar$

Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit (von $\left|{{n}_{0}}\right\rangle$ auf $\left|n\right\rangle$)

${{W}_{nn0}}={\frac {d}{dt}}{{\left|\left\langle n\right|{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}\right|}^{2}}={\frac {2\pi }{\hbar }}{{\left|\left\langle n\right|{{\hat {H}}^{1}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \right|}^{2}}{{\delta }_{t}}({{E}_{n}}-{{E}_{{n}_{0}}})$

Mit dem Übergangsmatrixelement

$\left\langle n\right|{{\hat {H}}^{1}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle$

und einer quadratischen Sinc- Funktion, ${{\delta }_{t}}({{E}_{n}}-{{E}_{{n}_{0}}})$ (siehe obige Definitionen) die die Übergangswahrscheinlichkeit auf absorbierte Quanten mit einer Energie ${{E}_{n}}-{{E}_{{n}_{0}}}$ beschränkt, so lange deren Abweichung von ${{E}_{n}}-{{E}_{{n}_{0}}}$ noch der Unschärfe genügt (Die Wahrscheinliochkeit sinkt dann entlang einer Sinc²- Funktion um ${{E}_{n}}-{{E}_{{n}_{0}}}$ ab, für Quantenenergien, die von ${{E}_{n}}-{{E}_{{n}_{0}}}$ verschieden sind. Diese "Distribution" wird für unendlich lange Lebensdauern zur Delta- Funktion!

Dies ist Fermis Goldene Regel, abgeleitet aus der Störungstheorie 1. Ordnung. Dabei gilt:

${\begin{aligned}&{{\delta }_{t}}\to \delta \\&f{\ddot {u}}r\quad t\to \infty \\\end{aligned}}$

Harmonische zeitabhängige Störung

${{\hat {H}}^{1}}(t)={\hat {F}}{{e}^{-i\omega t}}+{{\hat {F}}^{+}}{{e}^{i\omega t}}$

hermitesch!

Es folgt:

${\begin{aligned}&{{g}_{n}}(t)=-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\left(i{\frac {\left({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega \right)\tau }{\hbar }}\right)}}\left\langle n\right|{\hat {F}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle -{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}{d\tau }{{e}^{\left(i{\frac {\left({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega \right)\tau }{\hbar }}\right)}}\left\langle n\right|{{\hat {F}}^{+}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \\&\Rightarrow {{g}_{n}}(t)=-\left\langle n\right|{\hat {F}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \left\{{\frac {{e}^{\left(i{\frac {\left({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega \right)t}{\hbar }}\right)-1}}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega }}\right\}-\left\langle n\right|{{\hat {F}}^{+}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \left\{{\frac {{e}^{\left(i{\frac {\left({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega \right)t}{\hbar }}\right)-1}}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega }}\right\}\\\end{aligned}}$

Somit folgt für die Übergangswahrscheinlichkeit von $\left|{{n}_{0}}\right\rangle$ auf $\left|n\right\rangle$

${\begin{aligned}&{{\left|{{\left\langle n|\Psi \right\rangle }_{t}}\right|}^{2}}={{\left|{{g}_{n}}\right|}^{2}}={\frac {2\pi }{\hbar }}{{\left|\left\langle n\right|{\hat {F}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )\\&+{\frac {2\pi }{\hbar }}{{\left|\left\langle n\right|{{\hat {F}}^{+}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )+\left\langle n\right|{\hat {F}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle *\left\langle n\right|{{\hat {F}}^{+}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \left\{{\frac {{{e}^{\left(-i{\frac {\left({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega \right)t}{\hbar }}\right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega }}\right\}\left\{{\frac {{{e}^{\left(i{\frac {\left({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega \right)t}{\hbar }}\right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega }}\right\}\\&+\left\langle n\right|{{\hat {F}}^{+}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle *\left\langle n\right|{\hat {F}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \left\{{\frac {{{e}^{\left(-i{\frac {\left({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega \right)t}{\hbar }}\right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega }}\right\}\left\{{\frac {{{e}^{\left(i{\frac {\left({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega \right)t}{\hbar }}\right)}}-1}{{{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega }}\right\}\\&{{\Omega }^{\pm }}:=\Omega \pm \omega ={\frac {\left({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}\pm \hbar \omega \right)}{\hbar }}\\&\Rightarrow {{\left|{{\left\langle n|\Psi \right\rangle }_{t}}\right|}^{2}}={{\left|{{g}_{n}}\right|}^{2}}={\frac {2\pi }{\hbar }}{{\left|\left\langle n\right|{\hat {F}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )\\&+{\frac {2\pi }{\hbar }}{{\left|\left\langle n\right|{{\hat {F}}^{+}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )+\left\langle n\right|{\hat {F}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle *\left\langle n\right|{{\hat {F}}^{+}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \left\{{\frac {\left({{e}^{\left(-i{{\Omega }^{-}}t\right)}}-1\right)\left({{e}^{\left(i{{\Omega }^{+}}t\right)}}-1\right)}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}}}\right\}\\&+\left\langle n\right|{{\hat {F}}^{+}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle *\left\langle n\right|{\hat {F}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \left\{{\frac {\left({{e}^{\left(-i{{\Omega }^{+}}t\right)}}-1\right)\left({{e}^{\left(i{{\Omega }^{-}}t\right)}}-1\right)}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}}}\right\}\\&\left\langle n\right|{\hat {F}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle *\left\langle n\right|{{\hat {F}}^{+}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle :=A{{e}^{-i\gamma }}\\&\left\langle n\right|{{\hat {F}}^{+}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle *\left\langle n\right|{\hat {F}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle :=A{{e}^{i\gamma }}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&\Rightarrow {{\left|{{\left\langle n|\Psi \right\rangle }_{t}}\right|}^{2}}={{\left|{{g}_{n}}\right|}^{2}}={\frac {2\pi }{\hbar }}{{\left|\left\langle n\right|{\hat {F}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )\\&+{\frac {2\pi }{\hbar }}{{\left|\left\langle n\right|{{\hat {F}}^{+}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )+A{{e}^{-i\gamma }}\left\{{\frac {\left({{e}^{\left(-i{{\Omega }^{-}}t\right)}}-1\right)\left({{e}^{\left(i{{\Omega }^{+}}t\right)}}-1\right)}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}}}\right\}\\&+A{{e}^{i\gamma }}\left\{{\frac {\left({{e}^{\left(-i{{\Omega }^{+}}t\right)}}-1\right)\left({{e}^{\left(i{{\Omega }^{-}}t\right)}}-1\right)}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}}}\right\}\\\end{aligned}}$

Weiter gilt

$A{{e}^{-i\gamma }}\left\{{\frac {\left({{e}^{\left(-i{{\Omega }^{-}}t\right)}}-1\right)\left({{e}^{\left(i{{\Omega }^{+}}t\right)}}-1\right)}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}}}\right\}+A{{e}^{i\gamma }}\left\{{\frac {\left({{e}^{\left(-i{{\Omega }^{+}}t\right)}}-1\right)\left({{e}^{\left(i{{\Omega }^{-}}t\right)}}-1\right)}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}}}\right\}={\frac {4A}{{{\hbar }^{2}}{{\Omega }^{+}}{{\Omega }^{-}}}}\cos \left(\omega t-\gamma \right)\left[\cos \left(\omega t\right)-\cos \left(\Omega t\right)\right]$

Für $\omega \neq 0,\Omega \neq 0$ sind diese Terme jedoch rein oszillierend. Für $t\to \infty$ sind diese jedoch vernachlässigbar gegen Terme ${\tilde {\ }}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}\pm \hbar \omega )=t\delta (\hbar {{\Omega }^{\pm }})$

Somit folgt für $t\to \infty$

${{\left|{{\left\langle n|\Psi \right\rangle }_{t}}\right|}^{2}}={{\left|{{g}_{n}}\right|}^{2}}={\frac {2\pi }{\hbar }}{{\left|\left\langle n\right|{\hat {F}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )+{\frac {2\pi }{\hbar }}{{\left|\left\langle n\right|{{\hat {F}}^{+}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \right|}^{2}}t\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )$

Für Zeit gegen unendlich kann man dann leicht die Übergangswahrscheinlichkeit zwischen $\left|{{n}_{0}}\right\rangle$ und $\left|n\right\rangle$ pro Zeiteinheit, durch Ableitung nach der Zeit erhalten:

${{W}_{nn0}}={\frac {d}{dt}}{{\left|{{\left\langle n|\Psi \right\rangle }_{t}}\right|}^{2}}={\frac {2\pi }{\hbar }}{{\left|\left\langle n\right|{\hat {F}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )+{\frac {2\pi }{\hbar }}{{\left|\left\langle {{n}_{0}}\right|{\hat {F}}\left|n\right\rangle \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )$

Die Terme lassen sich identifizieren:

${\frac {2\pi }{\hbar }}{{\left|\left\langle n\right|{\hat {F}}\left|{{n}_{0}}\right\rangle \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}-\hbar \omega )$

steht für die Absorption eines Quants der Energie $\hbar \omega$ bei gleichzeitiger Anregung des Übergangs von $\left|{{n}_{0}}\right\rangle$ auf$\left|n\right\rangle$,

was einem Energiesprung von ${{E}_{n}}-{{E}_{n0}}$

entspricht. Das Quant wird also von Niveau $\left|{{n}_{0}}\right\rangle$ auf $\left|n\right\rangle$ gehievt

${\frac {2\pi }{\hbar }}{{\left|\left\langle {{n}_{0}}\right|{{\hat {F}}^{+}}\left|n\right\rangle \right|}^{2}}\delta ({{E}_{n}}-{{E}_{n0}}+\hbar \omega )$

steht für die Emission eines Quants der Energie $\hbar \omega$ bei gleichzeitiger Anregung des Übergangs von $\left|n\right\rangle$ auf$\left|{{n}_{0}}\right\rangle$,

was einer Energieabgabe von ${{E}_{n0}}-{{E}_{n}}$

entspricht. Das Quant fällt dabei vom diesmal höheren Niveau $\left|{{n}_{0}}\right\rangle$ auf das Niveau $\left|n\right\rangle$ herunter.

Zusammenhang mit dem Wechselwirkungsbild

Für t=0 stimmen Schrödinger- und Wechselwirkungsbild überein (Siehe oben, S. 63)

Im Wechselwirkungsbild gilt:

${{\hat {H}}_{W}}^{1}(t)={{e}^{\left({\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}_{0}}t\right)}}{{\hat {H}}_{S}}^{1}{{e}^{\left(-{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}_{0}}t\right)}}$

Im Wechselwirkungsbild wird die Zeitentwicklung der Operatoren mit ${{\hat {H}}_{0}}$ gewonnen, während die Zustände mit${{\hat {H}}_{W}}^{1}(t)$ evolutionieren:

$i\hbar {\frac {d}{dt}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}={{\hat {H}}_{W}}^{1}(t){{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}$

Die formale Integration führt auf eine Integralgleichung:

${\begin{aligned}&{{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}(t)={{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}(t=0)-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}{}d\tau \left({{\hat {H}}_{W}}^{1}(\tau ){{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}(\tau )\right)\\&{{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}(t=0)=\left|{{n}_{0}}\right\rangle \\\end{aligned}}$

Für kleine ${{\hat {H}}_{W}}^{1}$ liefert eine Iteration:

${\begin{aligned}&{{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}(t)={{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}(t=0)-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}{}d\tau \left({{\hat {H}}_{W}}^{1}(\tau ){{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}(\tau )\right)\approx \left(1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}{d\tau }{{\hat {H}}_{W}}^{1}(\tau )\right)\left|{{n}_{0}}\right\rangle \\&{{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}(t)\approx \left(1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}{d\tau }{{\hat {H}}_{W}}^{1}(\tau )\right)\left|{{n}_{0}}\right\rangle =\left(1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}{d\tau }{{e}^{{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}\tau }}{{\hat {H}}_{S}}^{1}{{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}\tau }}\right)\left|{{n}_{0}}\right\rangle \\\end{aligned}}$

Mit

${{\left|\Psi \right\rangle }_{S}}(t)={{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}(t)\approx {{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}t}}\left(1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}{d\tau }{{e}^{{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}\tau }}{{\hat {H}}_{S}}^{1}{{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}\tau }}\right)\left|{{n}_{0}}\right\rangle$

und

${{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}t}}\left(1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}{d\tau }{{e}^{{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}\tau }}{{\hat {H}}_{S}}^{1}{{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}\tau }}\right):=U(t,0)$

Zeitentwicklungsoperator im Schrödingerbild

Übergangsamplitude im Schrödinger- Bild:

${\begin{aligned}&{{c}_{n}}(t)=\left\langle n|\Psi \right\rangle =\left\langle n\right|U(t,0)\left|{{n}_{0}}\right\rangle =\left\langle n\right|{{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}t}}\left(1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}{d\tau }{{e}^{{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}\tau }}{{\hat {H}}_{S}}^{1}{{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}\tau }}\right)\left|{{n}_{0}}\right\rangle \\&\Rightarrow {{c}_{n}}(t)={{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{E}_{n}}t}}\left({{\delta }_{n{{n}_{0}}}}-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}{d\tau }{{e}^{{\frac {i}{\hbar }}{{E}_{n}}\tau }}\left\langle n\right|{{\hat {H}}_{S}}^{1}\left|{{n}_{0}}\right\rangle {{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{E}_{n0}}\tau }}\right)\\&{{\delta }_{n{{n}_{0}}}}={{g}_{n}}^{(0)}\\&-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}{d\tau }{{e}^{{\frac {i}{\hbar }}{{E}_{n}}\tau }}\left\langle n\right|{{\hat {H}}_{S}}^{1}\left|{{n}_{0}}\right\rangle {{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{E}_{n0}}\tau }}=\varepsilon {{g}_{n}}^{(1)}\\&{{c}_{n}}(t)={{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{E}_{n}}t}}\left({{\delta }_{n{{n}_{0}}}}-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}{d\tau }{{e}^{{\frac {i}{\hbar }}{{E}_{n}}\tau }}\left\langle n\right|{{\hat {H}}_{S}}^{1}\left|{{n}_{0}}\right\rangle {{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{E}_{n0}}\tau }}\right)={{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{E}_{n}}t}}{{g}_{n}}(t)\\\end{aligned}}$

In Übereinstimmung mit unserem Ergebnis von Seite 113!