Wellenausbreitung in Materie

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Wellenausbreitung in Materie basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 6) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Wellenausbreitung in Materie	Materie in elektrischen und magnetischen Feldern	Elektrodynamik Schöll
	Polarisation Magnetisierung Maxwell- Gleichungen in Materie Grenzbedingungen für Felder Mikroskopisches Modell der Polarisierbarkeit Wellenausbreitung in Materie Brechung und Reflexion	Elektrostatik Stationäre Ströme und Magnetfeld Die Maxwell-Gleichungen Elektromagnetische Wellen Materie in elektrischen und magnetischen Feldern Relativistische Formulierung der Elektrodynamik

Annahme: homogene, isotrope, lineare Medien mit skalaren Materialparametern

$\varepsilon ,\mu ,\sigma$

${\begin{aligned}&{\bar {D}}=\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}{\bar {E}}\quad \varepsilon >1\\&{\bar {B}}={{\mu }_{0}}\mu {\bar {H}}\quad i.a.\mu {\tilde {\ }}1\\&{\bar {j}}=\sigma {\bar {E}}\\\end{aligned}}$

( ohmsches Gesetz)

Wellen in leitenden Medien ohne Dispersion:

Das heißt:

$\varepsilon ,\mu ,\sigma$

nicht frequenzabhängig !

Sei

${\begin{aligned}&\rho =0\\&\nabla \times {\bar {E}}+{\dot {\bar {B}}}=0\\&\nabla \times {\bar {B}}-{{\mu }_{0}}\mu \varepsilon {{\varepsilon }_{0}}{\dot {\bar {E}}}={{\mu }_{0}}\mu {\bar {j}}={{\mu }_{0}}\mu \sigma {\bar {E}}\\&\nabla \cdot {\bar {E}}=0\\&\nabla \cdot {\bar {B}}=0\\&\Rightarrow \nabla \times \left(\nabla \times {\bar {E}}\right)=\nabla \left(\nabla \cdot {\bar {E}}\right)-\Delta {\bar {E}}=-\Delta {\bar {E}}=-\nabla \times {\dot {\bar {B}}}=-{{\mu }_{0}}\mu \sigma {\dot {\bar {E}}}-{{\mu }_{0}}\mu \varepsilon {{\varepsilon }_{0}}{\ddot {\bar {E}}}\\&\\&\Delta {\bar {E}}={{\mu }_{0}}\mu \sigma {\dot {\bar {E}}}+{{\mu }_{0}}\mu \varepsilon {{\varepsilon }_{0}}{\ddot {\bar {E}}}\\\end{aligned}}$

Somit erhalten wir die Gleichung einer gedämpften Welle

${\begin{aligned}&\Delta {\bar {E}}-{\frac {1}{{{c}_{m}}^{2}}}\left({\frac {\sigma }{\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}}}{\dot {\bar {E}}}+{\ddot {\bar {E}}}\right)=0\\&{{c}_{m}}:={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}\mu {{\mu }_{0}}}}}=c{\frac {1}{\sqrt {\varepsilon \mu }}}\\\end{aligned}}$

Für den eindimensionalen Fall: sogenannte Telegraphengleichung. Beschreibt die Drahtwellenausbreitung !

Spezielle Lösung dieses Problems:

homogene, ebene Welle:

${\begin{aligned}&{\bar {E}}({\bar {r}},t)={{\bar {E}}_{0}}{{e}^{i\left({\bar {k}}{\bar {r}}-\omega t\right)}}\\&\Rightarrow {{k}^{2}}=\varepsilon \mu {\frac {{\omega }^{2}}{{c}^{2}}}\left(1+i{\frac {1}{\omega \tau }}\right)\\\end{aligned}}$

Dispersionsrelation für den Fall der frequenzunabhängigen Parameter Durch die Dämpfung

$\sigma$

ist der Wellenvektor ein komplexer Parameter.

$k\in C$

Setze:

$k={\frac {\omega }{c}}{\tilde {n}}={\frac {\omega }{c}}\left(n+i\gamma \right)$

mit c: Vakuumlichtgeschwindigkeit

${\tilde {n}}=\left(n+i\gamma \right)$

komplexer Brechungsindex ! Somit:

${{k}^{2}}={\frac {{\omega }^{2}}{{c}^{2}}}{{\tilde {n}}^{2}}={\frac {{\omega }^{2}}{{c}^{2}}}\left({{n}^{2}}-{{\gamma }^{2}}+2in\gamma \right)={\frac {{\omega }^{2}}{{c}^{2}}}\varepsilon \mu \left(1+i{\frac {1}{\omega \tau }}\right)$

Damit können Real- und Imaginärteil durch Vergleich herangezogen werden, um Gamma und n zu bestimmen:

${\begin{aligned}&{{n}^{2}}-{{\gamma }^{2}}=\varepsilon \mu \\&n\gamma ={\frac {\varepsilon \mu }{2\omega \tau }}\\\end{aligned}}$

• Bestimmung von
• $n,\gamma$
• :

o.B.d.A.:

${\bar {k}}||{{\bar {x}}_{3}}$

Ausschreiben der Welle:

${\begin{aligned}&{\bar {E}}({\bar {r}},t)={{\bar {E}}_{0}}{{e}^{i\left({\bar {k}}{\bar {r}}-\omega t\right)}}\\&{\bar {E}}({{\bar {x}}_{3}},t)={{\bar {E}}_{0}}{{e}^{-{\frac {{x}_{3}}{\lambda }}}}{{e}^{-i\omega \left(t-{\frac {n}{c}}{{x}_{3}}\right)}}\\\end{aligned}}$

Also eine gedämpfte Welle mit der Phasengeschwindigkeit

${\frac {c}{n}}$

und dem Extinktionskoeffizienten

$\lambda ={\frac {c}{\omega \gamma }}$

Lineare Polarisation:

${{\bar {E}}_{0}}||{{\bar {x}}_{1}}\Rightarrow {{\bar {B}}_{0}}||{{\bar {x}}_{2}}$

${\begin{aligned}&{{\left(\nabla \times {\bar {E}}\right)}_{2}}={\frac {\partial {{E}_{1}}}{\partial {{x}_{3}}}}=-{{\dot {B}}_{2}}\\&\Leftrightarrow i{\frac {\omega }{c}}\left(n+i\gamma \right){{E}_{1}}=i\omega {{B}_{2}}\\&\Leftrightarrow {{B}_{2}}={\frac {\left(n+i\gamma \right)}{c}}{{E}_{1}}={\frac {\sqrt {{{n}^{2}}+{{\gamma }^{2}}}}{c}}{{e}^{i\phi }}{{E}_{1}}\\\end{aligned}}$

Somit existiert eine Phasenverschiebung

$\phi$

zwischen E und B

Der Isolator

${\begin{aligned}&\sigma =0\\&\tau \to \infty \\\end{aligned}}$

Folgen:

$\gamma =0$

keine Dämpfung

$\phi$

=0 keine Phasenverschiebung zwischen E und B

• kommt erst durch die Dämpfung !
• i m Isolator schwingen E und B in Phase !

reeller Brechungsindex:

$n={\sqrt {\varepsilon \mu }}\approx {\sqrt {\varepsilon }}>1$

• Phasengeschwindigkeit :
• ${\frac {c}{n}}<c$

Nebenbemerkung: Nur OHNE DISPERSION ist

$\varepsilon$

reell

Metalle

$\tau ={\frac {{{\varepsilon }_{0}}\varepsilon }{\sigma }}<<{\frac {1}{\omega }}$

für alle Frequenzen bis UV Somit:

${\begin{aligned}&{{k}^{2}}={\frac {{\omega }^{2}}{{c}^{2}}}\left({{n}^{2}}-{{\gamma }^{2}}+2in\gamma \right)\approx {\frac {{\omega }^{2}}{{c}^{2}}}\varepsilon \mu {\frac {i}{\omega \tau }}\\&\Rightarrow {{n}^{2}}-{{\gamma }^{2}}\approx 0\\&n\gamma \approx {{n}^{2}}\approx {{\gamma }^{2}}\approx {\frac {\varepsilon \mu }{2\omega \tau }}\Rightarrow n=\gamma ={\sqrt {\frac {\varepsilon \mu }{2\omega \tau }}}\\&\tan \phi ={\frac {\gamma }{n}}\approx 1\Rightarrow \phi \approx {\frac {\pi }{4}}\\\end{aligned}}$

Extinktionskoeffizient

$d<<{\frac {c}{\omega \gamma }}{\tilde {\ }}cm$

für 100 Hz ( hochfrequente Wellen dringen nicht in Metall ein, Grund: Verschiebungsstrom << Leitungsstrom)

Dielektrische Dispersion

Annahme:

$\mu =1$

Betrachte nun zeitliche Dispersion, also

${\begin{aligned}&{\hat {\chi }}\left(\omega \right):\\&{\hat {\bar {P}}}\left(\omega \right)={{\varepsilon }_{0}}{\hat {\chi }}\left(\omega \right){\hat {\bar {E}}}\left(\omega \right)\\\end{aligned}}$

mit:

${\hat {\chi }}\left(\omega \right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{}dt\chi \left(t\right){{e}^{i\omega t}}$

dynamische elektrische Suszeptibilität

Fourier- Trafo:

${\begin{aligned}&{\bar {P}}\left({\bar {r}},t\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{}d\omega {\hat {\bar {P}}}\left({\bar {r}},\omega \right){{e}^{-i\omega t}}\\&{\hat {\bar {E}}}\left({\bar {r}},\omega \right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{}dt{\bar {E}}\left({\bar {r}},t\right){{e}^{+i\omega t}}\\&\Rightarrow {\bar {P}}\left({\bar {r}},t\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{}d\omega {{\varepsilon }_{0}}{\hat {\chi }}\left(\omega \right)\int _{-\infty }^{\infty }{}dt{\acute {\ }}{\bar {E}}\left({\bar {r}},t{\acute {\ }}\right){{e}^{+i\omega \left(t{\acute {\ }}-t\right)}}\\\end{aligned}}$

Betrachte:

${\begin{aligned}&{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{}d\omega {{\varepsilon }_{0}}{\hat {\chi }}\left(\omega \right)\int _{-\infty }^{\infty }{}dt{\acute {\ }}{{e}^{+i\omega \left(t{\acute {\ }}-t\right)}}:={\frac {{\varepsilon }_{0}}{\sqrt {2\pi }}}\chi \left(t-t{\acute {\ }}\right)\\&\Rightarrow {\bar {P}}\left({\bar {r}},t\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{}d\omega {{\varepsilon }_{0}}{\hat {\chi }}\left(\omega \right)\int _{-\infty }^{\infty }{}dt{\acute {\ }}{\bar {E}}\left({\bar {r}},t{\acute {\ }}\right){{e}^{+i\omega \left(t{\acute {\ }}-t\right)}}={\frac {{\varepsilon }_{0}}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{t}{}dt{\acute {\ }}\chi \left(t-t{\acute {\ }}\right){\bar {E}}\left({\bar {r}},t{\acute {\ }}\right)\\\end{aligned}}$

Nachwirkungseffekt: Faltungsintegral -> Berücksichtigung des Nachwirkungseffekts über Faltungsintegral.

Nebenbemerkung: Kausalität verlangt:

${\begin{aligned}&\chi \left(t-t{\acute {\ }}\right)=0\\&f{\ddot {u}}r\\&t{\acute {\ }}>t\\\end{aligned}}$

Aus mikroskopischen Modellen folgt i.A. ein komplexes

${\hat {\chi }}\left(\omega \right)\in C$

• Komplexe dielektrische Funktion:

${\begin{aligned}&\varepsilon \left(\omega \right)=1+{\hat {\chi }}\left(\omega \right)=\varepsilon {\acute {\ }}\left(\omega \right)+i\varepsilon {\acute {\ }}{\acute {\ }}\left(\omega \right)\\&\varepsilon {\acute {\ }},\varepsilon {\acute {\ }}{\acute {\ }}\in R\\\end{aligned}}$

Aus:

${\begin{aligned}&\varepsilon \left(\omega \right)=1+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }{}dt\chi \left(t\right){{e}^{i\omega t}}\\&\Rightarrow \varepsilon *(\omega )=\varepsilon (-\omega )\\&\varepsilon {\acute {\ }}(\omega )=\varepsilon {\acute {\ }}(-\omega )\\&\varepsilon {\acute {\ }}{\acute {\ }}(\omega )=-\varepsilon {\acute {\ }}{\acute {\ }}(-\omega )\\\end{aligned}}$

Monochromatische ebene Welle:

${\begin{aligned}&{\bar {E}}({\bar {r}},t)={{\bar {E}}_{0}}{{e}^{i\left({\bar {k}}{\bar {r}}-\omega t\right)}}\\&\Rightarrow {{k}^{2}}=\varepsilon \left(\omega \right){\frac {{\omega }^{2}}{{c}^{2}}}\left(1+i{\frac {1}{\omega \tau }}\right)\\\end{aligned}}$

Isolator ( dispersives Dielektrikum)

${\begin{aligned}&{\bar {E}}({\bar {r}},t)={{\bar {E}}_{0}}{{e}^{i\left({\bar {k}}{\bar {r}}-\omega t\right)}}\\&\Rightarrow {{k}^{2}}=\varepsilon \left(\omega \right){\frac {{\omega }^{2}}{{c}^{2}}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&{\tilde {n}}\left(\omega \right)=n\left(\omega \right)+i\gamma \left(\omega \right)\\&{\tilde {n}}{{\left(\omega \right)}^{2}}=\varepsilon \left(\omega \right)\equiv \varepsilon {\acute {\ }}+i\varepsilon {\acute {\ }}{\acute {\ }}\\&\varepsilon {\acute {\ }}\left(\omega \right)={{n}^{2}}-{{\gamma }^{2}}\\&\varepsilon {\acute {\ }}{\acute {\ }}\left(\omega \right)=2n\gamma \\&\Rightarrow \left.{\begin{matrix}\gamma \\n\\\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{{\left({\sqrt {\varepsilon {{\acute {\ }}^{2}}+\varepsilon {\acute {\ }}{{\acute {\ }}^{2}}}}\mp \varepsilon {\acute {\ }}\right)}^{\frac {1}{2}}}\\\end{aligned}}$

Dabei

$\left.{\begin{matrix}\gamma \\n\\\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{{\left({\sqrt {\varepsilon {{\acute {\ }}^{2}}+\varepsilon {\acute {\ }}{{\acute {\ }}^{2}}}}\mp \varepsilon {\acute {\ }}\right)}^{\frac {1}{2}}}$

Als Absorptionskoeffizient

$\gamma$

( reeller Brechungsindex n)

Absorption

$\varepsilon {\acute {\ }}{\acute {\ }}=0\Rightarrow \gamma =0,n={\sqrt {\varepsilon {\acute {\ }}}}$

Absorptionskoeffizient Null, reeller Brechungsindex: Wurzel epsilon Also: für

$\varepsilon {\acute {\ }}>0$

-> ungedämpfte Welle

$\varepsilon {\acute {\ }}{\acute {\ }}>0\Rightarrow \gamma >0$

• in jedem Fall gedämpfte Welle ( Energiedissipation).

Der Frequenzbereich mit

$\varepsilon {\acute {\ }}{\acute {\ }}<<\varepsilon {\acute {\ }}$

heißt Transparenzgebiet der Substanz ( besonders wenig Absorption).

Dispersion

$\operatorname {Re} k=k{\acute {\ }}={\frac {\omega }{c}}n(\omega )$

nichtlineare Dispersion ( nur in erster Näherung ist n(w) linear !)

• Definition der Gruppengeschwindigkeit:

${\begin{aligned}&{{v}_{g}}:={\frac {d\omega }{dk{\acute {\ }}}}={\frac {1}{\frac {dk{\acute {\ }}}{d\omega }}}={\frac {c}{\frac {d\left(\omega n\right)}{d\omega }}}\\&{{v}_{g}}={\frac {c}{n+\omega {\frac {dn}{d\omega }}}}\neq {\frac {c}{n\left(\omega \right)}}={{v}_{ph.}}\\\end{aligned}}$

Typische Frequenzabhängigkeit: ( sogenanntes Resonanzverhalten):

Normale Dispersion

${\frac {dn}{d\omega }}>0$

Stets im Transparenzgebiet, also wenn

$\varepsilon {\acute {\ }}{\acute {\ }}{\tilde {\ }}0$

${{v}_{g}}<{{v}_{ph.}}$

Anormale Dispersion

${\frac {dn}{d\omega }}<0$

bei Absorption !

Beziehung zwischen

$\varepsilon {\acute {\ }}\left(\omega \right)$ und $\varepsilon {\acute {\ }}{\acute {\ }}\left(\omega \right)$

Kramers- Kronig- Relation

• Allgemein gültiger Zusammenhang zwischen Dispersion
• $n\left(\omega \right)$
• und Absorption
• $\gamma \left(\omega \right)$
• .
• erlaubt z.B. dann die Berechnung von Dispersionsrelationen aus dem Absorptionsspektrum und auch umgekehrt
• Folgt alleine aus dem Kausalitätsprinzip !

Beweis ( Funktionenthorie)

Für kausale Funktion gilt:

${\begin{aligned}&\chi \left(t\right)=\Theta \left(t\right)\chi \left(t\right)\\&\Theta \left(t\right)=\left\{{\begin{matrix}{\begin{aligned}&0t<0\\&1t\geq 0\\\end{aligned}}\\{}\\\end{matrix}}\right.\\\end{aligned}}$

Heavyside

Fourier- Trafo:

${\hat {\chi }}\left(\omega \right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{}^{}{}d\omega {\acute {\ }}\Theta \left(\omega -\omega {\acute {\ }}\right){\hat {\chi }}\left(\omega {\acute {\ }}\right)$

${\begin{aligned}&{\hat {\Theta }}\left(\omega \right):={\begin{matrix}\lim \\\sigma ->0+\\\end{matrix}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }{dt{{e}^{i\omega t-\sigma t}}}={\begin{matrix}\lim \\\sigma ->0+\\\end{matrix}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\frac {1}{i\omega -\sigma }}\\&\\\end{aligned}}$

Mit dem konvergenzerzeugenden Faktor

$\sigma$

Also:

${\hat {\chi }}\left(\omega \right)={\frac {1}{2\pi i}}{\begin{matrix}\lim \\\sigma ->0+\\\end{matrix}}\int _{-\infty }^{\infty }{}d\omega {\acute {\ }}{\frac {1}{\omega {\acute {\ }}-\omega -i\sigma }}{\hat {\chi }}\left(\omega {\acute {\ }}\right)$

Der Integrand hat einen Pol für

$\omega {\acute {\ }}=\omega +i\sigma$

Also:

Äquivalenter Integrationsweg:

Zerlegung:

$\int _{-\infty }^{\infty }{}d\omega {\acute {\ }}{\frac {1}{\omega {\acute {\ }}-\omega }}{\hat {\chi }}\left(\omega {\acute {\ }}\right)={\begin{matrix}\lim \\\varepsilon ->{{0}^{+}}\\\end{matrix}}\left[\int _{-\infty }^{\omega -\varepsilon }{+\int _{\omega +\varepsilon }^{\infty }{}}\right]d\omega {\acute {\ }}{\frac {1}{\omega {\acute {\ }}-\omega }}{\hat {\chi }}\left(\omega {\acute {\ }}\right)+\int \limits _{Kreisbogen}{}d\omega {\acute {\ }}{\frac {1}{\omega {\acute {\ }}-\omega }}{\hat {\chi }}\left(\omega {\acute {\ }}\right)$

Man sagt:

${\begin{matrix}\lim \\\varepsilon ->{{0}^{+}}\\\end{matrix}}\left[\int _{-\infty }^{\omega -\varepsilon }{+\int _{\omega +\varepsilon }^{\infty }{}}\right]d\omega {\acute {\ }}{\frac {1}{\omega {\acute {\ }}-\omega }}{\hat {\chi }}\left(\omega {\acute {\ }}\right)=P\int _{-\infty }^{\infty }{}d\omega {\acute {\ }}{\frac {1}{\omega {\acute {\ }}-\omega }}{\hat {\chi }}\left(\omega {\acute {\ }}\right)$

= Hauptwertintegral ( principal Value), entsteht nur direkt an der Polstelle !

$\int \limits _{Kreisbogen}{}d\omega {\acute {\ }}{\frac {1}{\omega {\acute {\ }}-\omega }}{\hat {\chi }}\left(\omega {\acute {\ }}\right)$

Integral längs des Halbkreis mit Radius

$\varepsilon$

um den Pol !

${\begin{aligned}&\int \limits _{Kreisbogen}{}ds{\frac {f(s)}{s}}=f(0)\int \limits _{Kreisbogen}{}{\frac {ds}{s}}\\&s=\varepsilon {{e}^{i\phi }}\Rightarrow ds=isd\phi \\&f(0)\int \limits _{Kreisbogen}{}{\frac {ds}{s}}=f(0)i\int \limits _{0}^{\pi }{}d\phi =i\pi f(0)\\\end{aligned}}$

sogenanntes " Halbes Residuum!"

Also:

${\begin{aligned}&{\hat {\chi }}\left(\omega \right)={\frac {1}{2\pi i}}{\begin{matrix}\lim \\\sigma ->0+\\\end{matrix}}\int _{-\infty }^{\infty }{}d\omega {\acute {\ }}{\frac {1}{\omega {\acute {\ }}-\omega -i\sigma }}{\hat {\chi }}\left(\omega {\acute {\ }}\right)\\&={\frac {1}{2\pi i}}P\int _{-\infty }^{\infty }{}d\omega {\acute {\ }}{\frac {1}{\omega {\acute {\ }}-\omega }}{\hat {\chi }}\left(\omega {\acute {\ }}\right)+{\frac {1}{2}}{\hat {\chi }}\left(\omega \right)\\&\Rightarrow {\hat {\chi }}\left(\omega \right)={\frac {1}{\pi i}}P\int _{-\infty }^{\infty }{}d\omega {\acute {\ }}{\frac {1}{\omega {\acute {\ }}-\omega }}{\hat {\chi }}\left(\omega {\acute {\ }}\right)\\\end{aligned}}$

Nun: Zerlegung in Re und Im mit

${\begin{aligned}&\operatorname {Re} {\hat {\chi }}\left(\omega \right)=\varepsilon {\acute {\ }}\left(\omega \right)-1\\&\operatorname {Im} {\hat {\chi }}\left(\omega \right)=\varepsilon {\acute {\ }}{\acute {\ }}\left(\omega \right)\\\end{aligned}}$

Also:

${\begin{aligned}&\operatorname {Re} {\hat {\chi }}\left(\omega \right)=\varepsilon {\acute {\ }}\left(\omega \right)-1={\frac {1}{\pi }}P\int _{-\infty }^{\infty }{}d\omega {\acute {\ }}{\frac {1}{\omega {\acute {\ }}-\omega }}\varepsilon {\acute {\ }}{\acute {\ }}\left(\omega {\acute {\ }}\right)\\&\operatorname {Im} {\hat {\chi }}\left(\omega \right)=\varepsilon {\acute {\ }}{\acute {\ }}\left(\omega \right)=-{\frac {1}{\pi }}P\int _{-\infty }^{\infty }{}d\omega {\acute {\ }}{\frac {1}{\omega {\acute {\ }}-\omega }}\left(\varepsilon {\acute {\ }}\left(\omega {\acute {\ }}\right)-1\right)\\\end{aligned}}$

Dies ist die Kramers- Kronig- Relation. Sie verknüpft Real- und Imaginärteil des komplexen Brechungsindex miteinander !

Titchmask- Theorem:

${\hat {\chi }}\left(z\right)$

sollte regulär sein auf der oberen komplexen z- Halbebene Somit:

${\hat {\chi }}\left(z\right)\to 0$

für

$\operatorname {Im} z\to \infty$