Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr
Motivation: ( < Eintreffen des Feldes ) bestimmen, hier formulieren wir das so allgemein, dass später Theorie auch für eine Abfolge von 's, also ) bei eingeschaltetem Feld gilt.
Unschärfemaß des statistischen Operators
Problem sei Satz von Observablen (z.B N,E eines Gases)
- andere Infos sollen nicht gemessen werden wenn wir festlegen, so muss das so geschehn, dass nicht mehr Info als festgelegt wird.
- nur sicherzustellen, dass wir nicht mehr Info fordern als zustetht bilden wir Unschärfemaß und soll angeben wie weit wir von reinem Zustand entfernt sind
- später wird y maximiert (Nichtwissen maximieren) unter der Nebenbedigung
( bekannt, bzw im Experiment festgelegt) um zu finden
- → Vorurteilsfreie Wahl zeichnet keine andere Observable aus!
Definition des Unschäfremaßes
(Funktional von (analog: informationstheoretisches Maß von C. Channon 1946)
Ist das sinnvoll?
- sollte positiv sein, um Maß für Unschärfe zu ergeben
- solte 0 sein für einen reinen Zustand
- sollte sein für einen komplett unbestimmten Zustand
ist zu zeigen:'
- 1)
- als Eigenwertgleichung für
- 2) reiner Zustand →
- mit
- ist der reine Zustand
Eigenwertproblem
erfüllt für
- 3) völlige Unbestimmtheit
- betrachte Hibertraum der Diemension d (am Ende soll wie z.B in richtigem Kasten)
die Wahrscheinlichkeit der Realisierungen muss gleich sein (analogie Würfel)
für folgt
alle Grenywerte sind sinnvoll, damit
ein sinnvolles Unschärfemaß
ist.
Jetzt können wir
- nehmen um
zu bestimmen.
Der generalisierte statistische Operator
Wollen nun aus
sinnvoll finden natürlich ‘‘‘nicht‘‘‘ eindeutig, aber Wissen
(Satz von Observablen / Beobachtungsebene) hilft:
→ wir maximieren also unser Nichtwissen unter den Bediungen des „Wissens“ von “vorurteilsfrei“ .
Nebenbedingung:
z.B E, N
Ergebnis bevor es bewiesen wird:
Der statistische Operator R der alle Forderungen:
erfüllt heißt generalisierter kanonischer statistischer Operator (GKSO)
|
- Normierungsfaktor und wird Zustandssumme genannt
|
es tauchen Lagrangefaktoren auf die die Umgebung (z.B. Temperatur) charakterisiern noch unbestimmt: Beispiel
Bedeutung der Zustandssumme
bestimmen die Messgrößen ()
aus
- liegt damit für festen Zeitpunkt vor und damit können bei Einschalten von die Dichtematrixgleichungen gelöst werden.
Beweis für GKSO
(in 3 Schritten)
a) Unschärfemaß für R ableiten:
Idee des Beweises: wir nehmen einen beliebigen statistischen Operator und zeigen
b)
c)
- spiegels später wieder was größer ist
nach b)
mit
folgt
mit folgt
R hat offensichtlich das maximale unschärfemaß f die vorgegebenen Nebenbedingungen
Entropie als maximales Unschärfemaß einer Beobachtung
maximales Unschärfemaß für eine Beobachtungsebene
ist
Die Entropie S zu einer Beobachtungsebene wird mit
- definiert.
Entropie als Maß für Unordnung / Nichtwissen
(Gleiverteilung hatte größtes
).
Ziel der Entropiedefinition ist die Verbindung zwischen mikroskopischer Welt
- und makroskopischer Welt (Druck, Temperatur etc);
also Zustandsgleichungen aus Z berechnen.
z.B.
Gibbs-Fundamentalrelation
dient zur Bestimmung von Zustandsgleichungen und lautet:
Entropieänderung ist verbunden mit der Änderung von
- Beweis gleich
Bmerkung zur Gibbsgleichung
- legt die Variblen fest
- legt verallgemeinter Kräfte fest:
- (z.B. )
- physikalische Interpretation bei E-Messung
- Kraft.Länge/(Fäche.Länge)
- Vorzeichen um zu haben
- E im Kasten ~ BILD kleiner
- Bestimmung der Langrangemultiplikatorenb (physikalischer Inhalt) um von Zustandsgleichungen über Gibbsgleichung
Vergleich von
ergibt
- Lagrangefaktoren
- Zustandsgleichung
Gibbsgleichung legt die Zustandsgleichungen fest und ist damit genauso fundamental wie die Maxwellgleichung der Elektrodynamik
z.B:
Beweis der Gibbsgleichung
mit Z arbeiten:
Das vollständige Differential von Z ist:
eingesetzt in dS:
Der Zweite Teil wird zu
→ergibt die Gibbsrelation