Vorurteilsfreie Schätzung des statistischen Operators zu einem festen Zeitpunkt: Unterschied zwischen den Versionen
*>SchuBot K →Entropie als maximales Unschärfemaß einer Beobachtung: Interpunktion |
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(3 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt) | |||
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*später wird y maximiert (Nichtwissen maximieren) unter der Nebenbedigung | *später wird y maximiert (Nichtwissen maximieren) unter der Nebenbedigung | ||
(<math>\left\{ \left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle \right\}</math> bekannt, bzw im Experiment festgelegt) um <math>\rho</math> zu finden | (<math>\left\{ \left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle \right\}</math> bekannt, bzw im Experiment festgelegt) um <math>\rho</math> zu finden | ||
* | *→ Vorurteilsfreie Wahl zeichnet keine andere Observable aus! | ||
===Definition des Unschäfremaßes=== | ===Definition des Unschäfremaßes=== | ||
<math>\eta \left( \rho \right)=-k\operatorname{Tr}\left( \rho \ln \rho \right)</math> | :<math>\eta \left( \rho \right)=-k\operatorname{Tr}\left( \rho \ln \rho \right)</math> | ||
(Funktional von <math>\rho</math> (analog: informationstheoretisches Maß von C. Channon 1946) | (Funktional von <math>\rho</math> (analog: informationstheoretisches Maß von C. Channon 1946) | ||
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& \Rightarrow \eta \left( \rho \right)\ge 0 \\ | & \Rightarrow \eta \left( \rho \right)\ge 0 \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
; 2) reiner Zustand | ; 2) reiner Zustand → <math>\eta \left( \rho \right)=0</math>: mit | ||
<math>{{\rho }_{0}}=\left| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i0}} \right|</math> | :<math>{{\rho }_{0}}=\left| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i0}} \right|</math> | ||
<math>\left| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle </math> ist der reine Zustand | :<math>\left| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle </math> ist der reine Zustand | ||
Eigenwertproblem | Eigenwertproblem | ||
<math>\left| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i0}} | :<math>\left| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i0}} | r \right\rangle =r\left| r \right\rangle </math> | ||
erfüllt für | erfüllt für | ||
<math>\left| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle =\left| r \right\rangle ,r=1</math> | :<math>\left| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle =\left| r \right\rangle ,r=1</math> | ||
<math>\eta \left( {{\rho }_{0}} \right)=-k\sum\limits_{m}^{{}}{{{r}_{m}}\ln {{r}_{m}}}=-k1\ln 1=0</math> | :<math>\eta \left( {{\rho }_{0}} \right)=-k\sum\limits_{m}^{{}}{{{r}_{m}}\ln {{r}_{m}}}=-k1\ln 1=0</math> | ||
;3) völlige Unbestimmtheit: betrachte Hibertraum der Diemension d (am Ende soll <math>d\to \infty</math> wie z.B in richtigem Kasten) | ;3) völlige Unbestimmtheit: betrachte Hibertraum der Diemension d (am Ende soll <math>d\to \infty</math> wie z.B in richtigem Kasten) | ||
<math>{{w}_{i}}=\frac{1}{d}</math> | :<math>{{w}_{i}}=\frac{1}{d}</math> | ||
die Wahrscheinlichkeit der Realisierungen muss gleich sein (analogie Würfel) | die Wahrscheinlichkeit der Realisierungen muss gleich sein (analogie Würfel) | ||
<math>\rho =\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}} \right|=\frac{1}{d}1</math> | :<math>\rho =\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}} \right|=\frac{1}{d}1</math> | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \eta \left( {{\rho }_{d}} \right)=-k\sum\limits_{i=1}^{d}{\left\langle i \right|}\frac{1}{d}\ln \frac{1}{d}\left| i \right\rangle \\ | & \eta \left( {{\rho }_{d}} \right)=-k\sum\limits_{i=1}^{d}{\left\langle i \right|}\frac{1}{d}\ln \frac{1}{d}\left| i \right\rangle \\ | ||
& =k\sum\limits_{i=1}^{d}{\frac{1}{d}\ln \frac{1}{d}}=k\ln \frac{1}{d} | & =k\sum\limits_{i=1}^{d}{\frac{1}{d}\ln \frac{1}{d}}=k\ln \frac{1}{d} | ||
Zeile 50: | Zeile 50: | ||
alle Grenywerte sind sinnvoll, damit | alle Grenywerte sind sinnvoll, damit | ||
<math>\eta \left( \rho \right)</math> | :<math>\eta \left( \rho \right)</math> | ||
ein sinnvolles Unschärfemaß | ein sinnvolles Unschärfemaß | ||
<math>\forall \rho </math> | :<math>\forall \rho </math> | ||
ist. | ist. | ||
Jetzt können wir | Jetzt können wir | ||
<math>\eta \left( \rho \right)</math> nehmen um | :<math>\eta \left( \rho \right)</math> nehmen um | ||
<math>\rho </math> | :<math>\rho </math> | ||
zu bestimmen. | zu bestimmen. | ||
Zeile 63: | Zeile 63: | ||
Wollen nun aus | Wollen nun aus | ||
<math>\eta \left( \rho \right)\to \rho </math> | :<math>\eta \left( \rho \right)\to \rho </math> | ||
sinnvoll finden natürlich ‘‘‘nicht‘‘‘ eindeutig, aber Wissen | sinnvoll finden natürlich ‘‘‘nicht‘‘‘ eindeutig, aber Wissen | ||
<math>\left\{ {{G}_{\nu }} \right\}</math> | :<math>\left\{ {{G}_{\nu }} \right\}</math> | ||
(Satz von Observablen / Beobachtungsebene) hilft: | (Satz von Observablen / Beobachtungsebene) hilft: | ||
→ wir maximieren <math>\eta \left( \rho \right)</math>also unser Nichtwissen unter den Bediungen des „Wissens“ von <math>{{G}_{\nu }}</math>“vorurteilsfrei“ . | → wir maximieren <math>\eta \left( \rho \right)</math>also unser Nichtwissen unter den Bediungen des „Wissens“ von <math>{{G}_{\nu }}</math>“vorurteilsfrei“. | ||
Nebenbedingung: | Nebenbedingung: | ||
<math>\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle =\operatorname{Tr}\left( \rho {{G}_{\nu }} \right)</math> | :<math>\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle =\operatorname{Tr}\left( \rho {{G}_{\nu }} \right)</math> | ||
z.B E, N | z.B E, N | ||
<math>\operatorname{Tr}\left( \rho \right)=1</math> | :<math>\operatorname{Tr}\left( \rho \right)=1</math> | ||
Ergebnis bevor es bewiesen wird: | Ergebnis bevor es bewiesen wird: | ||
{{Def|Der statistische Operator R der alle Forderungen: | {{Def|Der statistische Operator R der alle Forderungen: | ||
<math>\eta \left( \rho \right)=\text{maximal}\text{,}\quad \text{Tr}\left( {{G}_{\nu }}\rho \right)=\text{Tr}\left( {{G}_{\nu }}R \right),\quad \operatorname{Tr}\left( R \right)=1</math> | :<math>\eta \left( \rho \right)=\text{maximal}\text{,}\quad \text{Tr}\left( {{G}_{\nu }}\rho \right)=\text{Tr}\left( {{G}_{\nu }}R \right),\quad \operatorname{Tr}\left( R \right)=1</math> | ||
erfüllt heißt {{FB|generalisierter kanonischer statistischer Operator}} (GKSO) | erfüllt heißt {{FB|generalisierter kanonischer statistischer Operator}} (GKSO) | ||
<math>{{R}_{\left( {{G}_{\nu }} \right)}}=\frac{1}{{{Z}_{\left( {{G}_{\nu }} \right)}}}{{e}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}}</math> | :<math>{{R}_{\left( {{G}_{\nu }} \right)}}=\frac{1}{{{Z}_{\left( {{G}_{\nu }} \right)}}}{{e}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}}</math> | ||
|generalisierter kanonischer statistischer Operator}} | |generalisierter kanonischer statistischer Operator}} | ||
{{Def| | {{Def| | ||
<math>{{Z}_{\left( {{G}_{\nu }} \right)}}\equiv Z=\operatorname{Tr}\left( {{e}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}} \right)</math> Normierungsfaktor und wird Zustandssumme genannt|Zustandssumme}} | :<math>{{Z}_{\left( {{G}_{\nu }} \right)}}\equiv Z=\operatorname{Tr}\left( {{e}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}} \right)</math> Normierungsfaktor und wird Zustandssumme genannt|Zustandssumme}} | ||
es tauchen Lagrangefaktoren <math>\lambda_\nu</math> auf die die Umgebung (z.B. Temperatur) charakterisiern <math>\lambda_\nu</math> noch unbestimmt: Beispiel | es tauchen Lagrangefaktoren <math>\lambda_\nu</math> auf die die Umgebung (z.B. Temperatur) charakterisiern <math>\lambda_\nu</math> noch unbestimmt: Beispiel | ||
<math>G_1=H, R~e^{\frac{H}{kT}}, \lambda_1=\frac{1}{kT}</math> | :<math>G_1=H, R~e^{\frac{H}{kT}}, \lambda_1=\frac{1}{kT}</math> | ||
Bedeutung der Zustandssumme | Bedeutung der Zustandssumme | ||
<math>\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle =-\frac{1}{z}\frac{\partial Z}{\partial {{\lambda }_{\nu }}}</math> | :<math>\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle =-\frac{1}{z}\frac{\partial Z}{\partial {{\lambda }_{\nu }}}</math> | ||
bestimmen die Messgrößen (<math>G_\nu</math>) | bestimmen die Messgrößen (<math>G_\nu</math>) | ||
aus | aus | ||
<math>\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle =\operatorname{Tr}\left( {{G}_{\nu }}\frac{{{e}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}}}{Z} \right)</math> | :<math>\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle =\operatorname{Tr}\left( {{G}_{\nu }}\frac{{{e}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}}}{Z} \right)</math> | ||
<math>\rho=R</math> liegt damit für festen Zeitpunkt vor und damit können bei Einschalten von <math>h_\alpha(t)</math> die Dichtematrixgleichungen gelöst werden. | :<math>\rho=R</math> liegt damit für festen Zeitpunkt vor und damit können bei Einschalten von <math>h_\alpha(t)</math> die Dichtematrixgleichungen gelöst werden. | ||
===Beweis für GKSO=== | ===Beweis für GKSO=== | ||
Zeile 110: | Zeile 110: | ||
<math>R=\frac{1}{Z}{{e}^{-\sum\limits_{\nu }^{{}}{{}}{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}},\quad \ln R=-\sum\limits_{\nu }^{{}}{{}}{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}-\ln Z</math> | :<math>R=\frac{1}{Z}{{e}^{-\sum\limits_{\nu }^{{}}{{}}{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}},\quad \ln R=-\sum\limits_{\nu }^{{}}{{}}{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}-\ln Z</math> | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \eta \left( R \right)=-k\operatorname{Tr}\left( R\ln R \right)=-k\operatorname{Tr}\left( -R\sum\limits_{\nu }^{{}}{{}}{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}-R\ln Z \right) \\ | & \eta \left( R \right)=-k\operatorname{Tr}\left( R\ln R \right)=-k\operatorname{Tr}\left( -R\sum\limits_{\nu }^{{}}{{}}{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}-R\ln Z \right) \\ | ||
& =-k\sum\limits_{\nu }^{{}}{{}}{{\lambda }_{\nu }}\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle +k\ln Z \\ | & =-k\sum\limits_{\nu }^{{}}{{}}{{\lambda }_{\nu }}\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle +k\ln Z \\ | ||
Zeile 123: | Zeile 123: | ||
<u>b)</u> | <u>b)</u> | ||
<math>\operatorname{Tr}\left( \rho \ln R \right)\underbrace{=}_{\text{ansehen}}-\sum\limits_{\nu }^{{}}{{}}{{\lambda }_{\nu }}\underbrace{\operatorname{Tr}\left( \rho {{G}_{\nu }} \right)}_{\operatorname{Tr}\left( R{{G}_{\nu }} \right)}-\ln Z\equiv \operatorname{Tr}\left( R\rho R \right)</math> | :<math>\operatorname{Tr}\left( \rho \ln R \right)\underbrace{=}_{\text{ansehen}}-\sum\limits_{\nu }^{{}}{{}}{{\lambda }_{\nu }}\underbrace{\operatorname{Tr}\left( \rho {{G}_{\nu }} \right)}_{\operatorname{Tr}\left( R{{G}_{\nu }} \right)}-\ln Z\equiv \operatorname{Tr}\left( R\rho R \right)</math> | ||
<u>c)</u> | <u>c)</u> | ||
Zeile 130: | Zeile 130: | ||
<math>tr\left( \rho \ln \rho \right)-tr\left( R\ln R \right)</math> spiegels später wieder was größer ist | :<math>tr\left( \rho \ln \rho \right)-tr\left( R\ln R \right)</math> spiegels später wieder was größer ist | ||
nach b) | nach b) | ||
<math>=tr\left( \rho \ln \rho \right)-tr\left( \rho \ln R \right)</math> | :<math>=tr\left( \rho \ln \rho \right)-tr\left( \rho \ln R \right)</math> | ||
mit | mit | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \rho \left| {{r}_{m}} \right\rangle ={{r}_{m}}\left| {{r}_{m}} \right\rangle \\ | & \rho \left| {{r}_{m}} \right\rangle ={{r}_{m}}\left| {{r}_{m}} \right\rangle \\ | ||
& R\left| {{w}_{n}} \right\rangle ={{w}_{n}}\left| {{w}_{n}} \right\rangle \\ | & R\left| {{w}_{n}} \right\rangle ={{w}_{n}}\left| {{w}_{n}} \right\rangle \\ | ||
Zeile 142: | Zeile 142: | ||
folgt | folgt | ||
<math>=\sum\limits_{m}^{{}}{\underbrace{\left\langle {{r}_{m}} | {{r}_{m}} \right\rangle }_{1}}{{r}_{m}}\ln {{r}_{m}}-\sum\limits_{m}^{{}}{{}}{{r}_{m}}\left\langle {{r}_{m}} \right|\ln R\left| {{r}_{m}} \right\rangle </math> | :<math>=\sum\limits_{m}^{{}}{\underbrace{\left\langle {{r}_{m}} | {{r}_{m}} \right\rangle }_{1}}{{r}_{m}}\ln {{r}_{m}}-\sum\limits_{m}^{{}}{{}}{{r}_{m}}\left\langle {{r}_{m}} \right|\ln R\left| {{r}_{m}} \right\rangle </math> | ||
<math>\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\left| {{w}_{n}} \right\rangle \left\langle {{w}_{n}} \right|=1</math> | :<math>\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\left| {{w}_{n}} \right\rangle \left\langle {{w}_{n}} \right|=1</math> | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& =\sum\limits_{m,n}^{{}}{\left[ \left\langle {{r}_{m}} | {{w}_{n}} \right\rangle \left\langle {{w}_{n}} | {{r}_{m}} \right\rangle {{r}_{m}}\ln {{r}_{m}}-{{r}_{m}}\left\langle {{r}_{m}} \right|\ln R\left| {{w}_{n}} \right\rangle \left\langle {{w}_{n}} | {{r}_{m}} \right\rangle \right]} \\ | & =\sum\limits_{m,n}^{{}}{\left[ \left\langle {{r}_{m}} | {{w}_{n}} \right\rangle \left\langle {{w}_{n}} | {{r}_{m}} \right\rangle {{r}_{m}}\ln {{r}_{m}}-{{r}_{m}}\left\langle {{r}_{m}} \right|\ln R\left| {{w}_{n}} \right\rangle \left\langle {{w}_{n}} | {{r}_{m}} \right\rangle \right]} \\ | ||
& =\sum\limits_{m,n}^{{}}{\left[ {{\left| \left\langle {{r}_{m}} | {{w}_{n}} \right\rangle \right|}^{2}}{{r}_{m}}\left( \ln {{r}_{m}}-\ln {{R}_{n}} \right) \right]} \\ | & =\sum\limits_{m,n}^{{}}{\left[ {{\left| \left\langle {{r}_{m}} | {{w}_{n}} \right\rangle \right|}^{2}}{{r}_{m}}\left( \ln {{r}_{m}}-\ln {{R}_{n}} \right) \right]} \\ | ||
Zeile 156: | Zeile 156: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \sum\limits_{m,n}^{{}}{\left[ {{\left| \left\langle {{r}_{m}} | {{w}_{n}} \right\rangle \right|}^{2}}{{r}_{m}}\left( -\ln \frac{{{R}_{n}}}{{{r}_{m}}} \right) \right]}\ge \sum\limits_{m,n}^{{}}{\left[ {{\left| \left\langle {{r}_{m}} | {{w}_{n}} \right\rangle \right|}^{2}}{{r}_{m}}\left( 1-\frac{{{R}_{n}}}{{{r}_{m}}} \right) \right]} \\ | & \sum\limits_{m,n}^{{}}{\left[ {{\left| \left\langle {{r}_{m}} | {{w}_{n}} \right\rangle \right|}^{2}}{{r}_{m}}\left( -\ln \frac{{{R}_{n}}}{{{r}_{m}}} \right) \right]}\ge \sum\limits_{m,n}^{{}}{\left[ {{\left| \left\langle {{r}_{m}} | {{w}_{n}} \right\rangle \right|}^{2}}{{r}_{m}}\left( 1-\frac{{{R}_{n}}}{{{r}_{m}}} \right) \right]} \\ | ||
& =\sum\limits_{m,n}^{{}}{\left[ {{\left| \left\langle {{r}_{m}} | {{w}_{n}} \right\rangle \right|}^{2}}\left( {{r}_{m}}-{{R}_{n}} \right) \right]}=\sum\limits_{m}^{{}}{{{r}_{m}}}=\sum\limits_{n}^{{}}{{{R}_{n}}} \\ | & =\sum\limits_{m,n}^{{}}{\left[ {{\left| \left\langle {{r}_{m}} | {{w}_{n}} \right\rangle \right|}^{2}}\left( {{r}_{m}}-{{R}_{n}} \right) \right]}=\sum\limits_{m}^{{}}{{{r}_{m}}}=\sum\limits_{n}^{{}}{{{R}_{n}}} \\ | ||
Zeile 164: | Zeile 164: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \to \operatorname{Tr}\left( \rho \ln \rho \right)\ge \operatorname{Tr}\left( R\ln R \right)\quad |-k \\ | & \to \operatorname{Tr}\left( \rho \ln \rho \right)\ge \operatorname{Tr}\left( R\ln R \right)\quad |-k \\ | ||
& \eta \left( \rho \right)\le \eta \left( R \right) \\ | & \eta \left( \rho \right)\le \eta \left( R \right) \\ | ||
Zeile 175: | Zeile 175: | ||
maximales Unschärfemaß für eine Beobachtungsebene | maximales Unschärfemaß für eine Beobachtungsebene | ||
<math>\left\{ {{G}_{\nu }} \right\}</math> | :<math>\left\{ {{G}_{\nu }} \right\}</math> | ||
ist | ist | ||
<math>\eta \left( R \right)=-k\operatorname{Tr}\left( R\ln R \right)</math> | :<math>\eta \left( R \right)=-k\operatorname{Tr}\left( R\ln R \right)</math> | ||
<math>{{R}_{\left\{ {{G}_{\nu }} \right\}}}\equiv R=\frac{1}{Z}{{e}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}}</math> | :<math>{{R}_{\left\{ {{G}_{\nu }} \right\}}}\equiv R=\frac{1}{Z}{{e}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}}</math> | ||
Die Entropie S zu einer Beobachtungsebene <math>\left\{ {{G}_{\nu }} \right\}</math> wird mit | Die Entropie S zu einer Beobachtungsebene <math>\left\{ {{G}_{\nu }} \right\}</math> wird mit | ||
<math>S=\eta \left( R \right)</math> definiert. | :<math>S=\eta \left( R \right)</math> definiert. | ||
Entropie als Maß für Unordnung / Nichtwissen | Entropie als Maß für Unordnung / Nichtwissen | ||
(Gleiverteilung hatte größtes | (Gleiverteilung hatte größtes | ||
<math>\eta \left( R \right)</math> | :<math>\eta \left( R \right)</math>). | ||
). | |||
Ziel der {{FB|Entropiedefinition}} ist die Verbindung zwischen mikroskopischer Welt | Ziel der {{FB|Entropiedefinition}} ist die Verbindung zwischen mikroskopischer Welt | ||
<math>\left( Z=\sum\limits_{Zust\ddot{a}nde}{\ldots } \right)</math> und makroskopischer Welt (Druck, Temperatur etc); | :<math>\left( Z=\sum\limits_{Zust\ddot{a}nde}{\ldots } \right)</math> und makroskopischer Welt (Druck, Temperatur etc); | ||
also Zustandsgleichungen aus Z berechnen. | also Zustandsgleichungen aus Z berechnen. | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& S=-k\operatorname{Tr}\left( \frac{1}{Z}{{e}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}}\ln \left( \frac{1}{Z}{{e}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}} \right) \right) \\ | & S=-k\operatorname{Tr}\left( \frac{1}{Z}{{e}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}}\ln \left( \frac{1}{Z}{{e}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}} \right) \right) \\ | ||
& =-k\operatorname{Tr}\left( \frac{1}{Z}{{e}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}}\left( -\ln Z-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}} \right) \right) \\ | & =-k\operatorname{Tr}\left( \frac{1}{Z}{{e}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}}\left( -\ln Z-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}} \right) \right) \\ | ||
Zeile 203: | Zeile 203: | ||
z.B. | z.B. | ||
<math>S=S\left( \left\langle H \right\rangle ,\left\langle N \right\rangle ,V \right)</math> | :<math>S=S\left( \left\langle H \right\rangle ,\left\langle N \right\rangle ,V \right)</math> | ||
Zeile 210: | Zeile 210: | ||
dient zur Bestimmung von Zustandsgleichungen und lautet: | dient zur Bestimmung von Zustandsgleichungen und lautet: | ||
<math>dS=k\sum\limits_{\nu }^{{}}{{{\lambda }_{\nu }}}\left( d\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle -\sum\limits_{\alpha }{{}}\left\langle {{\partial }_{{{h}_{\alpha }}}}{{G}_{\nu }} \right\rangle d{{h}_{\alpha }} \right)</math> | :<math>dS=k\sum\limits_{\nu }^{{}}{{{\lambda }_{\nu }}}\left( d\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle -\sum\limits_{\alpha }{{}}\left\langle {{\partial }_{{{h}_{\alpha }}}}{{G}_{\nu }} \right\rangle d{{h}_{\alpha }} \right)</math> | ||
Entropieänderung ist verbunden mit der Änderung von | Entropieänderung ist verbunden mit der Änderung von | ||
<math>\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle ,{{h}_{\alpha }}</math>[[Vorurteilsfreie Schätzung des statistischen Operators zu einem festen Zeitpunkt#Beweis der Gibbsgleichung|Beweis gleich]] | :<math>\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle ,{{h}_{\alpha }}</math>[[Vorurteilsfreie Schätzung des statistischen Operators zu einem festen Zeitpunkt#Beweis der Gibbsgleichung|Beweis gleich]] | ||
Zeile 225: | Zeile 225: | ||
*Bestimmung der Langrangemultiplikatorenb (physikalischer Inhalt) um von Zustandsgleichungen über Gibbsgleichung | *Bestimmung der Langrangemultiplikatorenb (physikalischer Inhalt) um von Zustandsgleichungen über Gibbsgleichung | ||
Vergleich von | Vergleich von | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& dS=k\sum\limits_{\nu }^{{}}{{{\lambda }_{\nu }}}\left( d\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle -\sum\limits_{\alpha }{{}}{{M}_{\nu ,\alpha }}d{{h}_{\alpha }} \right) \\ | & dS=k\sum\limits_{\nu }^{{}}{{{\lambda }_{\nu }}}\left( d\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle -\sum\limits_{\alpha }{{}}{{M}_{\nu ,\alpha }}d{{h}_{\alpha }} \right) \\ | ||
& dS=\sum\limits_{\nu }^{{}}{\frac{{{\partial }_{S}}}{\partial \left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle }}\left( d\left\langle {{{\bar{G}}}_{\nu }} \right\rangle -\sum\limits_{\alpha }{\frac{\partial S}{\partial {{h}_{\alpha }}}}d{{h}_{\alpha }} \right) | & dS=\sum\limits_{\nu }^{{}}{\frac{{{\partial }_{S}}}{\partial \left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle }}\left( d\left\langle {{{\bar{G}}}_{\nu }} \right\rangle -\sum\limits_{\alpha }{\frac{\partial S}{\partial {{h}_{\alpha }}}}d{{h}_{\alpha }} \right) | ||
Zeile 240: | Zeile 240: | ||
====Beweis der Gibbsgleichung==== | ====Beweis der Gibbsgleichung==== | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& S=k\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle }+k\ln Z \\ | & S=k\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle }+k\ln Z \\ | ||
& dS=k\sum\limits_{\nu }{\left( d{{\lambda }_{\nu }}\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle +{{\lambda }_{\nu }}d\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle \right)}+k\frac{dZ}{Z} \\ | & dS=k\sum\limits_{\nu }{\left( d{{\lambda }_{\nu }}\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle +{{\lambda }_{\nu }}d\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle \right)}+k\frac{dZ}{Z} \\ | ||
Zeile 248: | Zeile 248: | ||
mit Z arbeiten: | mit Z arbeiten: | ||
<math>Z=\operatorname{Tr}\left( {{\operatorname{e}}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}} \right)=Z\left( {{\lambda }_{\nu }},{{h}_{\alpha }} \right)</math> | :<math>Z=\operatorname{Tr}\left( {{\operatorname{e}}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}} \right)=Z\left( {{\lambda }_{\nu }},{{h}_{\alpha }} \right)</math> | ||
<math>{{G}_{\nu }}={{G}_{0}}\left( {{h}_{\alpha }} \right)</math> | :<math>{{G}_{\nu }}={{G}_{0}}\left( {{h}_{\alpha }} \right)</math> | ||
Das vollständige Differential von Z ist: | Das vollständige Differential von Z ist: | ||
<math>dZ=\sum\limits_{\nu }{\frac{\partial Z}{\partial {{\lambda }_{\nu }}}d{{\lambda }_{\nu }}+}\sum\limits_{\alpha }{\frac{\partial Z}{\partial {{h}_{\alpha }}}d{{h}_{\alpha }}}</math> | :<math>dZ=\sum\limits_{\nu }{\frac{\partial Z}{\partial {{\lambda }_{\nu }}}d{{\lambda }_{\nu }}+}\sum\limits_{\alpha }{\frac{\partial Z}{\partial {{h}_{\alpha }}}d{{h}_{\alpha }}}</math> | ||
eingesetzt in dS: | eingesetzt in dS: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& S=k\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle }+k\ln Z \\ | & S=k\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle }+k\ln Z \\ | ||
& dS=k\sum\limits_{\nu }{\left( d{{\lambda }_{\nu }}\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle +{{\lambda }_{\nu }}d\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle \right)}+k\frac{dZ}{Z} \\ | & dS=k\sum\limits_{\nu }{\left( d{{\lambda }_{\nu }}\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle +{{\lambda }_{\nu }}d\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle \right)}+k\frac{dZ}{Z} \\ | ||
Zeile 274: | Zeile 274: | ||
Der Zweite Teil wird zu | Der Zweite Teil wird zu | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& k\sum\limits_{\alpha }{\frac{1}{Z}\frac{\partial Z}{\partial {{h}_{\alpha }}}d{{h}_{\alpha }}}=k\sum\limits_{\alpha }{\frac{1}{Z}\operatorname{Tr}\left( \frac{\partial }{\partial {{h}_{\alpha }}}{{\operatorname{e}}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}} \right)d{{h}_{\alpha }}} \\ | & k\sum\limits_{\alpha }{\frac{1}{Z}\frac{\partial Z}{\partial {{h}_{\alpha }}}d{{h}_{\alpha }}}=k\sum\limits_{\alpha }{\frac{1}{Z}\operatorname{Tr}\left( \frac{\partial }{\partial {{h}_{\alpha }}}{{\operatorname{e}}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}} \right)d{{h}_{\alpha }}} \\ | ||
& =k\sum\limits_{\alpha }{\operatorname{Tr}\left( -\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}}\frac{\partial {{G}_{\nu }}}{\partial {{h}_{\alpha }}}R \right)d{{h}_{\alpha }}} \\ | & =k\sum\limits_{\alpha }{\operatorname{Tr}\left( -\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}}\frac{\partial {{G}_{\nu }}}{\partial {{h}_{\alpha }}}R \right)d{{h}_{\alpha }}} \\ | ||
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Aktuelle Version vom 16. September 2010, 23:08 Uhr
Der Artikel Vorurteilsfreie Schätzung des statistischen Operators zu einem festen Zeitpunkt basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 2.Kapitels (Abschnitt 3) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr. |
Vorurteilsfreie Schätzung des statistischen Operators zu einem festen Zeitpunkt | Grundlagen der statistischen Beschreibung | |
---|---|---|
Motivation: ( < Eintreffen des Feldes ) bestimmen, hier formulieren wir das so allgemein, dass später Theorie auch für eine Abfolge von 's, also ) bei eingeschaltetem Feld gilt.
Unschärfemaß des statistischen Operators
Problem sei Satz von Observablen (z.B N,E eines Gases)
- andere Infos sollen nicht gemessen werden wenn wir festlegen, so muss das so geschehn, dass nicht mehr Info als festgelegt wird.
- nur sicherzustellen, dass wir nicht mehr Info fordern als zustetht bilden wir Unschärfemaß und soll angeben wie weit wir von reinem Zustand entfernt sind
- später wird y maximiert (Nichtwissen maximieren) unter der Nebenbedigung
( bekannt, bzw im Experiment festgelegt) um zu finden
- → Vorurteilsfreie Wahl zeichnet keine andere Observable aus!
Definition des Unschäfremaßes
(Funktional von (analog: informationstheoretisches Maß von C. Channon 1946)
Ist das sinnvoll?
- sollte positiv sein, um Maß für Unschärfe zu ergeben
- solte 0 sein für einen reinen Zustand
- sollte sein für einen komplett unbestimmten Zustand
ist zu zeigen:'
- 1)
- als Eigenwertgleichung für
- 2) reiner Zustand →
- mit
- ist der reine Zustand
Eigenwertproblem
erfüllt für
- 3) völlige Unbestimmtheit
- betrachte Hibertraum der Diemension d (am Ende soll wie z.B in richtigem Kasten)
die Wahrscheinlichkeit der Realisierungen muss gleich sein (analogie Würfel)
für folgt
alle Grenywerte sind sinnvoll, damit
ein sinnvolles Unschärfemaß
ist.
Jetzt können wir
- nehmen um
zu bestimmen.
Der generalisierte statistische Operator
Wollen nun aus
sinnvoll finden natürlich ‘‘‘nicht‘‘‘ eindeutig, aber Wissen
(Satz von Observablen / Beobachtungsebene) hilft:
→ wir maximieren also unser Nichtwissen unter den Bediungen des „Wissens“ von “vorurteilsfrei“.
Nebenbedingung:
z.B E, N
Ergebnis bevor es bewiesen wird:
Der statistische Operator R der alle Forderungen:
erfüllt heißt generalisierter kanonischer statistischer Operator (GKSO) |
|
es tauchen Lagrangefaktoren auf die die Umgebung (z.B. Temperatur) charakterisiern noch unbestimmt: Beispiel
Bedeutung der Zustandssumme
bestimmen die Messgrößen () aus
- liegt damit für festen Zeitpunkt vor und damit können bei Einschalten von die Dichtematrixgleichungen gelöst werden.
Beweis für GKSO
(in 3 Schritten) a) Unschärfemaß für R ableiten:
Idee des Beweises: wir nehmen einen beliebigen statistischen Operator und zeigen
b)
c)
- spiegels später wieder was größer ist
nach b)
mit
folgt
mit folgt
R hat offensichtlich das maximale unschärfemaß f die vorgegebenen Nebenbedingungen
Entropie als maximales Unschärfemaß einer Beobachtung
maximales Unschärfemaß für eine Beobachtungsebene
ist
Die Entropie S zu einer Beobachtungsebene wird mit
- definiert.
Entropie als Maß für Unordnung / Nichtwissen (Gleiverteilung hatte größtes
- ).
Ziel der Entropiedefinition ist die Verbindung zwischen mikroskopischer Welt
- und makroskopischer Welt (Druck, Temperatur etc);
also Zustandsgleichungen aus Z berechnen.
z.B.
Gibbs-Fundamentalrelation
dient zur Bestimmung von Zustandsgleichungen und lautet:
Entropieänderung ist verbunden mit der Änderung von
Bmerkung zur Gibbsgleichung
- legt die Variblen fest
- legt verallgemeinter Kräfte fest:
- (z.B. )
- physikalische Interpretation bei E-Messung
- Kraft.Länge/(Fäche.Länge)
- Vorzeichen um zu haben
- E im Kasten ~ BILD kleiner
- Bestimmung der Langrangemultiplikatorenb (physikalischer Inhalt) um von Zustandsgleichungen über Gibbsgleichung
Vergleich von
ergibt
Gibbsgleichung legt die Zustandsgleichungen fest und ist damit genauso fundamental wie die Maxwellgleichung der Elektrodynamik
z.B:
Beweis der Gibbsgleichung
mit Z arbeiten:
Das vollständige Differential von Z ist:
eingesetzt in dS:
Der Zweite Teil wird zu
→ergibt die Gibbsrelation