Transformationsverhalten der Ströme und Felder

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Transformationsverhalten der Ströme und Felder basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 6.Kapitels (Abschnitt 2) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Transformationsverhalten der Ströme und Felder	Relativistische Formulierung der Elektrodynamik	Elektrodynamik Schöll
	Ko- und Kontravariante Schreibweise der Relativitätstheorie Transformationsverhalten der Ströme und Felder Relativistisches Hamiltonprinzip Inhomogene Maxwellgleichungen im Vakuum Eichinvarianz und Ladungserhaltung	Elektrostatik Stationäre Ströme und Magnetfeld Die Maxwell-Gleichungen Elektromagnetische Wellen Materie in elektrischen und magnetischen Feldern Relativistische Formulierung der Elektrodynamik

Transformationsverhalten der Ströme und Felder

Ziel: Ko- / Kontravariante Schreibweise der Elektrodynamik im Vakuum

Grund: Die klassische Elektrodynamik ist bereits eine Lorentz- invariante Theorie !!

Historisch gab die Maxwellsche Elektrodynamik und nicht die Mechanik den Anstoß zur Relativitätstheorie überhaupt !

Ladungserhaltung aus Kontinuitätsgleichung:

${\begin{aligned}&div{\bar {j}}+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial {{j}_{x}}}{\partial x}}+{\frac {\partial {{j}_{y}}}{\partial y}}+{\frac {\partial {{j}_{z}}}{\partial z}}+{\frac {\partial c\rho }{\partial ct}}=0\\&0={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum \limits _{\alpha =1}^{3}{}{{\partial }_{\alpha }}{{j}^{\alpha }}\\\end{aligned}}$

Somit gewinnen wir aber ebenfalls wieder einen Lorentz- Skalar, nämlich

${{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}=0$

in Viererschreibweise. Die Vierer- Stromdichte ist

$\left\{{{j}^{\mu }}\right\}=\left\{c\rho ,{\bar {j}}\right\}$ ebenfalls ein kontravarianter Vierer- Vektor . Er heißt Vierer- Stromdichte. Die Kontinuitätsgleichung ist gleich ${{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}=0$

Forderung: Ladungserhaltung soll in allen Inertialsystemen gelten ! ->

${{j}^{\mu }}=0$ muss sich wie ein Vierervektor transformieren, damit das Skalarprodukt ${{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}=0$ Lorentz- invariant ist !:

${\begin{aligned}&{{x}^{0}}{\acute {\ }}=\gamma \left({{x}^{0}}-\beta {{x}^{1}}\right)\Leftrightarrow t{\acute {\ }}=\gamma \left(t-{\frac {v}{{c}^{2}}}{{x}^{1}}\right)\\&{{x}^{1}}{\acute {\ }}=\gamma \left({{x}^{1}}-\beta {{x}^{0}}\right)\Leftrightarrow {{x}^{1}}{\acute {\ }}=\gamma \left({{x}^{1}}-vt\right)\\&{{x}^{2}}{\acute {\ }}={{x}^{2}}\\&{{x}^{3}}{\acute {\ }}={{x}^{3}}\\\end{aligned}}$

Also gilt für Ladungs- und Stromdichten:

${\begin{aligned}&{{j}^{0}}{\acute {\ }}=\gamma \left({{j}^{0}}-\beta {{j}^{1}}\right)\Leftrightarrow \rho {\acute {\ }}=\gamma \left(\rho -{\frac {v}{{c}^{2}}}{{j}^{1}}\right)\\&{{j}^{1}}{\acute {\ }}=\gamma \left({{j}^{1}}-\beta {{j}^{0}}\right)\Leftrightarrow {{j}^{1}}{\acute {\ }}=\gamma \left({{j}^{1}}-v\rho \right)\\&{{j}^{2}}{\acute {\ }}={{j}^{2}}\\&{{j}^{3}}{\acute {\ }}={{j}^{3}}\\\end{aligned}}$

Merke: Es sollte kein Missverständnis geschehen: Ist ein Vektor in ein Lorentz- invariantes Skalarprodukt verwickelt, so ist es ein Vierervektor. Damit ist klar: Seine Komponenten transfornmieren nach der Lorentz- Trafo. Dadurch aber ist die Trafo für seine Komponenten, die Beispielsweise Ladungs- und Stromdichten sind, gefunden.

4- Potenziale:

Die Potenziale $\Phi ,{\bar {A}}$ sind in der Lorentz- Eichung $\nabla \cdot {\bar {A}}+{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\phi =0$ Lösungen von

${\begin{aligned}&\Delta {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{t}^{2}}}}{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=-{{\mu }_{0}}{\bar {j}}\\&\#{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=-{{\mu }_{0}}{\bar {j}}\\&\#=-{{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }}\\&{{\mu }_{0}}c={\frac {1}{{{\varepsilon }_{0}}c}}\\&\#{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=-{{\mu }_{0}}{\bar {j}}\Leftrightarrow {{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }}c{{A}^{\alpha }}={\frac {1}{{{\varepsilon }_{0}}c}}{{j}^{\alpha }}\\&\alpha =1,2,3\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&\Delta \phi \left({\bar {r}},t\right)-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{t}^{2}}}}\phi \left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {\rho }{{\varepsilon }_{0}}}=-{{\mu }_{0}}{{c}^{2}}\rho \\&\#\phi \left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {\rho }{{\varepsilon }_{0}}}\Leftrightarrow {{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }}\phi ={\frac {1}{{{\varepsilon }_{0}}c}}{{j}^{0}}\\\end{aligned}}$

Zusammen:

${\begin{aligned}&-\#{{\Phi }^{\mu }}={{\partial }_{\alpha }}{{\partial }^{\alpha }}{{\Phi }^{\mu }}={{\mu }_{0}}{{j}^{\mu }}\\&{{\Phi }^{0}}:=\phi \\&{{\Phi }^{i}}:=c{{A}^{i}}\quad i=1..3\\\end{aligned}}$

Da ${{j}^{\mu }}$ Vierervektoren sind ( wie Vierervektoren transformieren), muss auch ${{\Phi }^{\mu }}$ wie ein Vierervektor transformieren. Denn: Der d´Alembert- Operator ist Lorentz- invariant:

${{\partial }_{\alpha }}{{\partial }^{\alpha }}$ lorentz- invariant !:

${\begin{aligned}&{{\Phi }^{0}}{\acute {\ }}=\gamma \left({{\Phi }^{0}}-\beta {{\Phi }^{1}}\right)\quad bzw.\quad \Phi {\acute {\ }}=\gamma \left(\Phi -v{{A}^{1}}\right)\\&{{\Phi }^{1}}{\acute {\ }}=\gamma \left({{\Phi }^{1}}-\beta {{\Phi }^{0}}\right)\quad bzw.\quad A{{\acute {\ }}^{1}}=\gamma \left({{A}^{1}}-{\frac {v}{{c}^{2}}}\Phi \right),{{A}^{{\acute {\ }}2}}={{A}^{2}},A{{\acute {\ }}^{3}}={{A}^{3}}\\\end{aligned}}$

Nun: Lorentz- Eichung:

$\nabla \cdot {\bar {A}}+{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\phi =0$

Lorentz- Eichung <-> Lorentz- Invarianz ${{\partial }_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}=0$ ( Gegensatz zur Coulomb- Eichung)

${{\partial }_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}=0\Leftrightarrow \nabla \cdot {\bar {A}}+{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\phi =0$

Umeichung:

${\begin{aligned}&{\tilde {\bar {A}}}={\bar {A}}+\nabla F\\&{\tilde {\phi }}=\phi -{\frac {\partial }{\partial t}}F\\&\Leftrightarrow \\&c{{\tilde {A}}^{\alpha }}=c{{A}^{\alpha }}+{{\partial }_{\alpha }}cF=c{{A}^{\alpha }}-{{\partial }^{\alpha }}cF\\&{{\tilde {\Phi }}^{0}}={{\Phi }^{0}}-{{\partial }_{0}}cF={{\Phi }^{0}}-{{\partial }^{0}}cF\\\end{aligned}}$

Also:

${{\tilde {\Phi }}^{\mu }}={{\Phi }^{\mu }}-{{\partial }^{\mu }}cF$

Felder E und B:

${\begin{aligned}&{\bar {E}}=-grad\phi -{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {A}}\\&\Rightarrow {{E}^{\alpha }}=-{{\partial }_{\alpha }}\phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}c{{A}^{\alpha }}=-{{\partial }_{\alpha }}{{\Phi }^{0}}-{{\partial }_{0}}{{\Phi }^{\alpha }}={{\partial }^{\alpha }}{{\Phi }^{0}}-{{\partial }^{0}}{{\Phi }^{\alpha }}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&{\bar {B}}=\nabla \times {\bar {A}}\\&\Rightarrow c{{B}^{1}}={{\partial }_{2}}c{{A}^{3}}-{{\partial }_{3}}c{{A}^{2}}={{\partial }_{2}}{{\Phi }^{3}}-{{\partial }_{3}}{{\Phi }^{2}}={{\partial }^{3}}{{\Phi }^{2}}-{{\partial }^{2}}{{\Phi }^{3}}\\\end{aligned}}$

Die anderen Komponenten gewinnt man durch zyklische Vertauschung:

${\begin{aligned}&c{{B}^{2}}={{\partial }^{1}}{{\Phi }^{3}}-{{\partial }^{3}}{{\Phi }^{1}}\\&c{{B}^{3}}={{\partial }^{2}}{{\Phi }^{1}}-{{\partial }^{1}}{{\Phi }^{2}}\\\end{aligned}}$

Diese Gleichungen werden zusammengefasst durch den antisymmetrtischen Feldstärketensor:

${\begin{aligned}&\left\{{{F}_{\mu \nu }}\right\}=\left\{{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }}\right\}=\left({\begin{matrix}0&{\frac {1}{c}}{{E}_{x}}&{\frac {1}{c}}{{E}_{y}}&{\frac {1}{c}}{{E}_{z}}\\-{\frac {1}{c}}{{E}_{x}}&0&-{{B}_{z}}&{{B}_{y}}\\-{\frac {1}{c}}{{E}_{y}}&{{B}_{z}}&0&-{{B}_{x}}\\-{\frac {1}{c}}{{E}_{z}}&-{{B}_{y}}&{{B}_{x}}&0\\\end{matrix}}\right)\\&{{F}^{\mu \nu }}=\left\{{{\partial }^{\mu }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\mu }}\right\}=\left({\begin{matrix}0&-{\frac {1}{c}}{{E}_{x}}&-{\frac {1}{c}}{{E}_{y}}&-{\frac {1}{c}}{{E}_{z}}\\{\frac {1}{c}}{{E}_{x}}&0&-{{B}_{z}}&{{B}_{y}}\\{\frac {1}{c}}{{E}_{y}}&{{B}_{z}}&0&-{{B}_{x}}\\{\frac {1}{c}}{{E}_{z}}&-{{B}_{y}}&{{B}_{x}}&0\\\end{matrix}}\right)\\&\Leftrightarrow {{F}^{\mu \nu }}=\left\{{{\partial }^{\mu }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\mu }}\right\}=\left({\begin{matrix}0&-{{E}^{1}}&-{{E}^{2}}&-{{E}^{3}}\\{{E}^{1}}&0&-c{{B}^{3}}&c{{B}^{2}}\\{{E}^{2}}&c{{B}^{3}}&0&-c{{B}^{1}}\\{{E}^{3}}&-c{{B}^{2}}&c{{B}^{1}}&0\\\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}$

Wegen der Antisymmetrie hat ${{F}^{\mu \nu }}$ nur 6 unabhängige Komponenten !

Das bedeutet, die Raum- Raum- Komponenten entsprechen

$rot{\bar {A}}={\bar {B}}$

während die Raum- zeit- Komponenten:

${\bar {E}}=-grad\phi -{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {A}}$ erfüllen.

Lorentz- Trafo der Felder:

Der Feldstärketensor ist kovariant und transformiert demnach über die inverse Lorentz- Transformation. Das heißt: Für die Transformation in ein in x- Richtung mit konstanter Geschwindigkeit ${\bar {v}}$ bewegtes System K´ gilt:

${{F}_{}}{{\acute {\ }}^{\mu \nu }}={{U}^{\mu }}_{\lambda }{{U}^{\nu }}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}$

${{U}^{i}}_{k}=\left({\begin{matrix}{\frac {1}{\sqrt {1-{{\beta }^{2}}}}}&{\frac {-\beta }{\sqrt {1-{{\beta }^{2}}}}}&0&0\\{\frac {-\beta }{\sqrt {1-{{\beta }^{2}}}}}&{\frac {1}{\sqrt {1-{{\beta }^{2}}}}}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matrix}}\right)$

Damit läßt sich nun das uns unbekannte Transformationsverhalten der Felder ${\bar {E}}$ und $rot{\bar {A}}={\bar {B}}$ berechnen, die auch kovariant transformieren müssen. Dabei sollte keinesfalls die Summation über die Indices auf der rechten Seite vergessen werden !!

${\begin{aligned}&E{{\acute {\ }}^{1}}=F{{\acute {\ }}^{10}}={{U}^{1}}_{\lambda }{{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}=-\beta \gamma {{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{0\kappa }}+\gamma {{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{1\kappa }}={{\left(\beta \gamma \right)}^{2}}{{F}^{01}}+{{\gamma }^{2}}{{F}^{10}}=\\&={{\gamma }^{2}}\left(1-{{\beta }^{2}}\right){{F}^{10}}={{E}^{1}}\\&{{\gamma }^{2}}\left(1-{{\beta }^{2}}\right)=1\\&\\&E{{\acute {\ }}^{2}}=F{{\acute {\ }}^{20}}={{U}^{2}}_{\lambda }{{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}={{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{2\kappa }}=\gamma {{F}^{20}}-\beta \gamma {{F}^{21}}=\gamma \left({{E}^{2}}-v{{B}^{3}}\right)\\\end{aligned}}$

$E{{\acute {\ }}^{3}}=F{{\acute {\ }}^{30}}={{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{3\kappa }}=\gamma {{F}^{30}}-\beta \gamma {{F}^{31}}=\gamma \left({{E}^{3}}+v{{B}^{2}}\right)$

${\begin{aligned}&B{{\acute {\ }}^{1}}={\frac {1}{c}}F{{\acute {\ }}^{32}}={\frac {1}{c}}{{U}^{3}}_{\lambda }{{U}^{2}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}={\frac {1}{c}}{{F}^{32}}={{B}^{1}}\\&B{{\acute {\ }}^{2}}={\frac {1}{c}}F{{\acute {\ }}^{13}}={\frac {1}{c}}{{U}^{1}}_{\lambda }{{U}^{3}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}={\frac {1}{c}}{{U}^{1}}_{\kappa }{{F}^{\kappa 3}}=-{\frac {\beta \gamma }{c}}{{F}^{03}}+{\frac {\gamma }{c}}{{F}^{13}}=\gamma \left({{B}^{2}}+{\frac {v}{{c}^{2}}}{{E}^{3}}\right)\\\end{aligned}}$

$B{{\acute {\ }}^{3}}=\gamma \left({{B}^{3}}-{\frac {v}{{c}^{2}}}{{E}^{2}}\right)$

Zusammenfassung

${\begin{aligned}&{{E}^{1}}{\acute {\ }}={{E}^{1}}\\&{{E}^{2}}{\acute {\ }}={\frac {1}{\sqrt {1-{{\beta }^{2}}}}}\left({{E}^{2}}-v{{B}^{3}}\right)\\&{{E}^{3}}{\acute {\ }}={\frac {1}{\sqrt {1-{{\beta }^{2}}}}}\left({{E}^{3}}+v{{B}^{2}}\right)\\&{{B}^{1}}{\acute {\ }}={{B}^{1}}\\&{{B}^{2}}{\acute {\ }}={\frac {1}{\sqrt {1-{{\beta }^{2}}}}}\left({{B}^{2}}+{\frac {v}{{c}^{2}}}{{E}^{3}}\right)\\&{{B}^{3}}{\acute {\ }}={\frac {1}{\sqrt {1-{{\beta }^{2}}}}}\left({{B}^{3}}-{\frac {v}{{c}^{2}}}{{E}^{2}}\right)\\\end{aligned}}$

Elektrische und magnetische Felder werden beim Übergang zwischen verschiedenen Inertialsystemen ineinander transformiert !

Umeichung:

${{\tilde {\Phi }}^{\mu }}={{\Phi }^{\mu }}+{{\partial }^{\mu }}\phi$

Somit:

${\begin{aligned}&{{\tilde {F}}^{\mu \nu }}={{\partial }^{\mu }}{{\tilde {\Phi }}^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\tilde {\Phi }}^{\mu }}={{\partial }^{\mu }}\left({{\Phi }^{\nu }}+{{\partial }^{\nu }}\phi \right)-{{\partial }^{\nu }}\left({{\Phi }^{\mu }}+{{\partial }^{\mu }}\phi \right)\\&={{\partial }^{\mu }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\mu }}+{{\partial }^{\mu }}{{\partial }^{\nu }}\phi -{{\partial }^{\nu }}{{\partial }^{\mu }}\phi ={{F}^{\mu \nu }}\\\end{aligned}}$

Homogene Maxwell- Gleichungen

${\begin{aligned}&\nabla \cdot {\bar {B}}={{\partial }_{1}}{{B}^{1}}+{{\partial }_{2}}{{B}^{2}}+{{\partial }_{3}}{{B}^{3}}=0\\&\Rightarrow {{\partial }_{1}}{{F}^{32}}+{{\partial }_{2}}{{F}^{13}}+{{\partial }_{3}}{{F}^{21}}=0\\&\\\end{aligned}}$

Mit

${\begin{aligned}&{{\partial }_{1}}=-{{\partial }^{1}}\\&{{F}^{32}}=-{{F}^{23}}\\&\Rightarrow {{\partial }^{1}}{{F}^{23}}+{{\partial }^{2}}{{F}^{31}}+{{\partial }^{3}}{{F}^{12}}=0\\&\\\end{aligned}}$

+ zyklisch in (123)

innere Feldgleichung für E- Feld

$\nabla \times {\bar {E}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}}$

1. Komponente

${{\partial }_{2}}{{E}^{3}}-{{\partial }_{3}}{{E}^{2}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{{B}^{1}}=0$

$\Rightarrow {{\partial }^{0}}{{F}^{23}}+{{\partial }^{2}}{{F}^{30}}+{{\partial }^{3}}{{F}^{02}}=0$ und zyklisch (023)

zyklische Permutation 1 -> 2 -> 3 -> 1 und mit

${{F}^{ik}}=-{{F}^{ki}}$

liefert:

${\begin{aligned}&\Rightarrow {{\partial }^{0}}{{F}^{13}}+{{\partial }^{3}}{{F}^{01}}+{{\partial }^{1}}{{F}^{30}}=0\quad zyklisch(013)\\&\Rightarrow {{\partial }^{0}}{{F}^{12}}+{{\partial }^{1}}{{F}^{20}}+{{\partial }^{2}}{{F}^{01}}=0\quad zyklisch(012)\\\end{aligned}}$

Zusammenfassung der homogenen Maxwellgleichungen

${{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}{{\partial }_{\lambda }}{{F}_{\mu \nu }}=0$

${{\varepsilon }_{\kappa \lambda \mu \nu }}{{\partial }^{\lambda }}{{F}^{\mu \nu }}=0$

Die "4- Rotation" des Feldstärketensors verschwindet !

Levi- Civita- Tensor: +1 für gerade Permutation von 0123 -1 für ungerade Permutation von 0123 0, sonst

Bemerkungen

1. Levi- Civita ist vollständig antisymmetrisch ( per Definition).

2. ${{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}$
3. transformiert unter Lorentz- Trafo

${\begin{aligned}&{{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}{\acute {\ }}={{U}^{\kappa }}_{\alpha }{{U}^{\lambda }}_{\beta }{{U}^{\mu }}_{\gamma }{{U}^{\nu }}_{\delta }{{\varepsilon }^{\alpha \beta \gamma \delta }}\\&=\left|{\begin{matrix}{{U}^{\kappa }}_{0}&{{U}^{\kappa }}_{1}&{{U}^{\kappa }}_{2}&{{U}^{\kappa }}_{3}\\{{U}^{\lambda }}_{0}&{{U}^{\lambda }}_{1}&{{U}^{\lambda }}_{2}&{{U}^{\lambda }}_{3}\\{{U}^{\mu }}_{0}&{{U}^{\mu }}_{1}&{{U}^{\mu }}_{2}&{{U}^{\mu }}_{3}\\{{U}^{\nu }}_{0}&{{U}^{\nu }}_{1}&{{U}^{\nu }}_{2}&{{U}^{\nu }}_{3}\\\end{matrix}}\right|=\left(\det U\right)\cdot {{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}\\&\left(\det U\right)=\pm 1\\\end{aligned}}$

Damit nun der Levi- Civita- Tensor invariant unter Lorentz- Trafos wird, also

${{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}{\acute {\ }}={{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}$ , muss vereinbart werden, dass die Transformation lautet

${{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}{\acute {\ }}=\left(\det U\right){{U}^{\kappa }}_{\alpha }{{U}^{\lambda }}_{\beta }{{U}^{\mu }}_{\gamma }{{U}^{\nu }}_{\delta }{{\varepsilon }^{\alpha \beta \gamma \delta }}$

Damit ist der Tensor aber ein Pseudotensor !

Insgesamt ist die vierdimensionale Schreibweise die gleiche Formalisierung wie im Dreidimensionalen:

${{\left(\nabla \times {\bar {A}}\right)}_{\alpha }}={{\varepsilon }^{\alpha \beta \gamma }}{{\partial }_{\beta }}{{A}_{\gamma }}$

Mit Pseudovektor

${{\left(\nabla \times {\bar {A}}\right)}_{\alpha }}$