Tröpfchenmodell, Weizsäckersche Massenformel

Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann

Der Artikel Tröpfchenmodell, Weizsäckersche Massenformel basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 4.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann.

Tröpfchenmodell, Weizsäckersche Massenformel	Tröpfchenmodell, Weizsäckersche Massenformel
		Kernphysik Einleitung Abschirmung radioaktiver Strahlung Alpha-Zerfall Beta-Zerfall Gamma-Zerfall Neutrinoexperimente Paritätsverletzung beim beta-Zerfall Schwache Zerfälle von Pionen und Myonen Synchrotron- und Laserstrahlung Kernradien Bindungsenergien Tröpfchenmodell, Weizsäckersche Massenformel Kerndrehimpulse und elektromagnetische Kernmomente Messung von Kernmomenten Das Schalenmodell des Kerns Kernkräfte Kernzerfälle, Strahlenschutz

Die Abfrage enthält eine leere Bedingung.

Die nahezu konstante Nukleonendichte $\rho \approx 10^{17}kg/m^{3}$ und der nahezu konstante B/A-Wert ("Kondensationswärme") legt die Analogie zum Flüssigkeitstropfen nahe. Weizsäcker Z. Phys. 96, 431 (1935) Massenformel

Bindungsenergie setzt sich aus 5 Anteilen zusammen:

$B=\sum _{i=1}^{5}B_{i}$

1. Volumenenergie

$B_{1}=a_{1}A$ Volumenenergie ("Kondensationswärme" ) vermindert um

2. Oberflächenenergie

$B_{2}=-a_{2}A^{2/3}$ ~ Anzahl der Nukleonen an der

Oberfläche, die weniger stark gebunden sind.

3. Coulombenergie

$B_{3}=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {5}{3}}{\frac {Z(Z-1)e^{2}}{R}}=-a_{3}{\frac {Z(Z-1)}{A^{1/3}}}$ einer homogen geladenen Kugel

Durch die Coulombenergie $B_{3}$ würden für Isobare (A = const) zu stark Kerne mit vielen Neutronen bevorzugt. In Wirklichkeit ist jedoch $Z\approx N$.

Genauer: Nuklidkarte

Als Gegengewicht ~egenüber dem Coulombterm deshalb:

4. Asymmetrie-Energie

$B_{4}=-a_{4}{\frac {(N-Z)^{2}}{A}}$

Außerdem gilt folgende Regel, wenn man die Kerne bezüglich gerader oder ungerader Protonen- oder Neutronenzahl ordnet:

${\begin{array}{*{35}{l}}{}&(g,g)\to &(u,g),&(g,u)\to &(u,u)\to {\text{Abnahme der Stabilitaet}}\\{\text{stab}}{\text{. Kerne}}\quad &158&50,&53&6\\\end{array}}$

5. Parität

Deshalb $B_{5}=\delta =a_{5}A^{-1/2}$

mit ${\begin{aligned}&{\text{(g}}{\text{, g) : }}{\text{+}}\delta \\&{\text{(u}}{\text{, g) }}{\text{, (g}}{\text{, u) : }}{\text{0}}\\&{\text{(u}}{\text{, u) : }}{\text{-}}\delta \\\end{aligned}}$

Anpassung der Formel an viele Massenwerte gibt einen optimalen Wertesatz für die 5 Parameter $a_{i}:a_{1}=16MeV,a_{2}=18MeV,a_{3}=0,7MeV,a_{4}=23MeV$ und mit $a_{5}=12MeV$ (Seeger Nucl. Phys. 25, 1(1961)). Genauigkeit $\approx 1\%ab\approx 40$.

Folgerungen aus der Weizsäckerschen Massenformel

I. Isobarenregeln

Für Isobare (A = const.) ist die Massenformel quadratisch in Z, deshalb bekommt man für A = ungerade, d.h. für (u, g)- und (g, u)Kerne eine Parabel und für A = gerade, d.h. für (g, g)- und (u, u)-Kerne zwei Parabeln, die durch den Abstand 2 0 der Paarungsenergie 0 getrennt sind . M( Z, A ~ = const.) rv + M( Z, A = const . ) (u, g) A ungerade !J (g, u) 1/ "r (u, u) 1 20 (g, g) L---~~-L--~~------7 Z Jf~"'ie\ (,abC1J Nur ein stabiles Isobar )-;> - l«cJ.J UAOJß cL. Mehrere stabile Isobare möglich mit LlZ = 2 Trägt man die Massenwerte in die Nuklidkarte auf der N-Z-Ebene nach oben auf, dann sind die Isobarenparabeln Schnitte längs der Linie A = Z + N = const. Die stabilen Kerne liegen in der "Talsohle des Massetals" . z - 9 umwandlung durch Beta-:erfall: n-tp+e +LI p -t n + e+ + LI e +p-tn + LI Konkurrenzprozeß: K-Einfang

II. Kernspaltung und Fusion

Allgemein für leichtere Kerne Energiegewinn durch Fusion, für schwerere Kerne durch Spaltung möglich. Spontane Fusion durch Coulombabstoßung, spentane Spaltung durch Spaltschwelle behindert. stabilitätsbetrachtung bezüglich spontaner Spaltung R ..".....---; o + o Coulombenergie B3 -t B3(1 - !€)2 nimmt ab 5 Oberflächenenergie B2 -t B2(1 + 3.€) 2 nimmt zu ," 5 Stabilitätsbedingung gegenüber spontaner Spaltung: größere Zunahme der Oberflächenenergie als Abnahme der Coulombenergie. Rechnung: Z2/A ~ 51 Für Z2/A ~ 51 Spaltschwelle:

Spaltschwelle, für Uran ~ 6 MeV 23sU: 5,8 Mev) ( 238U: 6,3 MeV Energiegewinn ca. 2350(8,5-7,5) MeV ~ 200 MeV r o -t

Neutroneninduzierte Spaltung bei Uran durch freiwerdende Bindungsenergie bei Neutroneneinfang. Für thermische Neutronen ist diese Bindungsenergie leichten Kernen Durchtunneln des Coulombwalls oberhalb sehr Bei bei 235U + n --l- 236U + 6,4 MeV (g, u) --l- (g, g) n 1 keV ~ 1,2 0107 K möglich (z.B. Sonneninnere mit T ~ 1,5 010 7 K bei 238U + n --l- 239U + 4,8 MeV (g, g) --l- (g, u) von 3 n und P ~ 105 kg/m ). Kontrollierte Fusion mit Deuterium und Trithium Die fehlende Paarungsenergie bei 239U bedingt die niedrigere Bind + 3H --l- 4He + n + 17 , 6 MeV dungsenergie, so daß bei 238U der Einbau thermischer Neutronen 3MeV 14MeV nicht zur Überwindung der Spaltschwelle ausreicht. 3H + n - 2,5 MeV) Allgemein Spaltprozeß: ........t~ ~ 12a 235U + n (thermisch) --l- 236U --l- X + Y + kon (schnell Rl 1 MeV, k ""- 2,5) Spaltbruchstücke X und Y instabil wegen Neutronenüberschuß, ß-Zerfall, z.B. 235U + n --l- 90Kr + 143Ba + 3n 92 36 56 !32S !208 90 37Rb + 143 57La !2min !14min 90 38Sr + 143 58Ce !28a !33h 90y + 143pr 39 59 !64h !l3d 40 90 Zr + 143 60Nd Grobe Abschätzung für 235U-Verbrauch: 1kg 235U: E = Noill: ~ Schubotz00601023i2.0108.:2:,6010~19ws 200 MeV

siehe auch

http://de.wikipedia.org/wiki/Bethe-Weizs%C3%A4cker-Formel