Symplektische Struktur des Phasenraums

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Symplektische Struktur des Phasenraums basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 4) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Symplektische Struktur des Phasenraums	Der Hamiltonsche kanonische Formalismus
	Legendre- Transformation und Hamiltonfunktion Die Hamiltonschen Gleichungen Kanonische Transformationen Symplektische Struktur des Phasenraums Der Satz von Liouville Poisson- Klammern	Das Hamiltonsche Prinzip Das d'Alembertsche Prinzip Symmetrien und Erhaltungsgrößen Der Hamiltonsche kanonische Formalismus Die Hamilton-Jacobi-Theorie Mechanik des starren Körpers Dynamische Systeme und deterministisches Chaos

Da die kanonischen Transformationen generalisierte Koordinaten und Impulse ineinander transformieren können, sollten q und p nicht gegeneinander ausgezeichnet sein. Um diese Symmetrie des kanonischen Formalismus auszuzeichnen, wird eine neue Notation eingeführt.

Sei zunächst f= 1

${\bar {x}}:=\left({\begin{matrix}q\\p\\\end{matrix}}\right)$

ist Vektor im Phasenraum

${{H}_{,}}_{x}:=\left({\begin{matrix}{\frac {\partial H}{\partial q}}\\{\frac {\partial H}{\partial p}}\\\end{matrix}}\right)$

ist Ableitungsvektor

$J:=\left({\begin{matrix}0&1\\-1&0\\\end{matrix}}\right)$

ist Metrik im Phasenraum (metrischer Tensor)

In diesem Fall lassen sich die kanonischen Gleichungen vereinfacht schreiben als:

${\dot {\bar {x}}}:=J{{H}_{,x}}\Leftrightarrow -J{\dot {\bar {x}}}={{H}_{,x}}\Leftrightarrow {\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}},{\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}$

Leicht läßt sich zeigen:

${\begin{aligned}&{{J}^{2}}=-1\\&{{J}^{-1}}={{J}^{T}}=-J\\\end{aligned}}$

Verallgemeinerung auf mehr Freiheitsgrade

${\begin{aligned}&{\bar {x}}:=\left({\begin{matrix}{{q}_{1}}\\...\\{{q}_{f}}\\{{p}_{1}}\\...\\{{p}_{f}}\\\end{matrix}}\right)\\&{{\bar {H}}_{x}}:=\left({\begin{matrix}{\frac {\partial H}{\partial {{q}_{1}}}}\\...\\{\frac {\partial H}{\partial {{q}_{f}}}}\\{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{1}}}}\\...\\{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{f}}}}\\\end{matrix}}\right)\quad \quad J:=\left({\begin{matrix}0&{{1}_{f}}\\-{{1}_{f}}&0\\\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}$

Die kanonischen Gleichungen lauten

${\dot {\bar {x}}}:=J{{H}_{x}}\Leftrightarrow -J{\dot {\bar {x}}}={{H}_{x}}$

Beispiel ist ein lineares autonomes System in einer Dimension, also der verallgemeinerte eindimensionale harmonische Oszillator:

${\dot {\bar {x}}}:=A{\bar {x}}=J{{H}_{x}}$

Diese Gleichung ist abzuleiten aus der Hamiltonfunktion:

$H={\frac {1}{2}}\left(a{{q}^{2}}+2bqp+c{{p}^{2}}\right)\quad z.\mathbf {B} .a={{\omega }_{0}}^{2},b=0,c=1$

$\Rightarrow {\dot {\bar {x}}}:=\left({\begin{matrix}0&1\\-1&0\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}{\frac {\partial H}{\partial q}}\\{\frac {\partial H}{\partial p}}\\\end{matrix}}\right)={\begin{matrix}bq+cp\\-aq-bp\\\end{matrix}}$

Somit ergibt sich eine Einschränkung an die Matrix A:

${\begin{aligned}&A=\left({\begin{matrix}b&c\\-a&-b\\\end{matrix}}\right)\\&tr\left(A\right)=0\\\end{aligned}}$

Dies gilt für Hamiltonsche Systeme! (Einschränkung an die Dynamik im Phasenraum)

Kanonische Transformationen in kompakter Notation

Aus den 4 Äquivalenten Formen der Erzeugenden für kanonische Transformationen folgt:

${\begin{aligned}&{{M}_{1}}({\bar {q}},{\bar {Q}},t):\\&\Rightarrow {{p}_{j}}={\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{j}}}}\\&{{P}_{j}}=-{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{j}}}}\\&\Rightarrow {\frac {\partial {{p}_{j}}}{\partial {{Q}_{k}}}}={\frac {{{\partial }^{2}}{{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{k}}\partial {{q}_{j}}}}=-{\frac {\partial {{P}_{k}}}{\partial {{q}_{j}}}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&{{M}_{2}}({\bar {q}},{\bar {P}},t)={{M}_{1}}({\bar {q}},{\bar {Q}},t)-\sum \limits _{j=1}^{f}{}{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{j}}}}{{Q}_{j}}\\&\Rightarrow {{p}_{j}}={\frac {\partial {{M}_{2}}}{\partial {{q}_{j}}}}\\&{{Q}_{j}}={\frac {\partial {{M}_{2}}}{\partial {{P}_{j}}}}\\&\Rightarrow {\frac {\partial {{p}_{j}}}{\partial {{P}_{k}}}}={\frac {{{\partial }^{2}}{{M}_{2}}}{\partial {{P}_{k}}\partial {{q}_{j}}}}={\frac {\partial {{Q}_{k}}}{\partial {{q}_{j}}}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&{{M}_{3}}({\bar {p}},{\bar {Q}},t)={{M}_{1}}({\bar {q}},{\bar {Q}},t)-\sum \limits _{j=1}^{f}{}{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{j}}}}{{q}_{j}}\\&\Rightarrow {{q}_{j}}={\frac {\partial {{M}_{3}}}{\partial {{p}_{j}}}}\\&{{P}_{j}}=-{\frac {\partial {{M}_{3}}}{\partial {{Q}_{j}}}}\\&\Rightarrow {\frac {\partial {{q}_{j}}}{\partial {{Q}_{k}}}}=-{\frac {{{\partial }^{2}}{{M}_{3}}}{\partial {{Q}_{k}}\partial {{p}_{j}}}}={\frac {\partial {{P}_{k}}}{\partial {{p}_{j}}}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&{{M}_{4}}({\bar {p}},{\bar {P}},t)={{M}_{1}}({\bar {q}},{\bar {Q}},t)-\sum \limits _{j=1}^{f}{}\left({\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{j}}}}{{Q}_{j}}+{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{j}}}}{{q}_{j}}\right)\\&\Rightarrow {{q}_{j}}=-{\frac {\partial {{M}_{4}}}{\partial {{p}_{j}}}}\\&{{Q}_{j}}={\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{P}_{j}}}}={{q}_{j}}\\&\Rightarrow {\frac {\partial {{q}_{j}}}{\partial {{P}_{k}}}}={\frac {{{\partial }^{2}}{{M}_{1}}}{\partial {{P}_{k}}\partial {{p}_{j}}}}=-{\frac {\partial {{Q}_{k}}}{\partial {{p}_{j}}}}\\\end{aligned}}$

Dabei sind:

${\bar {x}}:=\left({\begin{matrix}{{q}_{1}}\\...\\{{q}_{f}}\\{{p}_{1}}\\...\\{{p}_{f}}\\\end{matrix}}\right)\quad \quad {\bar {y}}:=\left({\begin{matrix}{{Q}_{1}}\\...\\{{Q}_{f}}\\{{P}_{1}}\\...\\{{P}_{f}}\\\end{matrix}}\right)$

${\begin{aligned}&{{M}_{\alpha \beta }}={\frac {\partial {{x}_{\alpha }}}{\partial {{y}_{\beta }}}}\\&{{\left({{M}^{-1}}\right)}_{\alpha \beta }}:={\frac {\partial {{y}_{\alpha }}}{\partial {{x}_{\beta }}}}\quad \quad \alpha ,\beta =1,...,2f\\\end{aligned}}$

Beweis:

$\sum \limits _{\gamma =1}^{2f}{}{{M}_{\alpha \gamma }}{{\left({{M}^{-1}}\right)}_{\gamma \beta }}=\sum \limits _{\gamma =1}^{2f}{}{\frac {\partial {{x}_{\alpha }}}{\partial {{y}_{\gamma }}}}{\frac {\partial {{y}_{\gamma }}}{\partial {{x}_{\beta }}}}={\frac {\partial {{x}_{\alpha }}}{\partial {{x}_{\beta }}}}={{\delta }_{\alpha \beta }}$

Damit läßt sich eine einheitliche Schreibweise finden für die Relationen aller Erzeugenden:

${{M}_{\alpha \beta }}=\sum \limits _{\mu ,\nu =1}^{2f}{{{J}_{\alpha \mu }}{{J}_{\beta \nu }}{{\left({{M}^{-1}}\right)}_{\mu \nu }}}$

You’re a real deep thikenr. Thanks for sharing.

Definition:

Die Menge der Matrizen M (kanonische Trafo) mit

${{M}^{T}}JM=J$

bildet die reelle symplektische Gruppe S über

${{R}^{2f}}$.

Dies ist die Symmetriegruppe der symplektischen Struktur.

Furrealz? That's marvelosluy good to know.