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| Youre a real deep thikenr. Thanks for sharing.
| | ====Beweis:==== |
| | In Matrixform lautet diese Gleichung: |
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| | :<math>M=J{{\left( J{{M}^{-1}} \right)}^{T}}</math> |
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| | Die linke Seite (M) lautet: |
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| | :<math>M=\left( \begin{matrix} |
| | \frac{\partial q}{\partial Q} & \frac{\partial q}{\partial P} \\ |
| | \frac{\partial p}{\partial Q} & \frac{\partial p}{\partial P} \\ |
| | \end{matrix} \right)</math> |
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| | Die rechte Seite lautet: |
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| | :<math>\begin{align} |
| | & J{{\left( J{{M}^{-1}} \right)}^{T}}=\left( \begin{matrix} |
| | 0 & 1 \\ |
| | -1 & 0 \\ |
| | \end{matrix} \right){{\left[ \left( \begin{matrix} |
| | 0 & 1 \\ |
| | -1 & 0 \\ |
| | \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} |
| | \frac{\partial Q}{\partial q} & \frac{\partial Q}{\partial p} \\ |
| | \frac{\partial P}{\partial q} & \frac{\partial P}{\partial p} \\ |
| | \end{matrix} \right) \right]}^{T}}=\left( \begin{matrix} |
| | 0 & 1 \\ |
| | -1 & 0 \\ |
| | \end{matrix} \right){{\left( \begin{matrix} |
| | \frac{\partial P}{\partial q} & \frac{\partial P}{\partial p} \\ |
| | -\frac{\partial Q}{\partial q} & -\frac{\partial Q}{\partial p} \\ |
| | \end{matrix} \right)}^{T}} \\ |
| | & =\left( \begin{matrix} |
| | 0 & 1 \\ |
| | -1 & 0 \\ |
| | \end{matrix} \right){{\left( \begin{matrix} |
| | {{\left( \frac{\partial P}{\partial q} \right)}^{T}} & -{{\left( \frac{\partial Q}{\partial q} \right)}^{T}} \\ |
| | {{\left( \frac{\partial P}{\partial p} \right)}^{T}} & -{{\left( \frac{\partial Q}{\partial p} \right)}^{T}} \\ |
| | \end{matrix} \right)}^{{}}}=\left( \begin{matrix} |
| | {{\left( \frac{\partial P}{\partial p} \right)}^{T}} & -{{\left( \frac{\partial Q}{\partial p} \right)}^{T}} \\ |
| | -{{\left( \frac{\partial P}{\partial q} \right)}^{T}} & {{\left( \frac{\partial Q}{\partial q} \right)}^{T}} \\ |
| | \end{matrix} \right) \\ |
| | \end{align}</math> |
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| | Die Matrixform für die Erzeugenden läßt sich folgendermaßen äquivalent umformen: |
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| | :<math>\begin{align} |
| | & M=J{{\left( J{{M}^{-1}} \right)}^{T}} \\ |
| | & \Rightarrow JM=-{{\left( J{{M}^{-1}} \right)}^{T}}=-{{\left( {{M}^{-1}} \right)}^{T}}{{J}^{T}} \\ |
| | & \Rightarrow {{M}^{T}}JM=-{{M}^{T}}{{\left( {{M}^{-1}} \right)}^{T}}{{J}^{T}}=-{{\left( {{M}^{-1}}M \right)}^{T}}{{J}^{T}}=-{{J}^{T}}=J \\ |
| | & {{M}^{T}}JM=J \\ |
| | \end{align}</math> |
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| | Dabei ist J der metrische Tensor und M die Matrix der 2. Ableitungen der Erzeugenden der kanonischen Transformation, also die Jacobi- Matrix für die Erzeugenden der kanonischen Trafo. |
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| | Dies bedeutet jedoch nichts anderes als: Die Metrik im Phasenraum ist invariant unter kanonischen Transformationen! |
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| | J definiert dabei eine Metrik über das verallgemeinerte schiefsymmetrische Skalarprodukt: |
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| | :<math>\left( \bar{x},\bar{y} \right):={{\bar{x}}^{T}}J\bar{y}=\sum\limits_{i,k=1}^{2f}{{{x}_{i}}{{J}_{ik}}{{y}_{k}}}</math> |
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| | es handelt sich dabei um eine schiefsymmetrische, nichtentartete Bilinearform |
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| | Eigenschaften: |
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| | # Schiefsymmetrie: |
| | :<math>\left( \bar{x},\bar{y} \right)=-\left( \bar{y},\bar{x} \right)</math>, |
| | Beweis: |
| | :<math>\left( \bar{x},\bar{y} \right)={{\bar{x}}^{T}}J\bar{y}={{\left( {{{\bar{y}}}^{T}}{{J}^{T}}\bar{x} \right)}^{T}}=-{{\bar{y}}^{T}}{{J}^{{}}}\bar{x}=-\left( \bar{y},\bar{x} \right)</math> |
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| | # bilinear: |
| | :<math>\left( \bar{x},{{\lambda }_{1}}{{{\bar{y}}}_{1}}+{{\lambda }_{2}}{{{\bar{y}}}_{2}} \right)={{\lambda }_{1}}\left( \bar{x},{{{\bar{y}}}_{1}} \right)+{{\lambda }_{2}}\left( \bar{x},{{{\bar{y}}}_{2}} \right)</math> |
| | |
| | # nichtentartet: |
| | :<math>\left( \bar{x},\bar{y} \right)=0\forall \bar{y}\Rightarrow \bar{x}=0</math> |
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| | |
| | Nebenbemerkung: Es gilt: |
| | :<math>\left( \bar{x},\bar{x} \right)=0\forall \bar{x}</math> |
| | Also Selbstorthogonalität |
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| | Beweis: |
| | :<math>{{\bar{x}}^{T}}J\bar{x}=\left( \begin{matrix} |
| | q & p \\ |
| | \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} |
| | 0 & 1 \\ |
| | -1 & 0 \\ |
| | \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} |
| | q \\ |
| | p \\ |
| | \end{matrix} \right)=qp-pq=0</math> |
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| | Die Symplektische Struktur auf dem |
| | :<math>{{R}^{2f}}</math> |
| | ist von einer euklidischen Metrik grundsätzlich zu unterscheiden: |
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| | :<math>{{\left( \bar{x},\bar{y} \right)}_{Eu}}=\sum\limits_{i}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}=}{{\bar{x}}^{T}}g\bar{y}</math> |
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| | Mit dem metrischen Tensor g, einer 2fx2f dimensionalen Einheitsmatrix! |
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| | Im Euklidischen gelten jedoch die Relationen: |
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| | :<math>\begin{align} |
| | & \left( \bar{x},\bar{y} \right)=\left( \bar{y},\bar{x} \right) \\ |
| | & \left( \bar{x},\bar{x} \right)\ge 0 \\ |
| | \end{align}</math> |
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| ====Definition:==== | | ====Definition:==== |
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| Dies ist die Symmetriegruppe der symplektischen Struktur. | | Dies ist die Symmetriegruppe der symplektischen Struktur. |
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| Furrealz? That's marvelosluy good to know.
| | ====Gruppeneigenschaften==== |
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| | 1. |
| | :<math>{{M}_{1}},{{M}_{2}}\in S\Rightarrow {{M}_{3}}={{M}_{1}}{{M}_{2}}\in S</math> |
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| | Beweis: |
| | :<math>{{M}_{3}}^{T}J{{M}_{3}}={{\left( {{M}_{1}}{{M}_{2}} \right)}^{T}}J\left( {{M}_{1}}{{M}_{2}} \right)={{M}_{2}}^{T}{{M}_{1}}^{T}J{{M}_{1}}{{M}_{2}}={{M}_{2}}^{T}J{{M}_{2}}=J</math> |
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| | 2. Assoziativität (matrixmultiplikation!) |
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| | 3. Einselement Einheitsmatrix! |
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| | # Inverse: |
| | :<math>{{M}^{-1}}:={{J}^{-1}}{{M}^{T}}J</math> |
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| | Beweis: |
| | :<math>{{M}^{-1}}M=\left( {{J}^{-1}}{{M}^{T}}J \right)M={{J}^{-1}}\left( {{M}^{T}}JM \right)={{J}^{-1}}J=1</math> |
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| | Dabei gilt : |
| | :<math>{{M}^{T}},J\in S</math> |
| | Beweis: Übungsaufgabe |
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| | # Weiter gilt: |
| | :<math>\det M=1</math> |
| | Beweis: Übungsaufgabe oder Scheck, S. 102 |
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| | Fazit: |
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| | Die Invarianz der kanonischen Gleichungen |
| | :<math>\dot{\bar{x}}:=A\bar{x}=J{{\bar{H}}_{,x}}</math> |
| | kann durch di symplektische Struktur des Phasenraums beschrieben werden: |
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| | :<math>\begin{align} |
| | & {{{\dot{y}}}_{i}}=\sum\limits_{k}^{{}}{\frac{\partial {{y}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}}{{{\dot{x}}}_{k}}}\Leftrightarrow \dot{\bar{y}}={{M}^{-1}}\dot{\bar{x}}=\left( {{J}^{-1}}{{M}^{T}}J \right)J{{{\bar{H}}}_{,x}} \\ |
| | & \frac{\partial \bar{H}}{\partial {{y}_{i}}}=\sum\limits_{k}^{{}}{\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{x}_{k}}}\frac{\partial {{x}_{k}}}{\partial {{y}_{i}}}\Leftrightarrow {{{\bar{H}}}_{,y}}={{M}^{T}}{{{\bar{H}}}_{,x}}} \\ |
| | & \Rightarrow \dot{\bar{y}}=\left( {{J}^{-1}}{{M}^{T}}J \right)J{{\left( {{M}^{T}} \right)}^{-1}}{{{\bar{H}}}_{,y}}=-J\left( -1 \right){{M}^{T}}{{\left( {{M}^{T}} \right)}^{-1}}{{{\bar{H}}}_{,y}}=J{{{\bar{H}}}_{,y}} \\ |
| | \end{align}</math> |
Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Symplektische Struktur des Phasenraums basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 4) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Da die kanonischen Transformationen generalisierte Koordinaten und Impulse ineinander transformieren können, sollten q und p nicht gegeneinander ausgezeichnet sein. Um diese Symmetrie des kanonischen Formalismus auszuzeichnen, wird eine neue Notation eingeführt.
Sei zunächst f= 1
ist Vektor im Phasenraum
ist Ableitungsvektor
ist Metrik im Phasenraum (metrischer Tensor)
In diesem Fall lassen sich die kanonischen Gleichungen vereinfacht schreiben als:
Leicht läßt sich zeigen:
Verallgemeinerung auf mehr Freiheitsgrade
Die kanonischen Gleichungen lauten
Beispiel ist ein lineares autonomes System in einer Dimension, also der verallgemeinerte eindimensionale harmonische Oszillator:
Diese Gleichung ist abzuleiten aus der Hamiltonfunktion:
Somit ergibt sich eine Einschränkung an die Matrix A:
Dies gilt für Hamiltonsche Systeme! (Einschränkung an die Dynamik im Phasenraum)
Kanonische Transformationen in kompakter Notation
Aus den 4 Äquivalenten Formen der Erzeugenden für kanonische Transformationen folgt:
Dabei sind:
Beweis:
Damit läßt sich eine einheitliche Schreibweise finden für die Relationen aller Erzeugenden:
Beweis:
In Matrixform lautet diese Gleichung:
Die linke Seite (M) lautet:
Die rechte Seite lautet:
Die Matrixform für die Erzeugenden läßt sich folgendermaßen äquivalent umformen:
Dabei ist J der metrische Tensor und M die Matrix der 2. Ableitungen der Erzeugenden der kanonischen Transformation, also die Jacobi- Matrix für die Erzeugenden der kanonischen Trafo.
Dies bedeutet jedoch nichts anderes als: Die Metrik im Phasenraum ist invariant unter kanonischen Transformationen!
J definiert dabei eine Metrik über das verallgemeinerte schiefsymmetrische Skalarprodukt:
es handelt sich dabei um eine schiefsymmetrische, nichtentartete Bilinearform
Eigenschaften:
- Schiefsymmetrie:
- ,
Beweis:
- bilinear:
- nichtentartet:
Nebenbemerkung: Es gilt:
Also Selbstorthogonalität
Beweis:
Die Symplektische Struktur auf dem
ist von einer euklidischen Metrik grundsätzlich zu unterscheiden:
Mit dem metrischen Tensor g, einer 2fx2f dimensionalen Einheitsmatrix!
Im Euklidischen gelten jedoch die Relationen:
Definition:
Die Menge der Matrizen M (kanonische Trafo) mit
bildet die reelle symplektische Gruppe S über
- .
Dies ist die Symmetriegruppe der symplektischen Struktur.
Gruppeneigenschaften
1.
Beweis:
2. Assoziativität (matrixmultiplikation!)
3. Einselement Einheitsmatrix!
- Inverse:
Beweis:
Dabei gilt :
Beweis: Übungsaufgabe
- Weiter gilt:
Beweis: Übungsaufgabe oder Scheck, S. 102
Fazit:
Die Invarianz der kanonischen Gleichungen
kann durch di symplektische Struktur des Phasenraums beschrieben werden: