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| ist Metrik im Phasenraum ( metrischer Tensor) | | ist Metrik im Phasenraum (metrischer Tensor) |
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| In diesem Fall lassen sich die kanonischen Gleichungen vereinfacht schreiben als: | | In diesem Fall lassen sich die kanonischen Gleichungen vereinfacht schreiben als: |
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| Dies gilt für Hamiltonsche Systeme ! ( Einschränkung an die Dynamik im Phasenraum) | | Dies gilt für Hamiltonsche Systeme! (Einschränkung an die Dynamik im Phasenraum) |
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| ====Kanonische Transformationen in kompakter Notation==== | | ====Kanonische Transformationen in kompakter Notation==== |
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| Dabei ist J der metrische Tensor und M die Matrix der 2. Ableitungen der Erzeugenden der kanonischen Transformation, also die Jacobi- Matrix für die Erzeugenden der kanonischen Trafo. | | Dabei ist J der metrische Tensor und M die Matrix der 2. Ableitungen der Erzeugenden der kanonischen Transformation, also die Jacobi- Matrix für die Erzeugenden der kanonischen Trafo. |
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| Dies bedeutet jedoch nichts anderes als: Die Metrik im Phasenraum ist invariant unter kanonischen Transformationen ! | | Dies bedeutet jedoch nichts anderes als: Die Metrik im Phasenraum ist invariant unter kanonischen Transformationen! |
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| J definiert dabei eine Metrik über das verallgemeinerte schiefsymmetrische Skalarprodukt: | | J definiert dabei eine Metrik über das verallgemeinerte schiefsymmetrische Skalarprodukt: |
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| # Schiefsymmetrie: | | # Schiefsymmetrie: |
| :<math>\left( \bar{x},\bar{y} \right)=-\left( \bar{y},\bar{x} \right)</math> | | :<math>\left( \bar{x},\bar{y} \right)=-\left( \bar{y},\bar{x} \right)</math>, |
| , Beweis:
| | Beweis: |
| :<math>\left( \bar{x},\bar{y} \right)={{\bar{x}}^{T}}J\bar{y}={{\left( {{{\bar{y}}}^{T}}{{J}^{T}}\bar{x} \right)}^{T}}=-{{\bar{y}}^{T}}{{J}^{{}}}\bar{x}=-\left( \bar{y},\bar{x} \right)</math> | | :<math>\left( \bar{x},\bar{y} \right)={{\bar{x}}^{T}}J\bar{y}={{\left( {{{\bar{y}}}^{T}}{{J}^{T}}\bar{x} \right)}^{T}}=-{{\bar{y}}^{T}}{{J}^{{}}}\bar{x}=-\left( \bar{y},\bar{x} \right)</math> |
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| Mit dem metrischen Tensor g, einer 2fx2f dimensionalen Einheitsmatrix ! | | Mit dem metrischen Tensor g, einer 2fx2f dimensionalen Einheitsmatrix! |
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| Im Euklidischen gelten jedoch die Relationen: | | Im Euklidischen gelten jedoch die Relationen: |
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| ====Definition:==== | | ====Definition:==== |
| Die Menge der Matrizen M ( kanonische Trafo) mit | | Die Menge der Matrizen M (kanonische Trafo) mit |
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| :<math>{{M}^{T}}JM=J</math> | | :<math>{{M}^{T}}JM=J</math> |
| bildet die reelle symplektische Gruppe S über | | bildet die reelle symplektische Gruppe S über |
| :<math>{{R}^{2f}}</math> | | :<math>{{R}^{2f}}</math>. |
| .
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| Dies ist die Symmetriegruppe der symplektischen Struktur. | | Dies ist die Symmetriegruppe der symplektischen Struktur. |
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| 2. Assoziativität ( matrixmultiplikation !) | | 2. Assoziativität (matrixmultiplikation!) |
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| 3. Einselement Einheitsmatrix ! | | 3. Einselement Einheitsmatrix! |
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| # Inverse: | | # Inverse: |
Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Symplektische Struktur des Phasenraums basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 4) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Da die kanonischen Transformationen generalisierte Koordinaten und Impulse ineinander transformieren können, sollten q und p nicht gegeneinander ausgezeichnet sein. Um diese Symmetrie des kanonischen Formalismus auszuzeichnen, wird eine neue Notation eingeführt.
Sei zunächst f= 1
ist Vektor im Phasenraum
ist Ableitungsvektor
ist Metrik im Phasenraum (metrischer Tensor)
In diesem Fall lassen sich die kanonischen Gleichungen vereinfacht schreiben als:
Leicht läßt sich zeigen:
Verallgemeinerung auf mehr Freiheitsgrade
Die kanonischen Gleichungen lauten
Beispiel ist ein lineares autonomes System in einer Dimension, also der verallgemeinerte eindimensionale harmonische Oszillator:
Diese Gleichung ist abzuleiten aus der Hamiltonfunktion:
Somit ergibt sich eine Einschränkung an die Matrix A:
Dies gilt für Hamiltonsche Systeme! (Einschränkung an die Dynamik im Phasenraum)
Kanonische Transformationen in kompakter Notation
Aus den 4 Äquivalenten Formen der Erzeugenden für kanonische Transformationen folgt:
Dabei sind:
Beweis:
Damit läßt sich eine einheitliche Schreibweise finden für die Relationen aller Erzeugenden:
Beweis:
In Matrixform lautet diese Gleichung:
Die linke Seite (M) lautet:
Die rechte Seite lautet:
Die Matrixform für die Erzeugenden läßt sich folgendermaßen äquivalent umformen:
Dabei ist J der metrische Tensor und M die Matrix der 2. Ableitungen der Erzeugenden der kanonischen Transformation, also die Jacobi- Matrix für die Erzeugenden der kanonischen Trafo.
Dies bedeutet jedoch nichts anderes als: Die Metrik im Phasenraum ist invariant unter kanonischen Transformationen!
J definiert dabei eine Metrik über das verallgemeinerte schiefsymmetrische Skalarprodukt:
es handelt sich dabei um eine schiefsymmetrische, nichtentartete Bilinearform
Eigenschaften:
- Schiefsymmetrie:
- ,
Beweis:
- bilinear:
- nichtentartet:
Nebenbemerkung: Es gilt:
Also Selbstorthogonalität
Beweis:
Die Symplektische Struktur auf dem
ist von einer euklidischen Metrik grundsätzlich zu unterscheiden:
Mit dem metrischen Tensor g, einer 2fx2f dimensionalen Einheitsmatrix!
Im Euklidischen gelten jedoch die Relationen:
Definition:
Die Menge der Matrizen M (kanonische Trafo) mit
bildet die reelle symplektische Gruppe S über
- .
Dies ist die Symmetriegruppe der symplektischen Struktur.
Gruppeneigenschaften
1.
Beweis:
2. Assoziativität (matrixmultiplikation!)
3. Einselement Einheitsmatrix!
- Inverse:
Beweis:
Dabei gilt :
Beweis: Übungsaufgabe
- Weiter gilt:
Beweis: Übungsaufgabe oder Scheck, S. 102
Fazit:
Die Invarianz der kanonischen Gleichungen
kann durch di symplektische Struktur des Phasenraums beschrieben werden: