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| <u>'''Aufgabe'''</u> | | <u>'''Aufgabe'''</u> |
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| :<math>\tau <0</math> | | :<math>\tau <0</math> |
| charakterisiert, der untere Integrationsweg durch | | charakterisiert, der untere Integrationsweg durch |
| :<math>\tau >0</math> | | :<math>\tau >0</math>. |
| .
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| Dabei: | | Dabei: |
| :<math>\tau =t-t\acute{\ }</math> | | :<math>\tau =t-t\acute{\ }</math> |
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| :<math>\Gamma (\bar{q},\tau ):=\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }\frac{{{e}^{-i\omega \tau }}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}=\oint\limits_{C}{d\omega }\frac{{{e}^{-i\omega \tau }}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}=2\pi i\sum\limits_{Pole}^{{}}{{}}\operatorname{Re}s\frac{{{e}^{-i\omega \tau }}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}</math> | | :<math>\Gamma (\bar{q},\tau ):=\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }\frac{{{e}^{-i\omega \tau }}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}=\oint\limits_{C}{d\omega }\frac{{{e}^{-i\omega \tau }}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}=2\pi i\sum\limits_{Pole}^{{}}{{}}\operatorname{Re}s\frac{{{e}^{-i\omega \tau }}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}</math> |
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| ( Residuensatz) | | (Residuensatz) |
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| Für | | Für |
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| Das Minuszeichen kommt daher, dass der Umlauf im mathematisch negativen Sinn erfolgt: | | Das Minuszeichen kommt daher, dass der Umlauf im mathematisch negativen Sinn erfolgt: |
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| :<math>\oint\limits_{C}{dz}f(z)=2\pi i\sum\limits_{Pole}^{{}}{{}}\operatorname{Re}sf(z)</math> | | :<math>\oint\limits_{C}{dz}f(z)=2\pi i\sum\limits_{Pole}^{{}}{{}}\operatorname{Re}sf(z)</math>, |
| , | |
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| falls das Ringintegral gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen wird. Hier jedoch wird es im Uhrzeigersinn durchlaufen ! | | |
| | falls das Ringintegral gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen wird. Hier jedoch wird es im Uhrzeigersinn durchlaufen! |
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| :<math>\Gamma (\bar{q},\tau )=2\pi i{{c}^{2}}\left( \frac{{{e}^{-icq\tau }}}{2cq}+\frac{{{e}^{icq\tau }}}{-2cq} \right)</math> | | :<math>\Gamma (\bar{q},\tau )=2\pi i{{c}^{2}}\left( \frac{{{e}^{-icq\tau }}}{2cq}+\frac{{{e}^{icq\tau }}}{-2cq} \right)</math> |
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| :<math>G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ })</math> | | :<math>G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ })</math> |
| ist das Potenzial | | ist das Potenzial |
| :<math>\Phi (\bar{r},t)</math> | | :<math>\Phi (\bar{r},t)</math>, |
| , das von einer punktförmigen Ladungsdichte
| | das von einer punktförmigen Ladungsdichte |
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| :<math>\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}=\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\delta \left( t-t\acute{\ } \right)</math> | | :<math>\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}=\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\delta \left( t-t\acute{\ } \right)</math> |
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| :<math>\tau >0</math> | | :<math>\tau >0</math> |
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| erhält man die avancierte Greensfunktion ( =0 für t > t´). | | erhält man die avancierte Greensfunktion (=0 für t > t´). |
| Diese beschreibt eigentlich eine einlaufende Kugelwelle, welche sich an | | Diese beschreibt eigentlich eine einlaufende Kugelwelle, welche sich an |
| :<math>\bar{r}\acute{\ }</math> | | :<math>\bar{r}\acute{\ }</math> |
| zur zeit t´ zusammenzieht ! | | zur zeit t´ zusammenzieht! |
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| Mit | | Mit |
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| :<math>\bar{r}\acute{\ }</math> | | :<math>\bar{r}\acute{\ }</math> |
| zu retardierten Zeiten | | zu retardierten Zeiten |
| :<math>t\acute{\ }=t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c}</math> | | :<math>t\acute{\ }=t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c}</math>. |
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| Dies berücksichtigt die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit von elektromagnetischen Wellen mit Lichtgeschwindigkeit c. | | Dies berücksichtigt die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit von elektromagnetischen Wellen mit Lichtgeschwindigkeit c. |
Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Retardierte Potenziale basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 2) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Aufgabe
Lösung der inhomogenen Wellengleichungen in Lorentz- Eichung:
zu vorgegebenen erzeugenden Quellen
und Randbedingungen
Methode: Greensche Funktion verwenden:
In der Elektrodynamik:
- mit
Fourier- Trafo:
Rück- Trafo:
es folgt schließlich:
- mit
Vergleiche: Elektrostatik:
Fourier- Trafo:
Rück- Trafo:
es folgt schließlich:
- mit
Kausalitätsbedingung:
für t<t´
Somit kann
nur von
mit t´ < t beeinflusst werden
Fourier- Transformation:
Ebenso:
Aber es gilt:
Rücktransformation:
Dieses Integral hat jedoch 2 Polstellen im Integrationsbereich. Es kann nur durch Anwendung des Residuensatz (komplexe Integration) gelöst werden.
Berechnung der Greens- Funktion durch komplexe Integration
für
gibt es Polstellen.
Die Greensche Funktion wird eindeutig, indem der Integrationsweg um die Pole herum festgelegt wird:
Der obere Integrationsweg wird durch
charakterisiert, der untere Integrationsweg durch
- .
Dabei:
Das Integral über den Halbkreis:
Oberer Halbkreis:
Unterer Halbkreis:
Somit verschwinden die Beiträge aus den Kreisbögen und wir können für das problematische Integral schreiben:
(Residuensatz)
Für
liegen jedoch gar keine Pole im Integrationsgebiet C
für t<t´
Dies ist die Kausalitätsbedingung.
Für
Das Minuszeichen kommt daher, dass der Umlauf im mathematisch negativen Sinn erfolgt:
- ,
falls das Ringintegral gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen wird. Hier jedoch wird es im Uhrzeigersinn durchlaufen!
Die Auswertung der Greensfunktion muss in Kugelkoordinaten erfolgen:
Also lautet das Ergebnis:
Retardierte Greensfunktion (kausal)
Physikalische Interpretation
ist das Potenzial
- ,
das von einer punktförmigen Ladungsdichte
am Punkt
zur Zeit t´ erzeugt wird.
Die Eigenschaften:
- Kausalität
- Ausbreitung der Punktstörung als KUGELWELLE mit der Phasengeschwindigkeit c:
Nebenbemerkung:
Für den Integrationsweg
Oberer Halbkreis:
Unterer Halbkreis:
erhält man die avancierte Greensfunktion (=0 für t > t´).
Diese beschreibt eigentlich eine einlaufende Kugelwelle, welche sich an
zur zeit t´ zusammenzieht!
Mit
folgt dann für die retardierten Potenziale für beliebige Ladungs- und Stromverteilungen
Die retardierten Potenziale
sind bestimmt durch
zu retardierten Zeiten
- .
Dies berücksichtigt die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit von elektromagnetischen Wellen mit Lichtgeschwindigkeit c.