Räumliche Isotropie

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Räumliche Isotropie basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 3) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Räumliche Isotropie	Symmetrien und Erhaltungsgrößen
	Theorem von Noether Räumliche Translationsinvarianz Räumliche Isotropie Zeitliche Translationsinvarianz Das Zweikörperproblem	Das d'Alembertsche Prinzip Das Hamiltonsche Prinzip Symmetrien und Erhaltungsgrößen Der Hamiltonsche kanonische Formalismus Die Hamilton-Jacobi-Theorie Mechanik des starren Körpers Dynamische Systeme und deterministisches Chaos

Nebenbedingung: konservative Kräfte, keine Zwangsbedingungen

Es erfolgt eine Drehung des Bezugssystems um den Winkel $\phi =s$ um die z- Achse.

An einer Skizze kann man sich schnell verdeutlichen:

${{h}^{s}}:{{\bar {r}}_{i}}=({{x}_{i}},{{y}_{i}},{{z}_{i}})\to {{\bar {r}}_{i}}{\acute {\ }}=(x{{\acute {\ }}_{i}},y{{\acute {\ }}_{i}},z{{\acute {\ }}_{i}})$

Dabei gilt:

${\begin{aligned}&{{x}_{i}}{\acute {\ }}={{x}_{i}}\cos s+{{y}_{i}}\sin s\\&{{y}_{i}}{\acute {\ }}={{y}_{i}}\cos s-{{x}_{i}}\sin s\\&{{z}_{i}}{\acute {\ }}={{z}_{i}}\\\end{aligned}}$

Rotationsinvarianz für die Drehung um die z- Achse:

Betrachten wir infinitesimale Transformationen ( Drehungen um die z- Achse mit kleinen Winkeln $\delta \phi =\delta s$

$\left({\begin{matrix}{{x}_{i}}{\acute {\ }}\\{{y}_{i}}{\acute {\ }}\\{{z}_{i}}{\acute {\ }}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}\cos s&\sin s&0\\-\sin s&\cos s&0\\0&0&1\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}{{x}_{i}}\\{{y}_{i}}\\{{z}_{i}}\\\end{matrix}}\right)\approx \left[\left({\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}0&s&0\\-s&0&0\\0&0&0\\\end{matrix}}\right)\right]\left({\begin{matrix}{{x}_{i}}\\{{y}_{i}}\\{{z}_{i}}\\\end{matrix}}\right)$

Dabei gilt die rechtsseitige Taylorentwicklung für kleine Winkel. Wir schreiben

$\left({\begin{matrix}0&s&0\\-s&0&0\\0&0&0\\\end{matrix}}\right)=-s{{\bar {\bar {J}}}_{z}}$

Mit ${{\bar {\bar {J}}}_{z}}$ als Erzeugende für infinitesimale Drehungen um die z- Achse.

Somit folgt:

$\left({\begin{matrix}{{x}_{i}}{\acute {\ }}\\{{y}_{i}}{\acute {\ }}\\{{z}_{i}}{\acute {\ }}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}{{x}_{i}}\\{{y}_{i}}\\{{z}_{i}}\\\end{matrix}}\right)+s\left({\begin{matrix}{{y}_{i}}\\-{{x}_{i}}\\0\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}{{x}_{i}}\\{{y}_{i}}\\{{z}_{i}}\\\end{matrix}}\right)+s\left({{\bar {r}}_{i}}\times {{\bar {e}}_{z}}\right)$

Formal schreibt man:

${{\bar {r}}_{i}}{\acute {\ }}={{h}^{s}}({{\bar {r}}_{i}})\left|_{s=0}\right.+s{{\left({\frac {d}{ds}}{{h}^{s}}({{\bar {r}}_{i}})\right)}_{s=0}}+O({{s}^{2}})$

mit ${{\left({\frac {d}{ds}}{{h}^{s}}({{\bar {r}}_{i}})\right)}_{s=0}}={{\bar {r}}_{i}}\times {{\bar {e}}_{z}}$

Rotationsinvarianz der Lagrange-Funktion

$T={\frac {1}{2}}\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}^{2}}$ ist rotationsinvariant, da nur von $\left|{{\dot {\bar {r}}}_{i}}\right|$ abhängig und die Drehmatrix ändert die Abstände nicht.

( Drehungen sind orthogonale Transformationen).

${{\left({\frac {\partial L}{\partial s}}\right)}_{s=0}}=-{{\left({\frac {\partial V}{\partial s}}\right)}_{s=0}}=-\sum \limits _{i=1}^{N}{\left({{\nabla }_{ri{\acute {\ }}}}V\right){{\left({\frac {d{{\bar {r}}_{i}}{\acute {\ }}}{ds}}\right)}_{s=0}}=\sum \limits _{i=1}^{N}{{{\bar {F}}_{i}}({{\bar {r}}_{i}}\times {{\bar {e}}_{z}})}}$

wegen:

${\begin{aligned}&\left({{\nabla }_{ri{\acute {\ }}}}V\right)=-{{\bar {F}}_{i}}\\&{{\left({\frac {d{{\bar {r}}_{i}}{\acute {\ }}}{ds}}\right)}_{s=0}}={{\left({\frac {d{{h}^{s}}}{ds}}\right)}_{s=0}}\\\end{aligned}}$

Als zyklische Permutation gilt dann jedoch:

${{\left({\frac {\partial L}{\partial s}}\right)}_{s=0}}=-{{\left({\frac {\partial V}{\partial s}}\right)}_{s=0}}={{\bar {e}}_{z}}\cdot \sum \limits _{i}{\left({{\bar {F}}_{i}}\times {{\bar {r}}_{i}}\right)}=-{{\bar {e}}_{z}}\cdot \sum \limits _{i}{\left({{\bar {r}}_{i}}\times {{\bar {F}}_{i}}\right)}$

Mit $\sum \limits _{i}{\left({{\bar {r}}_{i}}\times {{\bar {F}}_{i}}\right)}$ als gesamtes Drehmoment und der Tatsache, dass die z-Komponente des äußeren resultierenden Drehmomentes verschwindet:

$-{{\bar {e}}_{z}}\cdot \sum \limits _{i}{\left({{\bar {r}}_{i}}\times {{\bar {F}}_{i}}\right)}={{\left({\frac {\partial L}{\partial s}}\right)}_{s=0}}=-{{\left({\frac {\partial V}{\partial s}}\right)}_{s=0}}=0$

Interpretation nach dem Noetherschen Theorem

$I({\bar {r}},{\dot {\bar {r}}})=\sum \limits _{i=1}^{N}{}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\bar {r}}}_{i}}}}\cdot {{\left({\frac {d{{h}^{s}}}{ds}}\right)}_{s=0}}=\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}\cdot \left({{\bar {r}}_{i}}\times {{\bar {e}}_{z}}\right)}=-{{\bar {e}}_{z}}\sum \limits _{i}{\left({{\bar {r}}_{i}}\times {{m}_{i}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}\right)}=-{{\bar {e}}_{z}}{\bar {l}}=-{{l}_{z}}$

Also: Rotationsinvarianz entspricht Drehimpulserhaltung

Andere Betrachtungsweise

Wähle ${{q}_{1}}=\phi =s$ als verallgemeinerte Koordinate

Trafo: ${{\bar {r}}_{i}}={{\bar {r}}_{i}}(\phi ,{{q}_{2}},...,{{q}_{f}},t)$

mit ${\frac {\partial }{\partial {{q}_{1}}}}{{\bar {r}}_{i}}={{\left({\frac {d}{ds}}{{h}^{s}}({{\bar {r}}_{i}})\right)}_{s=0}}={{\bar {r}}_{i}}\times {{\bar {e}}_{z}}$

Für infinitesimale Drehung um z-Achse.

Invarianz Erhaltungssätze

${{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{1}}}}_{}}=0\Leftrightarrow {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}=0$

 äquivalent zum Erhaltungssatz

${{p}_{1}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}=const$

Der Winkel ist also eine zyklische Variable.

Berechnet man den verallgemeinerten konjugierten Impuls zu ${{q}_{1}}=\phi =s$ , so ergibt sich:

${{p}_{1}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}={\frac {1}{2}}\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}^{2}=}\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}=\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}\left({{\bar {r}}_{i}}\times {{\bar {e}}_{z}}\right)}}=-{{\bar {e}}_{z}}\sum \limits _{i}{\left({{\bar {r}}_{i}}\times {{m}_{i}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}\right)}=-{{l}_{z}}$

wegen

${\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}={\frac {\partial }{\partial {{q}_{1}}}}{{\bar {r}}_{i}}\ da{{\ }_{}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}=\sum \limits _{k}{{\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}}{{\dot {q}}_{k}}+}{\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial t}}$

Es ergibt sich also wieder die z-Komponente des Drehimpulses als verallgemeinerter Impuls.

Nebenbedingung:

Wir betrachteten hier eine passive Drehung des Korodinatensystems. Die Aktive Drehung des Koordinatensystems ist jedoch äquivalent. Das bedeutet, wir drehen aktiv alle Massenpunkte mit ${\tilde {\phi }}=-\phi$ .

Dazu gehören dann die konjugierten Impulse +lz

Beispiel:

N Teilchen mit einer inneren Paarwechselwirkung, die nur vom Abstand abhängt:

$V({{\bar {r}}_{1}},...,{{\bar {r}}_{N}})=V({{r}_{12}},...,{{r}_{ij}},...)$ mit ${{r}_{ij}}=\left|{{\bar {r}}_{i}}-{{\bar {r}}_{j}}\right|$

Rotationsinvarianz gegen Drehung um alle Achsen:

${\frac {\partial V({{r}_{12}},...,{{r}_{ij}},...)}{\partial \phi }}=\sum \limits _{i,j}{{\frac {\partial V}{\partial {{r}_{ij}}}}\cdot {\frac {\partial }{\partial \phi }}{{r}_{ij}}=0}$ für beliebige Achsen, da

${\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial \phi }}{{r}_{ij}}={\frac {\partial }{\partial \phi }}{{\left[\left({{\bar {r}}_{i}}-{{\bar {r}}_{j}}\right)\left({{\bar {r}}_{i}}-{{\bar {r}}_{j}}\right)\right]}^{1/2}}={\frac {1}{{r}_{ij}}}\left({{\bar {r}}_{i}}-{{\bar {r}}_{j}}\right){\frac {\partial }{\partial \phi }}\left({{\bar {r}}_{i}}-{{\bar {r}}_{j}}\right)={\frac {{{\bar {r}}_{i}}-{{\bar {r}}_{j}}}{{r}_{ij}}}\left({\frac {\partial }{\partial \phi }}{{\bar {r}}_{i}}-{\frac {\partial }{\partial \phi }}{{\bar {r}}_{j}}\right)\\&{\frac {\partial }{\partial \phi }}{{\bar {r}}_{i}}={{\bar {r}}_{i}}\times {{\bar {e}}_{k}}\\&\Rightarrow {\frac {{{\bar {r}}_{i}}-{{\bar {r}}_{j}}}{{r}_{ij}}}\left({\frac {\partial }{\partial \phi }}{{\bar {r}}_{i}}-{\frac {\partial }{\partial \phi }}{{\bar {r}}_{j}}\right)={\frac {{{\bar {r}}_{i}}-{{\bar {r}}_{j}}}{{r}_{ij}}}\left[\left({{\bar {r}}_{i}}-{{\bar {r}}_{j}}\right)\times {{\bar {e}}_{k}}\right]={\frac {1}{{r}_{ij}}}{{\bar {e}}_{k}}\left[\left({{\bar {r}}_{i}}-{{\bar {r}}_{j}}\right)\times \left({{\bar {r}}_{i}}-{{\bar {r}}_{j}}\right)\right]=0\\\end{aligned}}$

Also ist der resultierende Drehimpuls ${\bar {l}}$ eine Erhaltungsgröße

Erzeugende der infinitesimalen Drehung um z-Achse

Die infinitesimale Drehung läßt sich schreiben als:

${{\bar {r}}_{i}}{\acute {\ }}={{h}^{s}}({{\bar {r}}_{i}})=({\bar {\bar {1}}}-s{{\bar {\bar {J}}}_{z}}){{\bar {r}}_{i}}$

Mit der Erzeugenden ${{\bar {\bar {J}}}_{z}}=\left({\begin{matrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\\\end{matrix}}\right)$

Bei einer Drehung um den endlichen Winkel $\phi$ gilt:

${{\bar {r}}_{i}}{\acute {\ }}={{\bar {\bar {R}}}_{z}}(\phi ){{\bar {r}}_{i}}=\left({\begin{matrix}\cos \phi &\sin \phi &0\\-\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\\\end{matrix}}\right){{\bar {r}}_{i}}$

Es gilt:

${{\bar {\bar {R}}}_{z}}(\phi )=\exp \left(-{{\bar {\bar {J}}}_{z}}\phi \right)$

mit Definition

$\exp \left(-{{\bar {\bar {J}}}_{z}}\phi \right):={\bar {\bar {1}}}+\left(-{{\bar {\bar {J}}}_{z}}\phi \right)+{\frac {1}{2}}{{\left(-{{\bar {\bar {J}}}_{z}}\phi \right)}^{2}}+...+{\frac {1}{k!}}{{\left(-{{\bar {\bar {J}}}_{z}}\phi \right)}^{k}}$

Beweis:

Für

${\begin{aligned}&{\bar {\bar {M}}}=\left({\begin{matrix}0&-1\\1&0\\\end{matrix}}\right)\Rightarrow {{\bar {\bar {M}}}^{2}}=-{\bar {\bar {1}}},{{\bar {\bar {M}}}^{3}}=-{\bar {\bar {M}}},{{\bar {\bar {M}}}^{4}}={\bar {\bar {1}}}\\&{{\bar {\bar {M}}}^{2n}}={{\left(-1\right)}^{n}}{\bar {\bar {1}}}\\&{{\bar {\bar {M}}}^{(2n+1)}}={{\left(-1\right)}^{n}}{\bar {\bar {M}}}\\\end{aligned}}$

Mit Hilfe der Taylorreihen für Sinus und Cosinus folgt dann:

${\begin{aligned}&\left({\begin{matrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \\\end{matrix}}\right)={\bar {\bar {1}}}\sum \limits _{n=0}^{\infty }{{\frac {{\left(-1\right)}^{n}}{\left(2n\right)!}}{{\phi }^{2n}}-{\bar {\bar {M}}}}\sum \limits _{n=0}^{\infty }{{\frac {{\left(-1\right)}^{n}}{\left(2n+1\right)!}}{{\phi }^{2n+1}}}\\&=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{{\frac {1}{\left(2n\right)!}}{{\bar {\bar {M}}}^{2n}}{{\phi }^{2n}}-{\bar {\bar {M}}}}\sum \limits _{n=0}^{\infty }{{\frac {1}{\left(2n+1\right)!}}{{\bar {\bar {M}}}^{2n+1}}{{\phi }^{2n+1}}}\\&=\exp \left(-{\bar {\bar {M}}}\phi \right)\\\end{aligned}}$

Analog behandelbar ist die Drehung um die x-Achse

Erzeugende:

${{\bar {\bar {J}}}_{x}}=\left({\begin{matrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\\\end{matrix}}\right)$

Hier gewinnen wir die Drehmatrix:

${{\bar {\bar {R}}}_{x}}(\phi )=\exp \left(-{{\bar {\bar {J}}}_{x}}\phi \right)$

Bei der y- Achse gilt:

Erzeugende:

${{\bar {\bar {J}}}_{y}}=\left({\begin{matrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\\\end{matrix}}\right)$

Hier gewinnen wir die Drehmatrix:

${{\bar {\bar {R}}}_{y}}(\phi )=\exp \left(-{{\bar {\bar {J}}}_{y}}\phi \right)$

Beliebige Drehungen um den Winkel $\phi$ mit der Drehachse ${\bar {n}}$

${{\bar {\bar {R}}}_{}}({\bar {\phi }})=\exp \left(-\phi \sum \limits _{i=1}^{3}{}{{n}_{i}}{{\bar {\bar {J}}}_{i}}\right)$

mit ${\bar {\phi }}:=\phi {\bar {n}}$

Die Drehmatrizen ${{\bar {\bar {R}}}_{}}({\bar {\phi }})=\exp \left(-\phi \sum \limits _{i=1}^{3}{}{{n}_{i}}{{\bar {\bar {J}}}_{i}}\right)$ bilden nun eine 3- parametrige $\left({{\phi }_{1}},{{\phi }_{2}},{{\phi }_{3}}\right)$ , stetige, diffbare $\left(in\phi \right)$

und orthogonale Gruppe.

Eine solche Gruppe heißt Lie- Gruppe oder kontinuierliche Gruppe in drei reellen Dimensionen

SO(3)

$SO\left(3\right)=\left\{{\bar {\bar {R}}}:{{R}^{3}}\to {{R}^{3}}linear\left|{{\bar {\bar {R}}}^{t}}{\bar {\bar {R}}}=1\left|\det {\bar {\bar {R}}}=1\right.\right.\right\}$

Mit ${{\bar {\bar {R}}}^{t}}{\bar {\bar {R}}}=1$ als Orthogonalitätsbedingung, so dass $|{\bar {r}}{\acute {\ }}|=|{\bar {r}}|$

und

$\det {\bar {\bar {R}}}=1$ zum Ausschluß von Raumspiegelungen.

Die Erzeugenden ${{\bar {\bar {J}}}_{i}}$ der Drehgruppe bilden eine Lie- Algebra mit dem Lieschen Produkt (=Kommutator):

$\left[{{\bar {\bar {J}}}_{i}},{{\bar {\bar {J}}}_{k}}\right]={{\bar {\bar {J}}}_{i}}{{\bar {\bar {J}}}_{k}}-{{\bar {\bar {J}}}_{k}}{{\bar {\bar {J}}}_{i}}$ i,k=x,y,z

Dabei vertauschen 2 Drehungen um unterschiedliche Achsen nicht. Das bedeutet, das Ergebnis hängt von der Reihenfolge ab !:

${\begin{aligned}&\left[{{\bar {\bar {J}}}_{x}},{{\bar {\bar {J}}}_{y}}\right]={{\bar {\bar {J}}}_{z}}\\&\left[{{\bar {\bar {J}}}_{z}},{{\bar {\bar {J}}}_{x}}\right]={{\bar {\bar {J}}}_{y}}\\&\left[{{\bar {\bar {J}}}_{y}},{{\bar {\bar {J}}}_{z}}\right]={{\bar {\bar {J}}}_{x}}\\\end{aligned}}$

-> zyklische Permutation des Lieschen Produktes