Quantenmechanische Gleichgewichtsverteilungen: Unterschied zwischen den Versionen
*>SchuBot Einrückungen Mathematik |
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\end{align}</math> Orthonormierung und Vollständigkeit | \end{align}</math> Orthonormierung und Vollständigkeit | ||
<math>\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha | \Psi \right\rangle </math> Entwicklung | :<math>\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha | \Psi \right\rangle </math> Entwicklung | ||
<math>\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle =\Psi \left( {\bar{r}} \right)</math> Ortsdarstellung der Wellenfunktion | :<math>\left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle =\Psi \left( {\bar{r}} \right)</math> Ortsdarstellung der Wellenfunktion | ||
==Mikroobservable== | ==Mikroobservable== | ||
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--> quantenmechanische Observablen ( Hermitesch): | --> quantenmechanische Observablen ( Hermitesch): | ||
<math>\hat{M}:H->H</math> kommutieren im Allgemeinen nicht ! | :<math>\hat{M}:H->H</math> kommutieren im Allgemeinen nicht ! | ||
Quantisierung = Aufstellung von Vertauschungsrelationen ! | Quantisierung = Aufstellung von Vertauschungsrelationen ! | ||
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==Quantenmechanische Erwartungswerte einer Messung== | ==Quantenmechanische Erwartungswerte einer Messung== | ||
===reine Zustände=== | ===reine Zustände=== | ||
<math>\left| \Psi \right\rangle </math> heißt {{FB|reiner Zustand}} (Vektorzustand) | :<math>\left| \Psi \right\rangle </math> heißt {{FB|reiner Zustand}} (Vektorzustand) | ||
Wahrscheinlichkeit für das Resultat <math>\left| \alpha \right\rangle </math> im Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math> (Maximalmessung): | Wahrscheinlichkeit für das Resultat <math>\left| \alpha \right\rangle </math> im Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math> (Maximalmessung): | ||
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'''Satz: '''Die Spur ist invariant bei Basiswechsel: | '''Satz: '''Die Spur ist invariant bei Basiswechsel: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& tr\hat{X}:=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \alpha \right|\hat{X}\left| \alpha \right\rangle =\sum\limits_{\alpha ,\beta ,\beta \acute{\ }}^{{}}{{}}\left\langle \alpha | \beta \right\rangle \left\langle \beta \right|\hat{X}\left| \beta \acute{\ } \right\rangle \left\langle \beta \acute{\ } | \alpha \right\rangle =\sum\limits_{\beta ,\beta }^{{}}{{}}\left\langle \beta \right|\hat{X}\left| \beta \acute{\ } \right\rangle \sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \beta \acute{\ } | \alpha \right\rangle \left\langle \alpha | \beta \right\rangle \\ | & tr\hat{X}:=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \alpha \right|\hat{X}\left| \alpha \right\rangle =\sum\limits_{\alpha ,\beta ,\beta \acute{\ }}^{{}}{{}}\left\langle \alpha | \beta \right\rangle \left\langle \beta \right|\hat{X}\left| \beta \acute{\ } \right\rangle \left\langle \beta \acute{\ } | \alpha \right\rangle =\sum\limits_{\beta ,\beta }^{{}}{{}}\left\langle \beta \right|\hat{X}\left| \beta \acute{\ } \right\rangle \sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \beta \acute{\ } | \alpha \right\rangle \left\langle \alpha | \beta \right\rangle \\ | ||
& \sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \beta \acute{\ } | \alpha \right\rangle \left\langle \alpha | \beta \right\rangle =\left\langle \beta \acute{\ } | \beta \right\rangle ={{\delta }_{\beta \acute{\ }\beta }} \\ | & \sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \beta \acute{\ } | \alpha \right\rangle \left\langle \alpha | \beta \right\rangle =\left\langle \beta \acute{\ } | \beta \right\rangle ={{\delta }_{\beta \acute{\ }\beta }} \\ | ||
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Basis der Mikrozustände : | Basis der Mikrozustände : | ||
<math>\left| \alpha \right\rangle </math> | :<math>\left| \alpha \right\rangle </math> | ||
-> sample set der Zufallsereignisse | -> sample set der Zufallsereignisse | ||
<math>{{P}_{\alpha }}</math> | :<math>{{P}_{\alpha }}</math> | ||
Wahrscheinlichkeitsverteilung | Wahrscheinlichkeitsverteilung | ||
<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha \right|\hat{M}\left| \alpha \right\rangle </math> | :<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha \right|\hat{M}\left| \alpha \right\rangle </math> | ||
Erwartungswert, qm- Erwartungswert im Zustand <math>\left| \alpha \right\rangle </math> | Erwartungswert, qm- Erwartungswert im Zustand <math>\left| \alpha \right\rangle </math> | ||
<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\sum\limits_{\alpha ,\beta }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha \right|\hat{M}\left| \beta \right\rangle \left\langle \beta | \alpha \right\rangle =\sum\limits_{\beta }^{{}}{{}}\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \beta | \alpha \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha \right|\hat{M}\left| \beta \right\rangle =\sum\limits_{\beta }^{{}}{{}}\left\langle \beta \right|\hat{\rho }\hat{M}\left| \beta \right\rangle </math> | :<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\sum\limits_{\alpha ,\beta }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha \right|\hat{M}\left| \beta \right\rangle \left\langle \beta | \alpha \right\rangle =\sum\limits_{\beta }^{{}}{{}}\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \beta | \alpha \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha \right|\hat{M}\left| \beta \right\rangle =\sum\limits_{\beta }^{{}}{{}}\left\langle \beta \right|\hat{\rho }\hat{M}\left| \beta \right\rangle </math> | ||
Also: | Also: | ||
<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =tr\left( \hat{\rho }\hat{M} \right)</math> | :<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =tr\left( \hat{\rho }\hat{M} \right)</math> | ||
mit dem statistischen Operator ( Dichtematrix<math>{{\hat{\rho }}_{\alpha \beta }}</math> | mit dem statistischen Operator ( Dichtematrix<math>{{\hat{\rho }}_{\alpha \beta }}</math> | ||
): | ): | ||
<math>\hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left| \alpha \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha \right|=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}{{\hat{P}}_{\alpha }}</math> | :<math>\hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left| \alpha \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha \right|=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}{{\hat{P}}_{\alpha }}</math> | ||
Überlagerung der Projektoren mit dem statistischen Gewicht ! | Überlagerung der Projektoren mit dem statistischen Gewicht ! | ||
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'''Reine Zustände '''-> kohärente Überlagerung von Wahrscheinlichkeitsamplituden: | '''Reine Zustände '''-> kohärente Überlagerung von Wahrscheinlichkeitsamplituden: | ||
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& \left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha | \Psi \right\rangle \\ | & \left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha | \Psi \right\rangle \\ | ||
& \left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\sum\limits_{\alpha ,\alpha \acute{\ }}^{{}}{{}}\left\langle \Psi | \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \right|\hat{M}\left| \alpha \acute{\ } \right\rangle \left\langle \alpha \acute{\ } | \Psi \right\rangle \\ | & \left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\sum\limits_{\alpha ,\alpha \acute{\ }}^{{}}{{}}\left\langle \Psi | \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \right|\hat{M}\left| \alpha \acute{\ } \right\rangle \left\langle \alpha \acute{\ } | \Psi \right\rangle \\ | ||
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mit den quantenmechanischen Phasen | mit den quantenmechanischen Phasen | ||
<math>\left\langle \Psi | \alpha \right\rangle ,\left\langle \alpha \acute{\ } | \Psi \right\rangle </math> | :<math>\left\langle \Psi | \alpha \right\rangle ,\left\langle \alpha \acute{\ } | \Psi \right\rangle </math> | ||
* es entstehen sogenannte "Interferenzterme", falls <math>\hat{M}</math> | * es entstehen sogenannte "Interferenzterme", falls <math>\hat{M}</math> | ||
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'''Gemisch: '''Inkohärente Überlagerung von reinen Zuständen: | '''Gemisch: '''Inkohärente Überlagerung von reinen Zuständen: | ||
<math>\hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left| \alpha \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha \right|=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}{{\hat{P}}_{\alpha }}</math> | :<math>\hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left| \alpha \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha \right|=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}{{\hat{P}}_{\alpha }}</math> | ||
<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =tr\left( \hat{M}\hat{\rho } \right)=\sum\limits_{\alpha ,\beta }^{{}}{{}}\left\langle \beta \right|\hat{M}\left| \alpha \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha | \beta \right\rangle =\sum\limits_{\beta }^{{}}{{}}{{P}_{\beta }}\left\langle \beta \right|\hat{M}\left| \beta \right\rangle </math> | :<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =tr\left( \hat{M}\hat{\rho } \right)=\sum\limits_{\alpha ,\beta }^{{}}{{}}\left\langle \beta \right|\hat{M}\left| \alpha \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha | \beta \right\rangle =\sum\limits_{\beta }^{{}}{{}}{{P}_{\beta }}\left\langle \beta \right|\hat{M}\left| \beta \right\rangle </math> | ||
* keine quantenmechanischen Interferenzterme ! | * keine quantenmechanischen Interferenzterme ! | ||
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'''Normierung '''des statistischen Operators: | '''Normierung '''des statistischen Operators: | ||
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& tr\hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha ,\beta }^{{}}{{}}\left\langle \beta | \alpha \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha | \beta \right\rangle \\ | & tr\hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha ,\beta }^{{}}{{}}\left\langle \beta | \alpha \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha | \beta \right\rangle \\ | ||
& \left\langle \alpha | \beta \right\rangle ={{\delta }_{\alpha \beta }} \\ | & \left\langle \alpha | \beta \right\rangle ={{\delta }_{\alpha \beta }} \\ | ||
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Darstellung reiner Zustände | Darstellung reiner Zustände | ||
<math>\left| \Psi \right\rangle :\hat{\rho }=\left| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|</math> | :<math>\left| \Psi \right\rangle :\hat{\rho }=\left| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|</math> | ||
Also: für reine Zustände ist der statistische Operator ein Projektor auf diesen reinen Zustand ! | Also: für reine Zustände ist der statistische Operator ein Projektor auf diesen reinen Zustand ! | ||
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& \hat{\rho }=\left| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|={{{\hat{P}}}_{\Psi }} \\ | & \hat{\rho }=\left| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|={{{\hat{P}}}_{\Psi }} \\ | ||
& \Rightarrow \left\langle {\hat{M}} \right\rangle =tr\left( \hat{\rho }\hat{M} \right) \\ | & \Rightarrow \left\langle {\hat{M}} \right\rangle =tr\left( \hat{\rho }\hat{M} \right) \\ | ||
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der Observablen: | der Observablen: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \hat{\rho }:M\to R \\ | & \hat{\rho }:M\to R \\ | ||
& \hat{M}\to tr\left( \hat{\rho }\hat{M} \right)=\left\langle {\hat{M}} \right\rangle \\ | & \hat{M}\to tr\left( \hat{\rho }\hat{M} \right)=\left\langle {\hat{M}} \right\rangle \\ | ||
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'''Nebenbemerkung:''' | '''Nebenbemerkung:''' | ||
<math>\ln \hat{\rho }</math> | :<math>\ln \hat{\rho }</math> | ||
ist ( wie alle Operatorfunktionen) definiert durch die Spektraldarstellung: | ist ( wie alle Operatorfunktionen) definiert durch die Spektraldarstellung: | ||
<math>\ln \hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{\ln {{P}_{\alpha }}\left| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \right|}</math> | :<math>\ln \hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{\ln {{P}_{\alpha }}\left| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \right|}</math> | ||
'''Informationsgewinn:''' | '''Informationsgewinn:''' | ||
<math>K\left( \rho ,\rho \acute{\ } \right)=tr\left[ \hat{\rho }\left( \ln \hat{\rho }-\ln \hat{\rho }\acute{\ } \right) \right]</math> | :<math>K\left( \rho ,\rho \acute{\ } \right)=tr\left[ \hat{\rho }\left( \ln \hat{\rho }-\ln \hat{\rho }\acute{\ } \right) \right]</math> | ||
Eigenschaften wie im klassischen Fall: | Eigenschaften wie im klassischen Fall: | ||
<math>K\left( \rho ,\rho \acute{\ } \right)=tr\left[ \hat{\rho }\left( \ln \hat{\rho }-\ln \hat{\rho }\acute{\ } \right) \right]\ge 0</math> | :<math>K\left( \rho ,\rho \acute{\ } \right)=tr\left[ \hat{\rho }\left( \ln \hat{\rho }-\ln \hat{\rho }\acute{\ } \right) \right]\ge 0</math> | ||
====Verallgemeinerter kanonischer statistischer Operator==== | ====Verallgemeinerter kanonischer statistischer Operator==== | ||
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{{Def| | {{Def| | ||
'''Kanonischer Statistischer Operator:''' | '''Kanonischer Statistischer Operator:''' | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \hat{\rho }={{Z}^{-1}}\exp \left( -\beta H \right) \\ | & \hat{\rho }={{Z}^{-1}}\exp \left( -\beta H \right) \\ | ||
& Z=tr\left( \exp \left( -\beta H \right) \right) \\ | & Z=tr\left( \exp \left( -\beta H \right) \right) \\ | ||
Zeile 217: | Zeile 217: | ||
'''Übung:''' | '''Übung:''' | ||
Berechnung der Fermi / Boseverteilung | Berechnung der Fermi / Boseverteilung | ||
<math>\left\langle {\hat{N}} \right\rangle =tr\left( \hat{\rho }\hat{N} \right)</math> | :<math>\left\langle {\hat{N}} \right\rangle =tr\left( \hat{\rho }\hat{N} \right)</math> | ||
Hilbertraum des großkanonischen statistischen Operators: | Hilbertraum des großkanonischen statistischen Operators: | ||
<math>H=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{H}^{N}}</math> | :<math>H=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{H}^{N}}</math> | ||
( Fock- Raum) | ( Fock- Raum) |
Version vom 12. September 2010, 19:29 Uhr
Der Artikel Quantenmechanische Gleichgewichtsverteilungen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 3) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
Quantenmechanische Gleichgewichtsverteilungen | Statistische Begründung der Gleichgewichtsthermodynamik | Thermodynamik und Statistik |
---|---|---|
Mikrozustände:
Klassischer Zustandsraum mit -> quantenmechanischer Zustandsraum ( Hilbertraum)
Basis (vollständiges ONS): mit
- Orthonormierung und Vollständigkeit
- Entwicklung
- Ortsdarstellung der Wellenfunktion
Mikroobservable
Klassische Phasenraumfunktion M: ( Ms kommutieren):
--> quantenmechanische Observablen ( Hermitesch):
- kommutieren im Allgemeinen nicht !
Quantisierung = Aufstellung von Vertauschungsrelationen !
Maximalmessung: Messung eines vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen |
Klassische Messwerte:
- als Eigenwerte im Eigenzustand
denn:
Projektionsoperator auf den Zustand Alpha: Observable: Ist das System im Zustand
Quantenmechanische Erwartungswerte einer Messung
reine Zustände
- heißt reiner Zustand (Vektorzustand)
Wahrscheinlichkeit für das Resultat im Zustand (Maximalmessung):
Erwartungswert von im Zustand :
Falls Eigenbasis zu :
Schreibweise mit Projektor auf Zustand :
in einer völlig beliebigen Basis
Satz: Die Spur ist invariant bei Basiswechsel:
Also gleich in Basis Alpha wie Beta !
Quantenmechanisches Gemisch
Gemengezustand: Vergl. Fick: Grundlagen der Quantentheorie, Kapitel 7
- QM- Wahrscheinlichkeitsaussagen ( prinzipielle Unschärfe)
Wahrscheinlichkeitsamplitude
- Zusätzliche Statistik
- Unvollständige Information über den Mikrozustand des Systems ( z.B., nach einer vollständigen Messung im Zustand
- wird vom Messergebnis nicht Kenntnis genommen !
Basis der Mikrozustände :
-> sample set der Zufallsereignisse
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Erwartungswert, qm- Erwartungswert im Zustand
Also:
mit dem statistischen Operator ( Dichtematrix ):
Überlagerung der Projektoren mit dem statistischen Gewicht !
Summary
Bemerkung:
Reine Zustände -> kohärente Überlagerung von Wahrscheinlichkeitsamplituden:
mit den quantenmechanischen Phasen
- es entstehen sogenannte "Interferenzterme", falls
- nicht diagonal in
Gemisch: Inkohärente Überlagerung von reinen Zuständen:
- keine quantenmechanischen Interferenzterme !
- -> Die statistischen Operatoren nur der reinen Zustände können als Summe über Projektoren geschrieben werden !
Normierung des statistischen Operators:
Darstellung reiner Zustände
Also: für reine Zustände ist der statistische Operator ein Projektor auf diesen reinen Zustand !
einheitliche Darstellung !! Nebenbemerkung
Mathematische Formulierung des Zustandsbegriffs ( klassisch + quantenmechanisch)
Zustand = normiertes, positives lineares Funktional auf der Algebra der Observablen:
reiner Zustand = Extremalpunkt der konvexen menge der Zustände !
Informationsmaße
Shannon- Information:
Nebenbemerkung:
ist ( wie alle Operatorfunktionen) definiert durch die Spektraldarstellung:
Informationsgewinn:
Eigenschaften wie im klassischen Fall:
Verallgemeinerter kanonischer statistischer Operator
Vorurteilsfreie Schätzung unter Nebenbedingungen
Voraussetzung: Die reinen Zustände haben die gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit ist durch Maximalmessung gegeben !
Nebenbemerkung: Die müssen nicht miteinander kommutieren, aber damit sie Erhaltungsgrößen sind ! ( im thermodynamischen Gleichgewicht)
Kanonischer Statistischer Operator: |
Übung: Berechnung der Fermi / Boseverteilung
Hilbertraum des großkanonischen statistischen Operators:
( Fock- Raum)