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| Vorurteilsfreie Schätzung unter Nebenbedingungen | | Vorurteilsfreie Schätzung unter Nebenbedingungen |
| <math>K\left( \rho ,\rho \acute{\ } \right)=tr\left[ \hat{\rho }\left( \ln \hat{\rho }-\ln \hat{\rho }\acute{\ } \right) \right]</math> | | :<math>K\left( \rho ,\rho \acute{\ } \right)=tr\left[ \hat{\rho }\left( \ln \hat{\rho }-\ln \hat{\rho }\acute{\ } \right) \right]</math> |
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| Voraussetzung: Die reinen Zustände <math>{{\hat{P}}_{\alpha }}</math> | | Voraussetzung: Die reinen Zustände <math>{{\hat{P}}_{\alpha }}</math> haben die gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit <math>\left| \alpha \right\rangle </math> ist durch Maximalmessung gegeben ! |
| haben die gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit | |
| <math>\left| \alpha \right\rangle </math> | |
| ist durch Maximalmessung gegeben ! | |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
| & \hat{\rho }=\exp \left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{{\hat{M}}}^{n}} \right) \\ | | & \hat{\rho }=\exp \left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{{\hat{M}}}^{n}} \right) \\ |
| & \Psi =-\ln tr\left( \exp \left( -{{\lambda }_{n}}{{{\hat{M}}}^{n}} \right) \right) \\ | | & \Psi =-\ln tr\left( \exp \left( -{{\lambda }_{n}}{{{\hat{M}}}^{n}} \right) \right) \\ |
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| '''Nebenbemerkung:''' | | '''Nebenbemerkung:''' |
| Die <math>{{\hat{M}}^{n}}</math> | | Die <math>{{\hat{M}}^{n}}</math> müssen nicht miteinander kommutieren, aber <math>\begin{align} |
| müssen nicht miteinander kommutieren, | |
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| aber | |
| <math>\begin{align} | |
| & \left[ {{{\hat{M}}}^{n}},H \right]=0 \\ | | & \left[ {{{\hat{M}}}^{n}},H \right]=0 \\ |
| & n=1,...,m \\ | | & n=1,...,m \\ |
| \end{align}</math> | | \end{align}</math> damit sie Erhaltungsgrößen sind ! ( im thermodynamischen Gleichgewicht) |
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| damit sie Erhaltungsgrößen sind ! ( im thermodynamischen Gleichgewicht) | |
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| | {{Def| |
| '''Kanonischer Statistischer Operator:''' | | '''Kanonischer Statistischer Operator:''' |
| <math>\begin{align} | | <math>\begin{align} |
| & \hat{\rho }={{Z}^{-1}}\exp \left( -\beta H \right) \\ | | & \hat{\rho }={{Z}^{-1}}\exp \left( -\beta H \right) \\ |
| & Z=tr\left( \exp \left( -\beta H \right) \right) \\ | | & Z=tr\left( \exp \left( -\beta H \right) \right) \\ |
| \end{align}</math> | | \end{align}</math>|Kanonischer Statistischer Operator}} |
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| '''Übung:''' | | '''Übung:''' |
Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Mikrozustände:
Klassischer Zustandsraum mit -> quantenmechanischer Zustandsraum ( Hilbertraum)
Basis (vollständiges ONS): mit
- Orthonormierung und Vollständigkeit
Entwicklung
Ortsdarstellung der Wellenfunktion
Mikroobservable
Klassische Phasenraumfunktion M: ( Ms kommutieren):
--> quantenmechanische Observablen ( Hermitesch):
kommutieren im Allgemeinen nicht !
Quantisierung = Aufstellung von Vertauschungsrelationen !
Maximalmessung: Messung eines vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen
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Klassische Messwerte:
- als Eigenwerte im Eigenzustand
Spektraldarstellung:
denn:
Projektionsoperator auf den Zustand Alpha:
Observable: Ist das System im Zustand
Quantenmechanische Erwartungswerte einer Messung
reine Zustände
heißt reiner Zustand (Vektorzustand)
Wahrscheinlichkeit für das Resultat im Zustand (Maximalmessung):
Erwartungswert von im Zustand :
Falls Eigenbasis zu :
Schreibweise mit Projektor auf Zustand :
in einer völlig beliebigen Basis
Satz: Die Spur ist invariant bei Basiswechsel:
Also gleich in Basis Alpha wie Beta !
Quantenmechanisches Gemisch
Gemengezustand: Vergl. Fick: Grundlagen der Quantentheorie, Kapitel 7
- QM- Wahrscheinlichkeitsaussagen ( prinzipielle Unschärfe)
Wahrscheinlichkeitsamplitude
- Unvollständige Information über den Mikrozustand des Systems ( z.B., nach einer vollständigen Messung im Zustand
- wird vom Messergebnis nicht Kenntnis genommen !
Basis der Mikrozustände :
-> sample set der Zufallsereignisse
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Erwartungswert, qm- Erwartungswert im Zustand
Also:
mit dem statistischen Operator ( Dichtematrix
):
Überlagerung der Projektoren mit dem statistischen Gewicht !
Summary
Bemerkung:
Reine Zustände -> kohärente Überlagerung von Wahrscheinlichkeitsamplituden:
mit den quantenmechanischen Phasen
- es entstehen sogenannte "Interferenzterme", falls
- nicht diagonal in
Gemisch: Inkohärente Überlagerung von reinen Zuständen:
- keine quantenmechanischen Interferenzterme !
- -> Die statistischen Operatoren nur der reinen Zustände können als Summe über Projektoren geschrieben werden !
Normierung des statistischen Operators:
Darstellung reiner Zustände
Also: für reine Zustände ist der statistische Operator ein Projektor auf diesen reinen Zustand !
einheitliche Darstellung !!
Nebenbemerkung
Mathematische Formulierung des Zustandsbegriffs ( klassisch + quantenmechanisch)
Zustand = normiertes, positives lineares Funktional auf der Algebra
der Observablen:
reiner Zustand = Extremalpunkt der konvexen menge der Zustände !
Informationsmaße
Shannon- Information:
Nebenbemerkung:
ist ( wie alle Operatorfunktionen) definiert durch die Spektraldarstellung:
Informationsgewinn:
Eigenschaften wie im klassischen Fall:
Verallgemeinerter kanonischer statistischer Operator
Vorurteilsfreie Schätzung unter Nebenbedingungen
Voraussetzung: Die reinen Zustände haben die gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit ist durch Maximalmessung gegeben !
Nebenbemerkung:
Die müssen nicht miteinander kommutieren, aber damit sie Erhaltungsgrößen sind ! ( im thermodynamischen Gleichgewicht)
Kanonischer Statistischer Operator:
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Übung:
Berechnung der Fermi / Boseverteilung
Hilbertraum des großkanonischen statistischen Operators:
( Fock- Raum)