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| * {{FB|Projektionsoperator}} auf <math>\left| \alpha \right\rangle </math> | | * {{FB|Projektionsoperator}} auf <math>\left| \alpha \right\rangle </math> |
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| ====Quantenmechanische Erwartungswerte einer Messung====
| | ==Quantenmechanische Erwartungswerte einer Messung== |
| | ===reine Zustände== |
| | <math>\left| \Psi \right\rangle </math> heißt {{FB|reiner Zustand} (Vektorzustand) |
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| # <math>\left| \Psi \right\rangle </math>
| | Wahrscheinlichkeit für das Resultat <math>\left| \alpha \right\rangle </math> im Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math> (Maximalmessung): |
| # heißt reiner Zustand ( Vektorzustand)
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| Wahrscheinlichkeit für das Resultat <math>\left| \alpha \right\rangle </math> | |
| im Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math> | |
| ( Maximalmessung): | |
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| <math>{{\left| \left\langle \alpha | \Psi \right\rangle \right|}^{2}}=\left\langle \Psi | \alpha \right\rangle \left\langle \alpha | \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right|{{\hat{P}}_{\alpha }}\left| \Psi \right\rangle ={{P}_{\alpha }}</math> | | :<math>{{\left| \left\langle \alpha | \Psi \right\rangle \right|}^{2}}=\left\langle \Psi | \alpha \right\rangle \left\langle \alpha | \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right|{{\hat{P}}_{\alpha }}\left| \Psi \right\rangle ={{P}_{\alpha }}</math> |
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| Erwartungswert von <math>\hat{M}</math> | | Erwartungswert von <math>\hat{M}</math> im Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math>: |
| im Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math> | | :<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\left\langle \Psi \right|\hat{M}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \Psi \right|\hat{M}\left| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha | \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha ,\alpha \acute{\ }}^{{}}{{}}\left\langle \Psi | \alpha \acute{\ } \right\rangle \left\langle \alpha | \Psi \right\rangle \left\langle \alpha \acute{\ } \right|\hat{M}\left| \alpha \right\rangle </math> |
| : | |
| <math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\left\langle \Psi \right|\hat{M}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \Psi \right|\hat{M}\left| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha | \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha ,\alpha \acute{\ }}^{{}}{{}}\left\langle \Psi | \alpha \acute{\ } \right\rangle \left\langle \alpha | \Psi \right\rangle \left\langle \alpha \acute{\ } \right|\hat{M}\left| \alpha \right\rangle </math> | |
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| Falls <math>\left| \alpha \right\rangle </math> | | Falls <math>\left| \alpha \right\rangle </math> Eigenbasis zu <math>\hat{M}</math>: |
| Eigenbasis zu <math>\hat{M}</math> | | :<math>\begin{align} |
| : | |
| <math>\begin{align} | |
| & \left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\left\langle \Psi \right|\hat{M}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \Psi | \alpha \right\rangle \left\langle \alpha | \Psi \right\rangle {{M}_{\alpha }}= \\ | | & \left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\left\langle \Psi \right|\hat{M}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \Psi | \alpha \right\rangle \left\langle \alpha | \Psi \right\rangle {{M}_{\alpha }}= \\ |
| & =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}{{M}_{\alpha }} \\ | | & =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}{{M}_{\alpha }} \\ |
| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| Schreibweise mit Projektor auf Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math> | | Schreibweise mit Projektor auf Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math>: |
| : | | :<math>\begin{align} |
| <math>\begin{align} | |
| & \left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\left\langle \Psi \right|\hat{M}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \alpha | \Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|\hat{M}\left| \alpha \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \alpha \right|{{{\hat{P}}}_{\Psi }}\hat{M}\left| \alpha \right\rangle :=tr\left( {{{\hat{P}}}_{\Psi }}\hat{M} \right)=tr\left( \hat{M}{{{\hat{P}}}_{\Psi }} \right) \\ | | & \left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\left\langle \Psi \right|\hat{M}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \alpha | \Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|\hat{M}\left| \alpha \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \alpha \right|{{{\hat{P}}}_{\Psi }}\hat{M}\left| \alpha \right\rangle :=tr\left( {{{\hat{P}}}_{\Psi }}\hat{M} \right)=tr\left( \hat{M}{{{\hat{P}}}_{\Psi }} \right) \\ |
| & tr\hat{X}:=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \alpha \right|\hat{X}\left| \alpha \right\rangle \\ | | & tr\hat{X}:=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \alpha \right|\hat{X}\left| \alpha \right\rangle \\ |
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| Also gleich in Basis Alpha wie Beta ! | | Also gleich in Basis Alpha wie Beta ! |
| | | ===Quantenmechanisches Gemisch=== |
| # <u>'''Quantenmechanisches Gemisch'''</u>
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| Gemengezustand: Vergl. Fick: Grundlagen der Quantentheorie, Kapitel 7 | | Gemengezustand: Vergl. Fick: Grundlagen der Quantentheorie, Kapitel 7 |
Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Quantenmechanische Gleichgewichtsverteilungen
Mikrozustände:
Klassischer Zustandsraum mit -> quantenmechanischer Zustandsraum ( Hilbertraum)
Basis (vollständiges ONS): mit
- Orthonormierung und Vollständigkeit
Entwicklung
Ortsdarstellung der Wellenfunktion
Mikroobservable
Klassische Phasenraumfunktion M: ( Ms kommutieren):
--> quantenmechanische Observablen ( Hermitesch):
kommutieren im Allgemeinen nicht !
Quantisierung = Aufstellung von Vertauschungsrelationen !
Maximalmessung: Messung eines vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen
|
Klassische Messwerte:
- als Eigenwerte im Eigenzustand
Spektraldarstellung:
denn:
Projektionsoperator auf den Zustand Alpha:
Observable: Ist das System im Zustand
Quantenmechanische Erwartungswerte einer Messung
=reine Zustände
heißt {{FB|reiner Zustand} (Vektorzustand)
Wahrscheinlichkeit für das Resultat im Zustand (Maximalmessung):
Erwartungswert von im Zustand :
Falls Eigenbasis zu :
Schreibweise mit Projektor auf Zustand :
in einer völlig beliebigen Basis
Satz: Die Spur ist invariant bei Basiswechsel:
Also gleich in Basis Alpha wie Beta !
Quantenmechanisches Gemisch
Gemengezustand: Vergl. Fick: Grundlagen der Quantentheorie, Kapitel 7
- QM- Wahrscheinlichkeitsaussagen ( prinzipielle Unschärfe)
Wahrscheinlichkeitsamplitude
- Unvollständige Information über den Mikrozustand des Systems ( z.B., nach einer vollständigen Messung im Zustand
- wird vom Messergebnis nicht Kenntnis genommen !
Basis der Mikrozustände :
-> sample set der Zufallsereignisse
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Erwartungswert, qm- Erwartungswert im Zustand
Also:
mit dem statistischen Operator ( Dichtematrix
):
Überlagerung der Projektoren mit dem statistischen Gewicht !
Summary
Bemerkung:
Reine Zustände -> kohärente Überlagerung von Wahrscheinlichkeitsamplituden:
mit den quantenmechanischen Phasen
- es entstehen sogenannte "Interferenzterme", falls
- nicht diagonal in
Gemisch: Inkohärente Überlagerung von reinen Zuständen:
- keine quantenmechanischen Interferenzterme !
- -> Die statistischen Operatoren nur der reinen Zustände können als Summe über Projektoren geschrieben werden !
Normierung des statistischen Operators:
Darstellung reiner Zustände
Also: für reine Zustände ist der statistische Operator ein Projektor auf diesen reinen Zustand !
einheitliche Darstellung !!
Nebenbemerkung
Mathematische Formulierung des Zustandsbegriffs ( klassisch + quantenmechanisch)
Zustand = normiertes, positives lineares Funktional auf der Algebra
der Observablen:
reiner Zustand = Extremalpunkt der konvexen menge der Zustände !
Informationsmaße
Shannon- Information:
Nebenbemerkung:
ist ( wie alle Operatorfunktionen) definiert durch die Spektraldarstellung:
Informationsgewinn:
Eigenschaften wie im klassischen Fall:
Verallgemeinerter kanonischer statistischer Operator
Vorurteilsfreie Schätzung unter Nebenbedingungen
Voraussetzung: Die reinen Zustände
haben die gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit
ist durch Maximalmessung gegeben !
Nebenbemerkung:
Die
müssen nicht miteinander kommutieren,
aber
damit sie Erhaltungsgrößen sind ! ( im thermodynamischen Gleichgewicht)
Kanonischer Statistischer Operator:
Übung:
Berechnung der Fermi / Boseverteilung
Hilbertraum des großkanonischen statistischen Operators:
( Fock- Raum)