Mikroskopisches Modell der Polarisierbarkeit

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Mikroskopisches Modell der Polarisierbarkeit basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 5) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Mikroskopisches Modell der Polarisierbarkeit	Materie in elektrischen und magnetischen Feldern	Elektrodynamik Schöll
	Polarisation Magnetisierung Maxwell- Gleichungen in Materie Grenzbedingungen für Felder Mikroskopisches Modell der Polarisierbarkeit Wellenausbreitung in Materie Brechung und Reflexion	Elektrostatik Stationäre Ströme und Magnetfeld Die Maxwell-Gleichungen Elektromagnetische Wellen Materie in elektrischen und magnetischen Feldern Relativistische Formulierung der Elektrodynamik

Ziel: Berechnung der Materialkonstanten

5.5 Mikroskopisches Modell der Polarisierbarkeit

Ziel: Berechnung der Materialkonstanten

${{\chi }_{e}}$

aus einfachen mikroskopischen Modellen Methode: Berechne die induzierte mittlere elektrische Dipoldichte

${\bar {P}}$

für ein gegebenes Feld

${\bar {E}}$

.

Nebenbemerkung: Die Orientierungspolarisation ist nur mittels einer thermodynamischen- statistischen Theorie zu berechnen: Hier: Auseinandersetzung nur mit der " induzierten" Polarisation

Klassisches Atommodell:

homogen geladene Kugel mit Radius R und Elektronenladung

${{Q}_{e}}=-Ze<0$

Außerdem ein punktförmiger Kern mit

${{Q}_{k}}=+Ze>0$

am Ort

${{\bar {r}}_{k}}$

Merke:

Auch diese Berechnungen geschehen, wie im NOTFALL grundsätzlich zu empfehlen, durch Lösen integraler Darstellungen der Maxwellgleichungen

Ziel: Berechnung des elektrischen Feldes

${{\bar {E}}_{el.}}\left({\bar {r}}\right)$

der Elektronen nach außen:

Gauß- Gesetz

$\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\nabla \cdot {\bar {D}}\left({\bar {r}},t\right)=\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\rho \left({\bar {r}},t\right)=Q=\oint \limits _{\partial V}{}d{\bar {f}}\cdot {\bar {D}}\left({\bar {r}},t\right)$

Wir müssen aber zurückkehren zu den mikroskopischen Maxwellgleichungen

Wichtig ! Integration immer über das Gebiet, in dem die Ladung vorhanden ist, aber ! Betrachtung des elektrischen Feldes an einem gewissen Aufpunkt r! Die Ladung ist eigentlich von r´ abhängig , aber hier homogen verteilt !-> einfache Integration.

Auswertung liefert

${\begin{aligned}&{{\varepsilon }_{0}}\oint \limits _{\partial V(r{\acute {\ }})}{}d{\bar {f}}\cdot {\bar {E}}\left({\bar {r}},t\right)=\int _{V(r{\acute {\ }})}^{}{}{\frac {Q}{{\frac {4}{3}}\pi {{R}^{3}}}}={\frac {r{{\acute {\ }}^{3}}}{{R}^{3}}}Q\\&\Rightarrow 4r{{\acute {\ }}^{2}}\pi {{\varepsilon }_{0}}\left|{\bar {E}}\left({\bar {r}},t\right)\right|={\frac {r{{\acute {\ }}^{3}}}{{R}^{3}}}Q\\&\Rightarrow \left|{\bar {E}}\left({\bar {r}},t\right)\right|={\frac {r{\acute {\ }}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}}Q\\\end{aligned}}$

Natürlich nur für

$r{\acute {\ }}\leq R$

setzt man

${\bar {r}}{\acute {\ }}={\bar {r}}-{{\bar {r}}_{e}}$

, wobei

${{\bar {r}}_{e}}$

das Zentrum der elektrischen Ladung angibt,

so gewinnt man das rotationssymmetrische Ergebnis

${\bar {E}}\left({\bar {r}},t\right)={\frac {{\bar {r}}-{{\bar {r}}_{e}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}}{{Q}_{e}}$

und die Kraft auf den Kern folgt gemäß:

${{\bar {F}}_{K}}={{Q}_{K}}{\bar {E}}\left({{\bar {r}}_{{\acute {\ }}k}},t\right)={\frac {{{\bar {r}}_{k}}-{{\bar {r}}_{e}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}}{{Q}_{e}}{{Q}_{k}}=-{\frac {{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}}\left({{\bar {r}}_{k}}-{{\bar {r}}_{e}}\right)$

wegen actio = reactio folgt dann für die Kraft auf die Elektronen:

${{\bar {F}}_{e}}=-{{\bar {F}}_{K}}$

Aufstellen der Bewegungsgleichungen ( inklusive einem äußeren Feld

${{\bar {E}}_{a}}$

):

${\begin{aligned}&{{m}_{K}}{{\ddot {\bar {r}}}_{k}}={{\bar {F}}_{K}}+{{Q}_{K}}{{\bar {E}}_{a}}\left({{\bar {r}}_{{\acute {\ }}k}},t\right)=-{\frac {{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}}\left({{\bar {r}}_{k}}-{{\bar {r}}_{e}}\right)+{{Q}_{K}}{{\bar {E}}_{a}}\left({{\bar {r}}_{{\acute {\ }}k}},t\right)=-{\frac {{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}}\left({{\bar {r}}_{k}}-{{\bar {r}}_{e}}\right)+Ze{{\bar {E}}_{a}}\left({{\bar {r}}_{{\acute {\ }}k}},t\right)\\&Z{{m}_{e}}{{\ddot {\bar {r}}}_{e}}=-{{\bar {F}}_{K}}+{{Q}_{e}}{{\bar {E}}_{a}}\left({{\bar {r}}_{{\acute {\ }}k}},t\right)={\frac {{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}}\left({{\bar {r}}_{k}}-{{\bar {r}}_{e}}\right)+{{Q}_{e}}{{\bar {E}}_{a}}\left({{\bar {r}}_{{\acute {\ }}k}},t\right)={\frac {{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}}\left({{\bar {r}}_{k}}-{{\bar {r}}_{e}}\right)-Ze{{\bar {E}}_{a}}\left({{\bar {r}}_{{\acute {\ }}k}},t\right)\\\end{aligned}}$

Also folgt für die Relativbewegung:

${\bar {r}}={{\bar {r}}_{k}}-{{\bar {r}}_{e}}$

als relativer Abstand

${\begin{aligned}&{\ddot {\bar {r}}}={{\ddot {\bar {r}}}_{k}}-{{\ddot {\bar {r}}}_{e}}=-{\frac {{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}{{m}_{K}}}}\left({{\bar {r}}_{k}}-{{\bar {r}}_{e}}\right)+{\frac {Ze}{{m}_{K}}}{{\bar {E}}_{a}}\left({{\bar {r}}_{{\acute {\ }}k}},t\right)-{\frac {Z{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}{{m}_{e}}}}\left({{\bar {r}}_{k}}-{{\bar {r}}_{e}}\right)+{\frac {e}{{m}_{e}}}{{\bar {E}}_{a}}\left({{\bar {r}}_{k}},t\right)\\&=-{\frac {{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}}\left({\frac {1}{{m}_{K}}}+{\frac {1}{Z{{m}_{e}}}}\right)\left({{\bar {r}}_{k}}-{{\bar {r}}_{e}}\right)+Ze\left({\frac {1}{{m}_{K}}}+{\frac {1}{Z{{m}_{e}}}}\right){{\bar {E}}_{a}}\left({{\bar {r}}_{k}},t\right)\\&\left({\frac {1}{{m}_{K}}}+{\frac {1}{Z{{m}_{e}}}}\right)\approx {\frac {1}{Z{{m}_{e}}}}\\&\left({{\bar {r}}_{k}}-{{\bar {r}}_{e}}\right)={\bar {r}}\\&\Rightarrow {\ddot {\bar {r}}}=-{\frac {Z{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{m}_{e}}{{R}^{3}}}}{\bar {r}}+{\frac {e}{{m}_{e}}}{{\bar {E}}_{a}}\left({{\bar {r}}_{k}},t\right)\\&{\frac {Z{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{m}_{e}}{{R}^{3}}}}:={{\omega }_{0}}^{2}\\&\Rightarrow {\ddot {\bar {r}}}+{{\omega }_{0}}^{2}{\bar {r}}={\frac {e}{{m}_{e}}}{{\bar {E}}_{a}}\left({{\bar {r}}_{k}},t\right)\\\end{aligned}}$

Also ergibt sich ein harmonischer Oszillator mit quadratischem Potenzial ! was wir schon an der Bestimmung des Potenzials sofort hätten sehen können !

Jedenfalls im stationären Zustand gilt:

${\bar {r}}={\frac {e}{{{\omega }_{0}}^{2}{{m}_{e}}}}{{\bar {E}}_{a}}\left({{\bar {r}}_{k}},t\right)$

( Dynamik mit Dämpfung)

$\Rightarrow {{\chi }_{e}}\left(\omega \right)$

Als Ergebnis gewinnen wir ein statisch mikroskopisch elektrisches Dipolmoment, welches sich über p=qd bereits hinschreiben läßt und welches auch übereinstimmt mit Gleichungen von oben zur exakten Berechnung des elektrischen Dipolmoments:

${\begin{aligned}&{\bar {p}}=Ze{\bar {r}}={\frac {Z{{e}^{2}}}{{{\omega }_{0}}^{2}{{m}_{e}}}}{{\bar {E}}_{a}}\left({{\bar {r}}_{k}},t\right)={{\varepsilon }_{0}}\alpha {{\bar {E}}_{a}}\\&\alpha :={\frac {Z{{e}^{2}}}{{{\omega }_{0}}^{2}{{\varepsilon }_{0}}{{m}_{e}}}}\\&{\frac {Z{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{m}_{e}}{{R}^{3}}}}:={{\omega }_{0}}^{2}\\&\Rightarrow \alpha :={\frac {Z{{e}^{2}}}{{{\omega }_{0}}^{2}{{\varepsilon }_{0}}{{m}_{e}}}}=4\pi {{R}^{3}}=3{{V}_{Atom}}\\\end{aligned}}$

Die Polarisierbarkeit des Atoms, ein mikroskopischer Parameter. Entsprechend:

${\begin{aligned}&{\bar {p}}=\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{{\rho }_{e}}(r{\acute {\ }}){\bar {r}}{\acute {\ }}+Ze\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\delta ({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }})\\&Ze\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\delta ({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }})=Ze{\bar {r}}\\&\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{{\rho }_{e}}(r{\acute {\ }}){\bar {r}}{\acute {\ }}=-{\frac {Ze}{{\frac {4\pi }{3}}{{R}^{3}}}}\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\bar {r}}{\acute {\ }}\\&\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\bar {r}}{\acute {\ }}=0\\\end{aligned}}$

wegen Symmetrie

${\bar {p}}=Ze{\bar {r}}$

makroskopisch gemittelte Energiedichte:

${\bar {P}}=n{\bar {p}}={{\varepsilon }_{0}}n\alpha {{\bar {E}}_{a}}$

mit der mittleren Atomdichte n

Selbstkonsistente Berechnung des Lokalfeldes Ea:

Wichtig: Berücksichtigung der Felder, die durch andere elektrische Dipole erzeugt werden:

Gedankenexperiment

Feld einer homogenen polarisierten Kugel:

Ansatz: homogen geladene Kugel:

${{\bar {E}}_{0}}\left({\bar {r}}\right)={\frac {Q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\left\{{\begin{matrix}{\frac {\bar {r}}{{a}^{3}}}r\leq a\\{\frac {\bar {r}}{{r}^{3}}}r\geq a\\\end{matrix}}\right.$

Also:

${{\Phi }_{0}}\left({\bar {r}}\right)={\frac {Q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\left\{{\begin{matrix}c-{\frac {{\bar {r}}^{2}}{2{{a}^{3}}}}r\leq a\\{\frac {1}{r}}r\geq a\\\end{matrix}}\right.$

Bestimmung der Integrationskonstanten:

${\begin{matrix}\lim \\\varepsilon ->0\\\end{matrix}}{{\Phi }_{0}}\left(a-\varepsilon \right)={{\Phi }_{0}}\left(a+\varepsilon \right)\Rightarrow c={\frac {3}{2a}}$

die homogen polarisierte Kugel

Bei der homogen polarisierten Kugel kann man 2 entgegegengesetzt homogen geladene Kugeln mit Abstand ro annehmen.

Dann: ro -> 0

Bilde:

${\begin{aligned}&{{\Phi }_{0}}\left({\bar {r}}\right)={{\Phi }_{0}}\left({\bar {r}}-{\frac {1}{2}}{{\bar {r}}_{0}}\right)-{{\Phi }_{0}}\left({\bar {r}}+{\frac {1}{2}}{{\bar {r}}_{0}}\right)\\&\approx -{{\bar {r}}_{0}}\nabla {{\Phi }_{0}}\left({\bar {r}}\right)\\&\nabla {{\Phi }_{0}}\left({\bar {r}}\right)=-{{\bar {E}}_{0}}\\&\Rightarrow {{\Phi }_{0}}\left({\bar {r}}\right)\approx {{\bar {r}}_{0}}{{\bar {E}}_{0}}={\frac {Q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\left\{{\begin{matrix}{\frac {{{\bar {r}}_{0}}{\bar {r}}}{{a}^{3}}}r\leq a\\{\frac {{{\bar {r}}_{0}}{\bar {r}}}{{r}^{3}}}r\geq a\\\end{matrix}}\right.={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\left\{{\begin{matrix}{\frac {{\bar {p}}{\bar {r}}}{{a}^{3}}}r\leq a\\{\frac {{\bar {p}}{\bar {r}}}{{r}^{3}}}r\geq a\\\end{matrix}}\right.\\&{\bar {p}}:=Q{{\bar {r}}_{0}}\\\end{aligned}}$

Das Dipolmoment der herausgeschnittenen Kugel.

Als Näherung wurde taylorentwickelt. Dabei allerdings nur bis zur ersten Ordnung und Nullte Ordnung verschwindet. Verwendet wurde das Dipolmoment der Kugel. Man kann auf Polarisation ( eigentlich Dipoldichte) umschreiben:

${\begin{aligned}&{\bar {P}}={\frac {\bar {p}}{{\frac {4}{3}}{{a}^{3}}\pi }}\\&\Rightarrow {{\Phi }_{0}}\left({\bar {r}}\right)\approx {{\bar {r}}_{0}}{{\bar {E}}_{0}}={\frac {Q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\left\{{\begin{matrix}{\frac {{{\bar {r}}_{0}}{\bar {r}}}{{a}^{3}}}r\leq a\\{\frac {{{\bar {r}}_{0}}{\bar {r}}}{{r}^{3}}}r\geq a\\\end{matrix}}\right.={\frac {1}{{\varepsilon }_{0}}}\left\{{\begin{matrix}{\frac {{\bar {P}}{\bar {r}}}{3}}r\leq a\\{\bar {P}}{\bar {r}}{\frac {{a}^{3}}{{r}^{3}}}r\geq a\\\end{matrix}}\right.\\\end{aligned}}$

Wir gewinnen innerhalb der Kugel homogene Polarisation und außerhalb ein Dipolpotenzial.

${{\bar {E}}_{Kugel}}=-\nabla \Phi =-{\frac {1}{{\varepsilon }_{0}}}{\frac {\bar {P}}{3}}r\leq a$

für das elektrische Feld im Inneren der Kugel ( homogen polarisiert).

Gesamtes Lokalfeld am Ort des Atoms ergibt sich nach:

das äußere Feld wird erzeugt durch Atome, die sich außerhalb der Hohlkugel befinden. Das innere Feld durch Atome im Inneren der Hohlkugel. Gezeichnet: Lokalfeld einer polarisierten dielektrischen Kugel im homogenen elektrischen Feld

Das Lokalfeld im INNEREN des KugelHOHLRAUMS, welcher aus dem Volumen herausgeschnitten wurde:

${{\bar {E}}_{a}}\left({\bar {r}}\right)={\bar {E}}-{{\bar {E}}_{KUgel}}$

${\begin{aligned}&{{\bar {E}}_{a}}\left({\bar {r}}\right):Lokalfeld\\&{\bar {E}}:makroskopisch\\&{{\bar {E}}_{a}}\left({\bar {r}}\right)={\bar {E}}+{\frac {1}{3{{\varepsilon }_{0}}}}{\bar {P}}\\\end{aligned}}$

Letztes wurde von Lorentz eingeführt als "Korrekturfeld"

weil

${{\bar {E}}_{a}}+{{\bar {E}}_{Kugel}}={\bar {E}}$

sein muss

Das Lokalfeld am Ort des Atoms mit dem Innenfeld der dielektrischen Kugel ( wieder in den Hohlraum eingesetzt) ergibt das mittlere makroskopische Feld !

Zusammenhang zwischen P und makroskopischem Feld E:

${\begin{aligned}&{\bar {P}}={{\varepsilon }_{0}}n\alpha {{\bar {E}}_{a}}={{\varepsilon }_{0}}n\alpha \left({\bar {E}}+{\frac {1}{3{{\varepsilon }_{0}}}}{\bar {P}}\right)\\&{\bar {P}}={{\varepsilon }_{0}}{{\chi }_{e}}{\bar {E}}\\&\Rightarrow {{\chi }_{e}}={\frac {n\alpha }{1-{\frac {1}{3}}n\alpha }}\\&n\alpha ={\frac {{\chi }_{e}}{1+{\frac {1}{3}}{{\chi }_{e}}}}={\frac {\varepsilon -1}{1+{\frac {\varepsilon -1}{3}}}}=3{\frac {\varepsilon -1}{\varepsilon +2}}\\\end{aligned}}$

Formel von Clausius - Masotti für polarisierte Kugel