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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| In Lorentz Eichung ! | | In Lorentz Eichung! |
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| :<math>\nabla \cdot \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \cdot \nabla \Phi =\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Phi -\Delta \Phi =-\#\Phi =\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left( \rho +{{\rho }_{p}} \right)=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left( \rho -\nabla \cdot \bar{P} \right)</math> | | :<math>\nabla \cdot \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \cdot \nabla \Phi =\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Phi -\Delta \Phi =-\#\Phi =\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left( \rho +{{\rho }_{p}} \right)=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left( \rho -\nabla \cdot \bar{P} \right)</math> |
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| per Definition von | | per Definition von |
| :<math>{{\rho }_{p}}</math> | | :<math>{{\rho }_{p}}</math>. |
| .
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| :<math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| Mit dem Magnetfeld | | Mit dem Magnetfeld |
| :<math>H\left( \bar{r},t \right)</math> | | :<math>H\left( \bar{r},t \right)</math>, |
| , welches so definiert wurde, dass es nur durch die FREIEN Ströme erzeugt wird:
| | welches so definiert wurde, dass es nur durch die FREIEN Ströme erzeugt wird: |
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| <u>'''Zusammenfassung:'''</u> | | <u>'''Zusammenfassung:'''</u> |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| Im Gauß System ( weil so oft in diesem angegeben, vergl. Jackson): | | Im Gauß System (weil so oft in diesem angegeben, vergl. Jackson): |
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| Unsere 6 Feldgleichungen ( wenn man so will, also ( es kann nicht oft genug gezeigt werden): | | Unsere 6 Feldgleichungen (wenn man so will, also (es kann nicht oft genug gezeigt werden): |
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| für diamagnetische Stoffe: | | für diamagnetische Stoffe: |
| :<math>\bar{B}\left( \bar{r},t \right)\uparrow \downarrow \bar{M}\left( \bar{r},t \right)</math> | | :<math>\bar{B}\left( \bar{r},t \right)\uparrow \downarrow \bar{M}\left( \bar{r},t \right)</math>, |
| ,
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| also ein skalarer Zusammenhang | | also ein skalarer Zusammenhang |
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| also ein linearer Zusammenhang | | also ein linearer Zusammenhang |
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| # ohne Gedächtniseffekte, keine nichtlokale Wechselwirkung ( keine Phasenkohärenzen): | | # ohne Gedächtniseffekte, keine nichtlokale Wechselwirkung (keine Phasenkohärenzen): |
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| :<math>\bar{E}\left( \bar{r},t \right)\tilde{\ }\bar{P}\left( \bar{r},t \right)</math> | | :<math>\bar{E}\left( \bar{r},t \right)\tilde{\ }\bar{P}\left( \bar{r},t \right)</math> |
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| :<math>\bar{B}\left( \bar{r},t \right)\tilde{\ }\bar{M}\left( \bar{r},t \right)</math> | | :<math>\bar{B}\left( \bar{r},t \right)\tilde{\ }\bar{M}\left( \bar{r},t \right)</math> |
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| neben der Linearität also ein INSTANTANER, LOKALER Zusammenhang ! | | neben der Linearität also ein INSTANTANER, LOKALER Zusammenhang! |
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| Dann kann man schreiben: | | Dann kann man schreiben: |
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| und der magnetischen Suszeptibilität | | und der magnetischen Suszeptibilität |
| :<math>{{\chi }_{M}}</math> | | :<math>{{\chi }_{M}}</math> |
| ( Materialkonstanten). | | (Materialkonstanten). |
| Die Materialkonstanten müssen aus den mikroskopischen Theorien ( z.B. Quantentheorie, Festkörperphysik) abgeleitet werden. | | Die Materialkonstanten müssen aus den mikroskopischen Theorien (z.B. Quantentheorie, Festkörperphysik) abgeleitet werden. |
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| :<math>\bar{D}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+\bar{P}={{\varepsilon }_{0}}\left( 1+{{\chi }_{e}} \right)\bar{E}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\varepsilon \bar{E}\left( \bar{r},t \right)</math> mit <math>\varepsilon =\left( 1+{{\chi }_{e}} \right)</math> | | :<math>\bar{D}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+\bar{P}={{\varepsilon }_{0}}\left( 1+{{\chi }_{e}} \right)\bar{E}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\varepsilon \bar{E}\left( \bar{r},t \right)</math> mit <math>\varepsilon =\left( 1+{{\chi }_{e}} \right)</math>, |
| , der relativen Dielektrizitätskonstante ( permittivity)
| | der relativen Dielektrizitätskonstante (permittivity) |
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| :<math>\bar{B}={{\mu }_{0}}\left( \bar{H}+\bar{M} \right)={{\mu }_{0}}\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)\bar{H}\left( \bar{r},t \right)={{\mu }_{0}}\mu \bar{H}</math> mit <math>\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)=\mu </math> | | :<math>\bar{B}={{\mu }_{0}}\left( \bar{H}+\bar{M} \right)={{\mu }_{0}}\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)\bar{H}\left( \bar{r},t \right)={{\mu }_{0}}\mu \bar{H}</math> mit <math>\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)=\mu </math>, |
| , der relativen Permeabilität
| | der relativen Permeabilität |
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| :<math>\Rightarrow \bar{M}={{\chi }_{M}}\bar{H}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\frac{{{\chi }_{M}}}{\mu }\bar{B}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\frac{{{\chi }_{M}}}{\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)}\bar{B}</math> | | :<math>\Rightarrow \bar{M}={{\chi }_{M}}\bar{H}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\frac{{{\chi }_{M}}}{\mu }\bar{B}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\frac{{{\chi }_{M}}}{\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)}\bar{B}</math> |
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| Es gilt stets | | Es gilt stets |
| :<math>{{\chi }_{e}}>0</math> | | :<math>{{\chi }_{e}}>0</math> |
| ( Dielektrischer Effekt, Polarisierbarkeit → es existiert keine negative Polarisierbarkeit) | | (Dielektrischer Effekt, Polarisierbarkeit → es existiert keine negative Polarisierbarkeit) |
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| :<math>{{\chi }_{M}}\begin{matrix} | | :<math>{{\chi }_{M}}\begin{matrix} |
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| Ein Term | | Ein Term |
| :<math>\tilde{\ }\bar{B}</math> in <math>\bar{P}</math> oder <math>\tilde{\ }\bar{E}</math> in <math>\bar{M}</math> | | :<math>\tilde{\ }\bar{B}</math> in <math>\bar{P}</math> oder <math>\tilde{\ }\bar{E}</math> in <math>\bar{M}</math> |
| kann gar nicht auftreten, schon wegen des falschen Raumspiegelverhaltens ! | | kann gar nicht auftreten, schon wegen des falschen Raumspiegelverhaltens! |
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| :<math>\bar{E}</math> | | :<math>\bar{E}</math> |
| ist polarer Vektor, | | ist polarer Vektor, |
| :<math>\bar{B}</math> | | :<math>\bar{B}</math> |
| ist axialer Vektor ! | | ist axialer Vektor! |
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| :<math>{{\rho }_{P}}\left( \bar{r},t \right)=-\nabla \cdot \bar{P}\left( \bar{r},t \right)</math> | | :<math>{{\rho }_{P}}\left( \bar{r},t \right)=-\nabla \cdot \bar{P}\left( \bar{r},t \right)</math> |
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| drückt den anisotropen Charakter aus mit einem symmetrischen Tensor | | drückt den anisotropen Charakter aus mit einem symmetrischen Tensor |
| :<math>{{\bar{\bar{\chi }}}_{e}}</math> | | :<math>{{\bar{\bar{\chi }}}_{e}}</math>. |
| .
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| 2) für starke Felder gibt es nichtlineare Effekte, die ebenfalls tensoriellen Charakter der Suszeptibilität bedingen: | | 2) für starke Felder gibt es nichtlineare Effekte, die ebenfalls tensoriellen Charakter der Suszeptibilität bedingen: |
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| :<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }dt\acute{\ }{{\chi }_{e}}\left( \bar{r},\bar{r}\acute{\ },t,t\acute{\ } \right)\bar{E}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)</math> | | :<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }dt\acute{\ }{{\chi }_{e}}\left( \bar{r},\bar{r}\acute{\ },t,t\acute{\ } \right)\bar{E}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)</math> |
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| ( räumliche bzw. zeitliche Dispersion): | | (räumliche bzw. zeitliche Dispersion): |
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| :<math>\hat{\bar{P}}\left( \bar{k},\omega \right)={{\varepsilon }_{0}}{{\hat{\chi }}_{e}}\left( \bar{k},\omega \right)\hat{\bar{E}}\left( \bar{k},\omega \right)</math> | | :<math>\hat{\bar{P}}\left( \bar{k},\omega \right)={{\varepsilon }_{0}}{{\hat{\chi }}_{e}}\left( \bar{k},\omega \right)\hat{\bar{E}}\left( \bar{k},\omega \right)</math> |
Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Maxwell- Gleichungen in Materie basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 3) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Die vollständigen Potenziale enthalten
- die freie Ladungs- und Stromdichten
- die Polarisations- und Magnetisierungsbeiträge
Somit folgt für die vollständigen Potenziale:
Diese Potenziale sind Lösungen der inhomogenen Wellengleichung in Lorentz- Eichung
Für die Felder in Materie folgt:
Daraus folgen die Maxwell- Gleichungen:
In Lorentz Eichung!
per Definition von
- .
Die Dielektrische Verschiebung
4) Letzte Gleichung:
Mit dem Magnetfeld
- ,
welches so definiert wurde, dass es nur durch die FREIEN Ströme erzeugt wird:
Zusammenfassung:
Dabei beschreibt
die Wechselwirkung der Felder mit Probeladungen und
die Erzeugung der Felder durch FREIE Ladungen und Ströme
Weiter:
Im Gauß System (weil so oft in diesem angegeben, vergl. Jackson):
die Erzeugung der Felder durch FREIE Ladungen und Ströme
Weiter:
Unsere 6 Feldgleichungen (wenn man so will, also (es kann nicht oft genug gezeigt werden):
sind nicht vollständig. Es muss noch der Zusammenhang zwischen Polarisation und E- Feld, bzw. B- Feld und Magnetisierung angegeben werden. Dies sind die sogenannten " Materialgleichungen".
Einfachster Fall:
- isotrope Materie:
und für paramagnetische Stoffe
für diamagnetische Stoffe:
- ,
also ein skalarer Zusammenhang
- bei nicht zu hohen Feldern:
also ein linearer Zusammenhang
- ohne Gedächtniseffekte, keine nichtlokale Wechselwirkung (keine Phasenkohärenzen):
neben der Linearität also ein INSTANTANER, LOKALER Zusammenhang!
Dann kann man schreiben:
Mit den Suszeptibilitäten, der elektrischen Suszeptibilität
und der magnetischen Suszeptibilität
(Materialkonstanten).
Die Materialkonstanten müssen aus den mikroskopischen Theorien (z.B. Quantentheorie, Festkörperphysik) abgeleitet werden.
- mit ,
der relativen Dielektrizitätskonstante (permittivity)
- mit ,
der relativen Permeabilität
Man sagt:
Ein Stoff ist paramagnetisch für
diamagnetisch für
paramagnetisch:
- diamagnetisch
Bemerkungen
beschreibt kein Ferroelektrikum
kein Ferromagnet
Es gilt stets
(Dielektrischer Effekt, Polarisierbarkeit → es existiert keine negative Polarisierbarkeit)
Para- ODER Diamagnet
Ein Term
- in oder in
kann gar nicht auftreten, schon wegen des falschen Raumspiegelverhaltens!
ist polarer Vektor,
ist axialer Vektor!
ist ein Skalar
ist ein polarer Vektor.
Abweichungen
1)Für anisotrope Kristalle :
drückt den anisotropen Charakter aus mit einem symmetrischen Tensor
- .
2) für starke Felder gibt es nichtlineare Effekte, die ebenfalls tensoriellen Charakter der Suszeptibilität bedingen:
Anwendung: optische Nichtlinearität,
Beispiel: optische Bistabilität, optische Schalter:
Für hochfrequente Felder folgt:
(räumliche bzw. zeitliche Dispersion):