Liouville-von-Neumann-Gleichung: Unterschied zwischen den Versionen

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<math>{\mathfrak{i}{\partial }_{t}}\Psi (t) =\hat{H}\Psi (t)</math>
:<math>{\mathfrak{i}{\partial }_{t}}\Psi (t) =\hat{H}\Psi (t)</math>


Dirac Notation
Dirac Notation


Ket:
Ket:
<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
   & \left| \mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\Psi \left( t \right) \right\rangle =\left| \hat{H}\Psi \left( t \right) \right\rangle  \\
   & \left| \mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\Psi \left( t \right) \right\rangle =\left| \hat{H}\Psi \left( t \right) \right\rangle  \\
  & \mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle =\hat{H}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle \Rightarrow {{\partial }_{t}}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle =-\mathfrak{i}\hat{H}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle  \\
  & \mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle =\hat{H}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle \Rightarrow {{\partial }_{t}}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle =-\mathfrak{i}\hat{H}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle  \\
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Bra:
Bra:


<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
   & \left\langle  \mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\Psi \left( t \right) \right|=\left\langle  \hat{H}\Psi \left( t \right) \right| \\
   & \left\langle  \mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\Psi \left( t \right) \right|=\left\langle  \hat{H}\Psi \left( t \right) \right| \\
  & \text{-}\mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\left\langle  \Psi \left( t \right) \right|=\left\langle  \Psi \left( t \right) \right|\hat{H},\,\left( \hat{H}={{{\hat{H}}}^{+}} \right)\Rightarrow {{\partial }_{t}}\left\langle  \Psi \left( t \right) \right|=\mathfrak{i}\left\langle  \Psi \left( t \right) \right|\hat{H} \\
  & \text{-}\mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\left\langle  \Psi \left( t \right) \right|=\left\langle  \Psi \left( t \right) \right|\hat{H},\,\left( \hat{H}={{{\hat{H}}}^{+}} \right)\Rightarrow {{\partial }_{t}}\left\langle  \Psi \left( t \right) \right|=\mathfrak{i}\left\langle  \Psi \left( t \right) \right|\hat{H} \\
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[[Dichtematrix]]
[[Dichtematrix]]


<math>\rho =\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle \left\langle  \Psi \left( t \right) \right|</math>
:<math>\rho =\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle \left\langle  \Psi \left( t \right) \right|</math>


einsetzen:
einsetzen:




<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
   & \dot{\rho }={{\partial }_{t}}\left( \left| \Psi \left( t \right) \right\rangle \left\langle  \Psi \left( t \right) \right| \right) \\  
   & \dot{\rho }={{\partial }_{t}}\left( \left| \Psi \left( t \right) \right\rangle \left\langle  \Psi \left( t \right) \right| \right) \\  
  & =\left( {{\partial }_{t}}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle  \right)\left\langle  \Psi \left( t \right) \right|+\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle \left( {{\partial }_{t}}\left\langle  \Psi \left( t \right) \right| \right) \\  
  & =\left( {{\partial }_{t}}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle  \right)\left\langle  \Psi \left( t \right) \right|+\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle \left( {{\partial }_{t}}\left\langle  \Psi \left( t \right) \right| \right) \\  
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<references />
<references />
[http://de.wikipedia.org/wiki/Von-Neumann-Gleichung Wikipedia-Eintrag]
[http://de.wikipedia.org/wiki/Von-Neumann-Gleichung Wikipedia-Eintrag]
[[Kategorie:Thermodynamik]]

Aktuelle Version vom 17. September 2010, 00:13 Uhr

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\dot {\rho }}={\mathcal {L}}\rho =-{\frac {i}{\color {Gray}\hbar }}\left[{H,\rho }\right]} mit

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho } Dichteoperator
H Hamiltonoperator
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left[\_\,,\_\right]} Kommutator

[1]

Herleitung

Schrödingergleichung


Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{\mathfrak {i}}{\partial }_{t}}\Psi (t)={\hat {H}}\Psi (t)}

Dirac Notation

Ket:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\begin{aligned}&\left|{\mathfrak {i}}{{\partial }_{t}}\Psi \left(t\right)\right\rangle =\left|{\hat {H}}\Psi \left(t\right)\right\rangle \\&{\mathfrak {i}}{{\partial }_{t}}\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle ={\hat {H}}\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle \Rightarrow {{\partial }_{t}}\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle =-{\mathfrak {i}}{\hat {H}}\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle \\\end{aligned}}}

Bra:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\begin{aligned}&\left\langle {\mathfrak {i}}{{\partial }_{t}}\Psi \left(t\right)\right|=\left\langle {\hat {H}}\Psi \left(t\right)\right|\\&{\text{-}}{\mathfrak {i}}{{\partial }_{t}}\left\langle \Psi \left(t\right)\right|=\left\langle \Psi \left(t\right)\right|{\hat {H}},\,\left({\hat {H}}={{\hat {H}}^{+}}\right)\Rightarrow {{\partial }_{t}}\left\langle \Psi \left(t\right)\right|={\mathfrak {i}}\left\langle \Psi \left(t\right)\right|{\hat {H}}\\\end{aligned}}}


Dichtematrix

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho =\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle \left\langle \Psi \left(t\right)\right|}

einsetzen:


Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {\rho }}={{\partial }_{t}}\left(\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle \left\langle \Psi \left(t\right)\right|\right)\\&=\left({{\partial }_{t}}\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle \right)\left\langle \Psi \left(t\right)\right|+\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle \left({{\partial }_{t}}\left\langle \Psi \left(t\right)\right|\right)\\&=-{\mathfrak {i}}{\hat {H}}\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle \left\langle \Psi \left(t\right)\right|+\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle \left\langle \Psi \left(t\right)\right|{\mathfrak {i}}{\hat {H}}\\&=-{\mathfrak {i}}\left({\hat {H}}\rho -\rho {\hat {H}}\right)\equiv -{\mathfrak {i}}\left[{\hat {H}},\rho \right]={\mathfrak {i}}\left[\rho ,{\hat {H}}\right]\end{aligned}}}

Einzelnachweise

  1. Schöll, QM 2.5 Teil 1 Seite 77,

Wikipedia-Eintrag