Liouville-von-Neumann-Gleichung: Unterschied zwischen den Versionen
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& \left| \mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\Psi \left( t \right) \right\rangle =\left| \hat{H}\Psi \left( t \right) \right\rangle \\ | & \left| \mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\Psi \left( t \right) \right\rangle =\left| \hat{H}\Psi \left( t \right) \right\rangle \\ | ||
& \mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle =\hat{H}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle \Rightarrow {{\partial }_{t}}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle =-\mathfrak{i}\hat{H}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle \\ | & \mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle =\hat{H}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle \Rightarrow {{\partial }_{t}}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle =-\mathfrak{i}\hat{H}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle \\ | ||
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& \left\langle \mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\Psi \left( t \right) \right|=\left\langle \hat{H}\Psi \left( t \right) \right| \\ | & \left\langle \mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\Psi \left( t \right) \right|=\left\langle \hat{H}\Psi \left( t \right) \right| \\ | ||
& \text{-}\mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\left\langle \Psi \left( t \right) \right|=\left\langle \Psi \left( t \right) \right|\hat{H},\,\left( \hat{H}={{{\hat{H}}}^{+}} \right)\Rightarrow {{\partial }_{t}}\left\langle \Psi \left( t \right) \right|=\mathfrak{i}\left\langle \Psi \left( t \right) \right|\hat{H} \\ | & \text{-}\mathfrak{i}{{\partial }_{t}}\left\langle \Psi \left( t \right) \right|=\left\langle \Psi \left( t \right) \right|\hat{H},\,\left( \hat{H}={{{\hat{H}}}^{+}} \right)\Rightarrow {{\partial }_{t}}\left\langle \Psi \left( t \right) \right|=\mathfrak{i}\left\langle \Psi \left( t \right) \right|\hat{H} \\ | ||
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<math>\rho =\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle \left\langle \Psi \left( t \right) \right|</math> | :<math>\rho =\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle \left\langle \Psi \left( t \right) \right|</math> | ||
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& \dot{\rho }={{\partial }_{t}}\left( \left| \Psi \left( t \right) \right\rangle \left\langle \Psi \left( t \right) \right| \right) \\ | & \dot{\rho }={{\partial }_{t}}\left( \left| \Psi \left( t \right) \right\rangle \left\langle \Psi \left( t \right) \right| \right) \\ | ||
& =\left( {{\partial }_{t}}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle \right)\left\langle \Psi \left( t \right) \right|+\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle \left( {{\partial }_{t}}\left\langle \Psi \left( t \right) \right| \right) \\ | & =\left( {{\partial }_{t}}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle \right)\left\langle \Psi \left( t \right) \right|+\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle \left( {{\partial }_{t}}\left\langle \Psi \left( t \right) \right| \right) \\ | ||
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[http://de.wikipedia.org/wiki/Von-Neumann-Gleichung Wikipedia-Eintrag] | [http://de.wikipedia.org/wiki/Von-Neumann-Gleichung Wikipedia-Eintrag] | ||
[[Kategorie:Thermodynamik]] |
Aktuelle Version vom 17. September 2010, 00:13 Uhr
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\dot {\rho }}={\mathcal {L}}\rho =-{\frac {i}{\color {Gray}\hbar }}\left[{H,\rho }\right]} mit
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho } | Dichteoperator |
H | Hamiltonoperator |
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left[\_\,,\_\right]} | Kommutator |
Herleitung
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {{\mathfrak {i}}{\partial }_{t}}\Psi (t)={\hat {H}}\Psi (t)}
Dirac Notation
Ket:
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\begin{aligned}&\left|{\mathfrak {i}}{{\partial }_{t}}\Psi \left(t\right)\right\rangle =\left|{\hat {H}}\Psi \left(t\right)\right\rangle \\&{\mathfrak {i}}{{\partial }_{t}}\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle ={\hat {H}}\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle \Rightarrow {{\partial }_{t}}\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle =-{\mathfrak {i}}{\hat {H}}\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle \\\end{aligned}}}
Bra:
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\begin{aligned}&\left\langle {\mathfrak {i}}{{\partial }_{t}}\Psi \left(t\right)\right|=\left\langle {\hat {H}}\Psi \left(t\right)\right|\\&{\text{-}}{\mathfrak {i}}{{\partial }_{t}}\left\langle \Psi \left(t\right)\right|=\left\langle \Psi \left(t\right)\right|{\hat {H}},\,\left({\hat {H}}={{\hat {H}}^{+}}\right)\Rightarrow {{\partial }_{t}}\left\langle \Psi \left(t\right)\right|={\mathfrak {i}}\left\langle \Psi \left(t\right)\right|{\hat {H}}\\\end{aligned}}}
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho =\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle \left\langle \Psi \left(t\right)\right|}
einsetzen:
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {\rho }}={{\partial }_{t}}\left(\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle \left\langle \Psi \left(t\right)\right|\right)\\&=\left({{\partial }_{t}}\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle \right)\left\langle \Psi \left(t\right)\right|+\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle \left({{\partial }_{t}}\left\langle \Psi \left(t\right)\right|\right)\\&=-{\mathfrak {i}}{\hat {H}}\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle \left\langle \Psi \left(t\right)\right|+\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle \left\langle \Psi \left(t\right)\right|{\mathfrak {i}}{\hat {H}}\\&=-{\mathfrak {i}}\left({\hat {H}}\rho -\rho {\hat {H}}\right)\equiv -{\mathfrak {i}}\left[{\hat {H}},\rho \right]={\mathfrak {i}}\left[\rho ,{\hat {H}}\right]\end{aligned}}}
Einzelnachweise
- ↑ Schöll, QM 2.5 Teil 1 Seite 77,