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| :<math>\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},H \right]=0</math> | | :<math>\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},H \right]=0</math> |
| | | , |
| , falls <math>H=\hat{H}({{\hat{r}}^{2}},{{\hat{p}}^{2}})</math>
| | falls <math>H=\hat{H}({{\hat{r}}^{2}},{{\hat{p}}^{2}})</math> |
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| Also <math>\hat{H}=\frac{{{{\hat{p}}}^{2}}}{2m}+V(r)</math> | | Also <math>\hat{H}=\frac{{{{\hat{p}}}^{2}}}{2m}+V(r)</math> |
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| mit Zentralpotenzial V(r ) | | mit Zentralpotenzial V(r) |
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| <u>'''Theorem'''</u> | | <u>'''Theorem'''</u> |
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| Wegen <math>\left[ {{{\hat{L}}}^{2}},H \right]=\hat{L}\left[ \hat{L},H \right]+\left[ \hat{L},H \right]\hat{L}\Rightarrow \left[ {{{\hat{L}}}^{2}},H \right]=0\Rightarrow \left[ {{{\hat{L}}}_{j}},H \right]=0</math> | | Wegen <math>\left[ {{{\hat{L}}}^{2}},H \right]=\hat{L}\left[ \hat{L},H \right]+\left[ \hat{L},H \right]\hat{L}\Rightarrow \left[ {{{\hat{L}}}^{2}},H \right]=0\Rightarrow \left[ {{{\hat{L}}}_{j}},H \right]=0</math> |
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| Sei V(r ) im Folgenden kugelsymmetrisch. | | Sei V(r) im Folgenden kugelsymmetrisch. |
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| Dann gibt es gemeinsame Eigenzustände von <math>H</math> | | Dann gibt es gemeinsame Eigenzustände von <math>H</math> |
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| und<math>\bar{L}</math> | | und<math>\bar{L}</math> |
| | . |
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| .
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| ( H läßt sich als L² darstellen ( siehe im Folgenden !) und mit L² vertauscht immer nur eine Komponente, die anderen nicht, da ja die Komponenten des Drehimpulses untereinander nicht vertauschen !) | | (H läßt sich als L² darstellen (siehe im Folgenden!) und mit L² vertauscht immer nur eine Komponente, die anderen nicht, da ja die Komponenten des Drehimpulses untereinander nicht vertauschen!) |
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| Wegen | | Wegen |
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| können wir gemeinsame Eigenzustände zu <math>H</math> | | können wir gemeinsame Eigenzustände zu <math>H</math> |
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| ,<math>{{\hat{L}}^{2}}</math>
| | <math>{{\hat{L}}^{2}}</math> |
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| und <math>{{\hat{L}}_{3}}</math> | | und <math>{{\hat{L}}_{3}}</math> |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| Summationskonvention !! | | Summationskonvention!! |
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| Es folgt: | | Es folgt: |
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| :<math>\frac{\partial }{\partial r}=\frac{\partial {{x}_{j}}}{\partial r}{{\partial }_{j}}=\frac{{{x}_{j}}}{r}{{\partial }_{j}}</math> | | :<math>\frac{\partial }{\partial r}=\frac{\partial {{x}_{j}}}{\partial r}{{\partial }_{j}}=\frac{{{x}_{j}}}{r}{{\partial }_{j}}</math> |
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| Wobei der letzte Zusammenhang natürlich nur für die obigen Vektorkomponenten gilt ! | | Wobei der letzte Zusammenhang natürlich nur für die obigen Vektorkomponenten gilt! |
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| Somit: | | Somit: |
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| :<math>\left( \bar{r}\cdot \bar{p} \right)\left[ \left( \bar{r}\cdot \bar{p} \right)+\frac{\hbar }{i} \right]\Psi (r,\vartheta ,\phi )==-{{\hbar }^{2}}\frac{\partial }{\partial r}\left( {{r}^{2}}\frac{\partial \Psi }{\partial r} \right)</math> | | :<math>\left( \bar{r}\cdot \bar{p} \right)\left[ \left( \bar{r}\cdot \bar{p} \right)+\frac{\hbar }{i} \right]\Psi (r,\vartheta ,\phi )==-{{\hbar }^{2}}\frac{\partial }{\partial r}\left( {{r}^{2}}\frac{\partial \Psi }{\partial r} \right)</math> |
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| '''Also: ( Im quantenmechanischen Fall sei '''<math>\bar{r}=\hat{\bar{r}},\bar{p}=\hat{\bar{p}}</math> | | '''Also: (Im quantenmechanischen Fall sei '''<math>\bar{r}=\hat{\bar{r}},\bar{p}=\hat{\bar{p}}</math> |
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| :<math>\frac{{{p}^{2}}}{2m}\Psi (r,\vartheta ,\phi )=\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\frac{1}{r}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{r}^{2}}}\left( r\Psi \right)+\frac{{{L}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}\Psi </math> | | :<math>\frac{{{p}^{2}}}{2m}\Psi (r,\vartheta ,\phi )=\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\frac{1}{r}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{r}^{2}}}\left( r\Psi \right)+\frac{{{L}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}\Psi </math> |
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| :<math>\frac{{{p}^{2}}}{2m}=\frac{{{p}_{r}}^{2}}{2m}+\frac{{{L}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}</math> | | :<math>\frac{{{p}^{2}}}{2m}=\frac{{{p}_{r}}^{2}}{2m}+\frac{{{L}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}</math> |
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| Nachrechnen ! | | Nachrechnen! |
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| '''Ortsdarstellung von L²:''' | | '''Ortsdarstellung von L²:''' |
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| :<math>\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta \Psi +V\Psi =E\Psi </math> | | :<math>\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta \Psi +V\Psi =E\Psi </math> |
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| ´ auf Kugelkoordinaten ( Laplace- Operator in Kugelkoordinaten ausdrücken !) | | ´ auf Kugelkoordinaten (Laplace- Operator in Kugelkoordinaten ausdrücken!) |
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| <u>'''Lösung der Schrödingergleichung durch Separationsansatz:'''</u> | | <u>'''Lösung der Schrödingergleichung durch Separationsansatz:'''</u> |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| ( Laguerre Differenzialgleichung !) | | (Laguerre Differenzialgleichung!) |
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| Dabei wird <math>\frac{{{\hbar }^{2}}l(l+1)}{2m{{r}^{2}}}</math> | | Dabei wird <math>\frac{{{\hbar }^{2}}l(l+1)}{2m{{r}^{2}}}</math> |
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| :<math>{{d}^{2}}\left( rR \right)=d\left( R+rdR \right)=2dR+r{{d}^{2}}R</math> | | :<math>{{d}^{2}}\left( rR \right)=d\left( R+rdR \right)=2dR+r{{d}^{2}}R</math> |
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| für ein Differenzial entlang der Radiusvariable ! | | für ein Differenzial entlang der Radiusvariable! |
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| '''Bindungszustände im anziehenden Zentralpotenzial:''' | | '''Bindungszustände im anziehenden Zentralpotenzial:''' |
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| Es existieren für ein anziehendes Potenzial <math>V(r)</math> | | Es existieren für ein anziehendes Potenzial <math>V(r)</math> |
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| , also negatives Potenzial wie im 1dimensionalen Fall grundsätzlich endlich oder unendlich viele gebundene Zustände. Dabei sind es unendlich viele für <math>\alpha <2</math>
| | also negatives Potenzial wie im 1dimensionalen Fall grundsätzlich endlich oder unendlich viele gebundene Zustände. Dabei sind es unendlich viele für <math>\alpha <2</math> |
| | | , |
| , ansonsten nur endlich viele ( Potenzialtopf !). Bei Kugelsymmetrie des Potenzialtopfs existiert immer mindestens EIN gebundener Zustand !
| | ansonsten nur endlich viele (Potenzialtopf!). Bei Kugelsymmetrie des Potenzialtopfs existiert immer mindestens EIN gebundener Zustand! |
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| Dabei existiert eine Serie <math>{{E}_{nl}}</math> | | Dabei existiert eine Serie <math>{{E}_{nl}}</math> |
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| n=0,1,2,3,... usw... zu jedem l < n | | n=0,1,2,3,... usw... zu jedem l < n |
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| Jeder Zustand ist dabei bezüglich m (m=-l,...,+l ) 2l+1 fach entartet. | | Jeder Zustand ist dabei bezüglich m (m=-l,...,+l ) 2l+1 fach entartet. |
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| Also: es existieren endlich oder unendlich viele <math>{{E}_{nl}}</math> | | Also: es existieren endlich oder unendlich viele <math>{{E}_{nl}}</math> |
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| mit jeweils <math>2l+1</math> | | mit jeweils <math>2l+1</math> |
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| facher Entartung. Voraussetzung: Am Ursprung muss die Zentrifugalbarriere dominieren ! | | facher Entartung. Voraussetzung: Am Ursprung muss die Zentrifugalbarriere dominieren! |
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| '''Zusammenfassung Kugelsymmetrsiche Potenziale:''' | | '''Zusammenfassung Kugelsymmetrsiche Potenziale:''' |
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| und H mit <math>{{L}^{2}},{{L}_{j}}</math> | | und H mit <math>{{L}^{2}},{{L}_{j}}</math> |
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| .
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| Also existieren gemeinsame Eigenzustände zu <math>H</math> | | Also existieren gemeinsame Eigenzustände zu <math>H</math> |
| | , |
| | <math>{{L}^{2}},{{L}_{3}}</math> |
| | . |
| | Es ist möglich, einen Operator, z.B. den Hamiltonian durch diese Größen auszudrücken |
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| ,<math>{{L}^{2}},{{L}_{3}}</math>
| | ALSO: Schreibe die vertauschenden Operatoren auf! |
| | |
| . Es ist möglich, einen Operator, z.B. den Hamiltonian durch diese Größen auszudrücken
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| ALSO: Schreibe die vertauschenden Operatoren auf ! | |
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| Wir haben jedoch gesehen, dass | | Wir haben jedoch gesehen, dass |
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| :<math>\Leftrightarrow \hat{L}\times \hat{L}=i\hbar \hat{L}</math> | | :<math>\Leftrightarrow \hat{L}\times \hat{L}=i\hbar \hat{L}</math> |
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| ALSO: Schreibe die Quantisierungsbedingungen ( Kommutatoren ) auf ! | | ALSO: Schreibe die Quantisierungsbedingungen (Kommutatoren) auf! |
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| Wir haben als Leiteroperatoren: | | Wir haben als Leiteroperatoren: |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| ALSO: Suche einen vollständigen Satz vertauschbarer Operatoren ! | | ALSO: Suche einen vollständigen Satz vertauschbarer Operatoren! |
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| Durch die Untersuchung der Wirkung von Produkten von Operatoren kann dann das Eigenwertproblem eingegrenzt oder sogar gelöst werden. | | Durch die Untersuchung der Wirkung von Produkten von Operatoren kann dann das Eigenwertproblem eingegrenzt oder sogar gelöst werden. |
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| Direkt aus der Existenz gemeinsamer Eigenzustände zu <math>H</math> | | Direkt aus der Existenz gemeinsamer Eigenzustände zu <math>H</math> |
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| ,<math>{{L}^{2}},{{L}_{3}}</math>
| | <math>{{L}^{2}},{{L}_{3}}</math> |
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| kann man den Hamiltonian zusammenstellen: | | kann man den Hamiltonian zusammenstellen: |
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| :<math>{{p}_{r}}^{2}\ne \frac{{{\left( \bar{r}\cdot \bar{p} \right)}^{2}}}{{{r}^{2}}}</math> | | :<math>{{p}_{r}}^{2}\ne \frac{{{\left( \bar{r}\cdot \bar{p} \right)}^{2}}}{{{r}^{2}}}</math> |
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| ( klassisch) | | (klassisch) |
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| Es ergibt sich die Schrödingergleichung: | | Es ergibt sich die Schrödingergleichung: |
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| & {{V}_{1}}(x)=\infty \ x\le 0 \\ | | & {{V}_{1}}(x)=\infty \ x\le 0 \\ |
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| Vergleiche: Harmonischer Oszi ! | | Vergleiche: Harmonischer Oszi! |
| Symmetrische Fortsetzung des Potenzials <math>{{V}_{s}}</math> | | Symmetrische Fortsetzung des Potenzials <math>{{V}_{s}}</math> |
| : | | : |
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| Fazit: Der Grundzustand von <math>{{V}_{1}}</math> | | Fazit: Der Grundzustand von <math>{{V}_{1}}</math> |
| entspricht dem ersten angeregten Zustand von <math>{{V}_{s}}</math> | | entspricht dem ersten angeregten Zustand von <math>{{V}_{s}}</math> |
| ( radialsymmetrisches Potenzial der Schrödingergleichung). | | (radialsymmetrisches Potenzial der Schrödingergleichung). |
| Es gilt: Das eindimensionale symmetrische Potenzial besitzt mindestens einen Bindungszustand ! | | Es gilt: Das eindimensionale symmetrische Potenzial besitzt mindestens einen Bindungszustand! |
| Dreidimensionale Potenziale besitzen dagegen nicht immer Bindungszustände. | | Dreidimensionale Potenziale besitzen dagegen nicht immer Bindungszustände. |
Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Kugelsymmetrische Potentiale basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 3) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Allgemein:
mit j,k,l zyklisch
Analog:
Damit folgt jedoch für die gesamten Vektoren:
j=1,2,3
,
falls
Also
mit Zentralpotenzial V(r)
Theorem
Für alle rotationssymmetrischen Hamiltonoperatoren gilt:
Und der Drehimpuls ist eine Erhaltungsgröße, also
Analogie in der KLASSISCHEN Mechanik:
Im Zentralpotenzial ist der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße
Tieferer Grund:
ist die Erzeugende infinitesimaler Drehungen
Wegen
Sei V(r) im Folgenden kugelsymmetrisch.
Dann gibt es gemeinsame Eigenzustände von
und
für jedes j aber nicht zu
und
.
(H läßt sich als L² darstellen (siehe im Folgenden!) und mit L² vertauscht immer nur eine Komponente, die anderen nicht, da ja die Komponenten des Drehimpulses untereinander nicht vertauschen!)
Wegen
können wir gemeinsame Eigenzustände zu
,
und
finden.
Zusammenhang zwischen
und
Summationskonvention!!
Es folgt:
Somit:
Klassisch:
Ortsdarstellung in Kugelkoordinaten
Die Differenziale transformieren sich dabei folgendermaßen:
Wobei der letzte Zusammenhang natürlich nur für die obigen Vektorkomponenten gilt!
Somit:
wegen
Operator der kinetischen Energie:
Alternativ:
Also: (Im quantenmechanischen Fall sei
einen einfachen Ausdruck hätte man auch erhalten, indem man einfach Laplace, also
in Kugelkoordinaten schreibt
Es gilt für den Operator der kinetischen Energie
Laplaceoperator in Kugelkoordinaten:
Schrödingergleichung für
In Analogie zur klassischen Hamiltonfunktion identifiziert man
als Radialimpuls- Operator
mit der Vertauschungsrelation:
Es gilt:
Nachrechnen!
Ortsdarstellung von L²:
Nebenbemerkung:
H erhält man auch direkt durch die Transformation von
´ auf Kugelkoordinaten (Laplace- Operator in Kugelkoordinaten ausdrücken!)
Lösung der Schrödingergleichung durch Separationsansatz:
mit
Also:
(Laguerre Differenzialgleichung!)
Dabei wird
analog zur klassischen Mechanik als Zentrifugalpotenzial bezeichnet
Im Endeffekt können wir von einer radialen Schrödingergelichung mit einem effektiven Potenzial sprechen:
Merke als Kurzform für Differenziale:
für ein Differenzial entlang der Radiusvariable!
Bindungszustände im anziehenden Zentralpotenzial:
Sei
mit
Also: dominiere das Zentrifugalpotenzial gegenüber V für r→ 0,
so gilt:
Es existieren für ein anziehendes Potenzial
,
also negatives Potenzial wie im 1dimensionalen Fall grundsätzlich endlich oder unendlich viele gebundene Zustände. Dabei sind es unendlich viele für
,
ansonsten nur endlich viele (Potenzialtopf!). Bei Kugelsymmetrie des Potenzialtopfs existiert immer mindestens EIN gebundener Zustand!
Dabei existiert eine Serie
n=0,1,2,3,... usw... zu jedem l < n
Jeder Zustand ist dabei bezüglich m (m=-l,...,+l ) 2l+1 fach entartet.
Also: es existieren endlich oder unendlich viele
zu jedem
mit jeweils
facher Entartung. Voraussetzung: Am Ursprung muss die Zentrifugalbarriere dominieren!
Zusammenfassung Kugelsymmetrsiche Potenziale:
Jeweils vertauschbar sind:
mit
und H mit
.
Also existieren gemeinsame Eigenzustände zu
,
.
Es ist möglich, einen Operator, z.B. den Hamiltonian durch diese Größen auszudrücken
ALSO: Schreibe die vertauschenden Operatoren auf!
Wir haben jedoch gesehen, dass
ALSO: Schreibe die Quantisierungsbedingungen (Kommutatoren) auf!
Wir haben als Leiteroperatoren:
nicht hermitesch
mit
nicht hermitesch. Es handelt sich also um Leiteroperatoren für die magnetische Quantenzahl.
ALSO: Suche einen vollständigen Satz vertauschbarer Operatoren!
Durch die Untersuchung der Wirkung von Produkten von Operatoren kann dann das Eigenwertproblem eingegrenzt oder sogar gelöst werden.
Der Bahndrehimpulsoperator kann zusammengesetzt werden:
Das Spektrum ist einzuschränken:
Schließlich kann eine Wellenfunktion in der Ortsdarstellung angegeben werden:
als Separationsansatz.
Direkt aus der Existenz gemeinsamer Eigenzustände zu
,
kann man den Hamiltonian zusammenstellen:
Dabei:
(klassisch)
Es ergibt sich die Schrödingergleichung:
als radiale Schrödingergleichung mit dem Zentrifugalpotenzial
und dem effektiven Potenzial
Der Separationsansatz liefert den Zustand als Produkt:
Aus der Normierbarkeit
folgt:
Asymptotisches Verhalten für
Verhalten für
Ansatz:
Jedoch ist
nicht zulässig, da
singulär an der Stelle r=0
Es ist notwendig, dass
Nebenbemerkung:
Für l=0 ist die radiale Schrödingergleichung
mit
äquivalent zur eindimensionalen Schrödingergleichung mit
Vergleiche: Harmonischer Oszi!
Symmetrische Fortsetzung des Potenzials
Nur die antisymmetrischen Eigenzustände von
sind auch Eigenzustände von
Fazit: Der Grundzustand von
entspricht dem ersten angeregten Zustand von
(radialsymmetrisches Potenzial der Schrödingergleichung).
Es gilt: Das eindimensionale symmetrische Potenzial besitzt mindestens einen Bindungszustand!
Dreidimensionale Potenziale besitzen dagegen nicht immer Bindungszustände.