Quantenmechanikvorlesung von Brandes
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Der Artikel Klein Gordon Gleichung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 1) der Quantenmechanikvorlesung von Brandes.
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LITERATUR: SKRIPT FREDENHAGEN QMII, HAMBURG
Ein quantenmechanisches WellenpaketWellenpaket hat die Form
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((1.1))
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wobei d die Raumdimension angibt.
Nach Schrödinger (nicht relativistisch)
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((1.2))
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was auf die SchrödingergleichungSchrödingergleichung:freies Teilchen
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((1.3))
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führt.
Relativistisch (SRT) gilt
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((1.4))
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wegen und .
Ab jetzt gilt .
Mit (1.4) erfüllt Ψ jetzt die Klein-Gordon-Gleichung:
Klein-Gordon-Gleichung
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((1.5))
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Es gilt die (AUFGABE)
KontinuitätsgleichungKontinuitätsgleichung
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((1.6))
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mit
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((1.7))
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Dabei ist die Stromdichte () wie in der Schrödingergleichung; allerdings ist ρ im allgemeinen nicht positiv!
Allerdings gilt
für.
Diskurssion:
- Klein-Gordon-Gleichung ist eine hyperbolische Differentialgeleichung wie die Wellengleichung.
- Auch ein Wellenpaket mit erfüllt die Klein-Gordon-Gleichung jedoch stellt dies ein Interpretationsproblem dar, da es sich um Teilchen mit negativer Energie handeln müsste.
- Klein-Gordon-Gleichung ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung von t und somit ist das dazugehörige Anfangswertproblem () nur lösbar bei zusätzlicher Angabe von.
- Schreibweise
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((1.8))
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mit der Compton-WellenlängeCompton-Wellenlänge als charakteristische Längenskala.
Hier ist der d’Alambert-Operatord’Alambert-Operator.