|
|
Zeile 13: |
Zeile 13: |
| wobei d die Raumdimension angibt. | | wobei d die Raumdimension angibt. |
|
| |
|
| Nach Schrödinger (nicht relativistisch
| | |
| {{NumBlk|:|) | | {{NumBlk|:|Nach Schrödinger (nicht relativistisch) |
|
| |
|
| <math>\omega \left( \underline{k} \right)=\frac{{{k}^{2}}}{2m}\quad \text{mit }\hbar =1</math> | | <math>\omega \left( \underline{k} \right)=\frac{{{k}^{2}}}{2m}\quad \text{mit }\hbar =1</math> |
Zeile 36: |
Zeile 36: |
| wegen <math>E=\sqrt{{{m}^{2}}{{c}^{4}}+{{{\underline{p}}}^{2}}{{c}^{2}}}</math> und <math>\underline{p}=\hbar k</math>. | | wegen <math>E=\sqrt{{{m}^{2}}{{c}^{4}}+{{{\underline{p}}}^{2}}{{c}^{2}}}</math> und <math>\underline{p}=\hbar k</math>. |
|
| |
|
| Ab jetzt gilt <math>c=1</math>. | | <u>Ab jetzt gilt <math>c=1</math>.</u> |
|
| |
|
| Mit (1.4) erfüllt Ψ jetzt die {{FB|Klein-Gordon-Gleichung}}: | | Mit (1.4) erfüllt Ψ jetzt die {{FB|Klein-Gordon-Gleichung}}: |
Version vom 5. September 2010, 12:03 Uhr
Quantenmechanikvorlesung von Brandes
|
Der Artikel Klein Gordon Gleichung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 1) der Quantenmechanikvorlesung von Brandes.
|
Ein quantenmechanisches Wellenpaket hat die Form
|
|
|
((1.1))
|
wobei d die Raumdimension angibt.
Nach Schrödinger (nicht relativistisch)
|
|
|
((1.2))
|
was auf die Schrödingergleichung
|
|
|
((1.3))
|
führt.
Relativistisch (SRT) gilt
|
|
|
((1.4))
|
wegen und .
Ab jetzt gilt .
Mit (1.4) erfüllt Ψ jetzt die Klein-Gordon-Gleichung:
Klein-Gordon-Gleichung
|
|
|
((1.5))
|
Es gilt die (AUFGABE)
Kontinuitätsgleichung
|
|
|
((1.6))
|
mit
|
|
|
((1.7))
|
Dabei ist die Stromdichte () wie in der Schrödingergleichung; allerdings ist ρ im allgemeinen nicht positiv!
Allerdings gilt
- für.
Diskurssion:
- Klein-Gordon-Gleichung ist eine hyperbolische Differentialgeleichung wie die Wellengleichung.
- Auch ein Wellenpaket mit erfüllt die Klein-Gordon-Gleichung jedoch stellt dies ein Interpretationsproblem dar, da es sich um Teilchen mit negativer Energie handeln müsste.
- Klein-Gordon-Gleichung ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung von t und somit ist das dazugehörige Anfangswertproblem () nur lösbar bei zusätzlicher Angabe von.
- Schreibweise
|
|
|
((1.8))
|
mit der Compton-Wellenlänge als charakteristische Längenskala.
Hier ist der d’Alambert-Operator.
Literatur
LITERATUR: SKRIPT FREDENHAGEN QMII, HAMBURG