Klein Gordon Gleichung: Unterschied zwischen den Versionen
Zur Navigation springen
Zur Suche springen
Keine Bearbeitungszusammenfassung |
Keine Bearbeitungszusammenfassung |
||
Zeile 13: | Zeile 13: | ||
wobei d die Raumdimension angibt. | wobei d die Raumdimension angibt. | ||
{{NumBlk|:| | Nach Schrödinger (nicht relativistisch | ||
{{NumBlk|:|) | |||
<math>\omega \left( \underline{k} \right)=\frac{{{k}^{2}}}{2m}\quad \text{mit }\hbar =1</math> | <math>\omega \left( \underline{k} \right)=\frac{{{k}^{2}}}{2m}\quad \text{mit }\hbar =1</math> | ||
Zeile 45: | Zeile 46: | ||
: |(1.5)|Border=1}} | : |(1.5)|Border=1}} | ||
Es gilt die <font color="# | Es gilt die <font color="#3399FF">'''''(AUFGABE)'''''</FONT> | ||
{{NumBlk|:| | {{NumBlk|:|{{FB|Kontinuitätsgleichung}} | ||
<math>{{\partial }_{t}}\rho +\nabla .\underline{j}=0</math> | <math>{{\partial }_{t}}\rho +\nabla .\underline{j}=0</math> | ||
Zeile 70: | Zeile 71: | ||
Allerdings gilt | Allerdings gilt | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \int{\rho \left( \underline{x},t \right){{d}^{d}}\underline{x}}={{\left( \frac{1}{2\pi } \right)}^{d}}\frac{1}{m}\int{\int{\int{{{\varphi }^{*}}\left( {\underline{k}} \right)\varphi \left( {{\underline{k}}'} \right){{e}^{i\left( \underline{k}-{\underline{k}}' \right)\underline{x}}}\omega \left( {{\underline{k}}'} \right){{d}^{d}}x}{{d}^{d}}k}{{d}^{d}}{k}'} \\ | & \int{\rho \left( \underline{x},t \right){{d}^{d}}\underline{x}}={{\left( \frac{1}{2\pi } \right)}^{d}}\frac{1}{m}\int{\int{\int{{{\varphi }^{*}}\left( {\underline{k}} \right)\varphi \left( {{\underline{k}}'} \right){{e}^{i\left( \underline{k}-{\underline{k}}' \right)\underline{x}}}\omega \left( {{\underline{k}}'} \right){{d}^{d}}x}{{d}^{d}}k}{{d}^{d}}{k}'} \\ | ||
Zeile 84: | Zeile 85: | ||
<math>\left( \square +\frac{{{m}^{2}}{{c}^{2}}}{{{\hbar }^{2}}} \right)\Psi =0</math> | <math>\left( \square +\frac{{{m}^{2}}{{c}^{2}}}{{{\hbar }^{2}}} \right)\Psi =0</math> | ||
: |(1.8)}} | : |(1.8)}} | ||
mit <math>\frac{\hbar }{mc}</math>der | mit <math>\frac{\hbar }{mc}</math>der {{FB|Compton-Wellenlänge}} als charakteristische Längenskala. | ||
Hier ist <math>\square ={{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }}={{c}^{-2}}\partial _{t}^{2}-\Delta </math> der | Hier ist <math>\square ={{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }}={{c}^{-2}}\partial _{t}^{2}-\Delta </math> der {{FB|d’Alambert-Operator}}. | ||
==Literatur== | ==Literatur== | ||
<FONT COLOR="#FFBF00">'''LITERATUR: SKRIPT FREDENHAGEN QMII, HAMBURG'''</FONT> | <FONT COLOR="#FFBF00">'''LITERATUR: SKRIPT FREDENHAGEN QMII, HAMBURG'''</FONT> |
Version vom 5. September 2010, 12:00 Uhr
Quantenmechanikvorlesung von Brandes
Der Artikel Klein Gordon Gleichung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 1) der Quantenmechanikvorlesung von Brandes. |
Klein Gordon Gleichung | ||
---|---|---|
Ein quantenmechanisches Wellenpaket hat die Form
((1.1))
wobei d die Raumdimension angibt.
Nach Schrödinger (nicht relativistisch
) ((1.2))
was auf die Schrödingergleichung
((1.3))
führt.
Relativistisch (SRT) gilt
((1.4))
wegen und .
Ab jetzt gilt .
Mit (1.4) erfüllt Ψ jetzt die Klein-Gordon-Gleichung:
Klein-Gordon-Gleichung ((1.5))
Es gilt die (AUFGABE)
Kontinuitätsgleichung ((1.6))
mit
((1.7))
Dabei ist die Stromdichte () wie in der Schrödingergleichung; allerdings ist ρ im allgemeinen nicht positiv!
Allerdings gilt
- für.
Diskurssion:
- Klein-Gordon-Gleichung ist eine hyperbolische Differentialgeleichung wie die Wellengleichung.
- Auch ein Wellenpaket mit erfüllt die Klein-Gordon-Gleichung jedoch stellt dies ein Interpretationsproblem dar, da es sich um Teilchen mit negativer Energie handeln müsste.
- Klein-Gordon-Gleichung ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung von t und somit ist das dazugehörige Anfangswertproblem () nur lösbar bei zusätzlicher Angabe von.
- Schreibweise
((1.8))
mit der Compton-Wellenlänge als charakteristische Längenskala. Hier ist der d’Alambert-Operator.
Literatur
LITERATUR: SKRIPT FREDENHAGEN QMII, HAMBURG