Kerndrehimpulse und elektromagnetische Kernmomente: Unterschied zwischen den Versionen
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Die Bedeutung der Entwicklungskoeffizienten | :<math>P_1 = cos \theta \quad P_n(\theta = 0) = 1 \quad P_2 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \cos^ 2 \theta</math> | ||
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Die Bedeutung der Entwicklungskoeffizienten <math>a_n</math> erkennt man durch direkte Berechnung des Potentials auf der z-Achse, also für <math>e = 0</math> und Koeffizientenvergleich: | |||
:<math>\phi(r,\theta=0) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \frac{1}{r^{n+1}} 1</math> | |||
oder direkt berechnet | oder direkt berechnet | ||
:<math>\phi(r,\theta=0)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int\frac{\rho(r')d\tau}{|r-r'|}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int\frac{\rho(r')r'^{n}}{r^{n+1}}\frac{1}{r^{n+1}}P_{n}\cos(\alpha)d\tau</math> mit <math>\frac{1}{|r-r'|}=\sum\limits _{n=0}^{\infty}a_{n}\frac{1}{r^{n+1}}P_{n}\cos(\alpha)</math>. | |||
:<math>a_n=\int {\rho(r')r'^{n}}P_{n}\cos(\alpha) d \tau</math> | |||
;n=0:<math>a_0=\int \rho(r') d \tau= Z e</math> Punktladung | |||
;n=1:<math>a_1=\int \rho(r')r'\cos(\alpha) d \tau =0 </math> elektrisches Dipolmoment in <math>z= r'\cos(\alpha)</math>-Richtung (=0 da Kernkräfte die Parität erhalten) | |||
n = 0 | ;n=2:<math>a_{2}=\int\rho(r')r'^{2}\left(-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\cos^{2}\alpha\right)=\frac{1}{2}\int\rho(r')(3z^{2}-r'^{2})d\tau\equiv\frac{1}{2}eQ</math> | ||
n = 1 | |||
n = 2 az =Jp(r'"') or,z(-i + 3 cosZa)dr | n = 2 az =Jp(r'"') or,z(-i + 3 cosZa)dr |
Version vom 27. Mai 2011, 12:48 Uhr
Der Artikel Kerndrehimpulse und elektromagnetische Kernmomente basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 5.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann. |
Die Abfrage enthält eine leere Bedingung.
Der Kerndrehimpuls I setzt sich aus den Bahndrehimpulsen und
Spins der elnzelnen Nukleonen zusammen. . Bahndrehimpulse
als Erhaltungsgrößen setzen ein Zentralpotential voraus, in dem sich die Nukleonen praktisch frei und ohne
Stöße im Kerninneren bewegen. Diese Einteilchenvorstellung, welche die Basis des Schalenmodells (Kap. 7) ist, hat ihre Begründung darin,
daß die Nukleonen als Fermionen im Grundzustand alle nach dem Pauli-Prinzip erlaubten Zustände besetzen, so daß es keine "Stöße"
gibt und die Nukleonen quasi als freie Teilchen auftreten.
Bahndrehimpuls
Operatorenzuordnung , Separation der Wellenfunktionen
in Radial- und Winkelteil. Die sphärischen Kugelfunktionen sind die Eigenfunktionen von und mit den Eigenwerten und .
1 = 0, I, 2, 3, 4, ...
s, p, d, f, g spektr. Bezeichnung
m = -1, ... 0, ... +1 Einstellmöglichkeiten
Spin
Ergebnis der relat. Quantenmechanik (Diractheorie). Halbzahlige Spin-Teilchen (z.B. n, p, e, ... ) sind Fermionen, deren Wellenfunktionen bei Teilchentausch sich anti symmetrisch verhalten (Pauli-Prinzip). Im Gegensatz dazu sind ganzteilige Spin-Teilchen (einschließlich s = 0) Bosonen, (z.B. d, , Photonen, Pionen) mit bei Teilchentausch symmetrischen Wellenfunktionen. Unterschiedliche Statistik.
Gesamtdrehimpuls
Gesamtdrehimpuls eines einzelnen Nukleons ~ "parallel" oder"antiparallel"
Bei mehreren Nukleonen gibt es verschiedene Kopplungsmöglichkeiten,
wie beispielsweise in der Atomphysik die LS-Kopplung mit
oder die jj-Kopplung mit
.
Experimentelle Ergebnisse für die Kerndrehimpulse I:
(g, g) I = 0 (im Grundzustand)
(u, g) , (g, u) I = 1/2, 3/2, 5/2, ...
(u, u) = 0, 1, 2, 3, ...
Neigung der Protonen und Neutronen, sich jeweils paarweise durch "Antiparallelstellung" der Einzeldrehimpulse mit bzw. zu kompensieren.
Folgerung für (u, g)- und (g, u)-Kerne
d. h. 1(u, g) = Einzeldrehimpuls des letzten ungepaarten Protons Entsprechend Einzeldrehimpuls des letzten ungepaarten Neutrons.
Magnetisches Kerndipolmoment µI
Mit dem Bahndrehimpuls und Spin der Nukleonen sind magnetische Dipolmomente verbunden.
Bahn
a) Bahn~ ~ magn. Dipolmoment = c^{-1} Strome Fläche with
- Bohrsches Magneton
- Elektron
- Kernmagneton
- Proton
Spin
b) Spin Für -Teilchen erwartet man in Analogie zum Bahnbeitrag
- Falsch!
Experimentell gilt allgemein
- g-Faktor
Dabei ist für das Elektron nach der Diractheorie bis auf
kleinere quantenelektrodynamische Korrekturen bestätigt. Für Proton
und Neutron erwartet man deshalb und (wegen fehlender
Ladung). Die gemessenen Werte und jedoch, daß die Nukleonen keine einfachen "Punkt-Teilchen" zeigen
sind.
Die magnetischen Kerndipolmomente für (g, u)- und (u,g)-Kerne lassen sich (zumindest für leichte Kerne) näherungsweise auf den des letzten ungepaarten Nukleons zurückführen (Schmidt-Modell).
Elektrisches Kernquadrupolmoment Q
Q gibt Abweichung von der Kugelgestalt wieder
Potential \phi für p im Außenraum
Die Bedeutung der Entwicklungskoeffizienten erkennt man durch direkte Berechnung des Potentials auf der z-Achse, also für und Koeffizientenvergleich:
oder direkt berechnet
- mit .
- n=0
- Punktladung
- n=1
- elektrisches Dipolmoment in -Richtung (=0 da Kernkräfte die Parität erhalten)
- n=2
n = 2 az =Jp(r'"') or,z(-i + 3 cosZa)dr
T
= i Jp("1')(3Z Z - r'Z)dr
def = "12" e Q
Bei konstanter Ladungsverteilung P = ~
Größenordnung: Q ~ 7rRz ~ 10-Z8 mZ (lb)
Vorzeichen:
r
Q > 0
Zigarre
r
Q = 0
Kugel
xZ= yZ = zZ =
- 17 -
Messung von Kernmomenten
V
· Messung von Kernmomenten geschieht durch die Messung von EnerDle
ufspaltungen, die durch die Wechselwirkung der Kernmomente mit
qiea
oder inneratomaren elektromagnetischen Feldern verursacht
liußeren
werden.
a) äußere Felder: Kernspinresonanzmethode
Larmorpräzession ~wo = (!t~o)
Größenordnung V o = wo/27r = /LKB/ h
1: = 7,6 MHzoB[T]
Zusätzliches zirkulares Wechselfeld Bloeiwt ~ Bo induziert Übergänge
f ür w "" wo'
E m
induzierte Absorption und Emission:
3 Netto-Energieübertrag nur bei unter"
2"
schiedlicher Besetzung der Zeeman1
Niveaus durch Boltzmann-Verteilung "2"
I = 3 im Festkörper. Boltzmann-Faktor N1/Nz 1
1 = exp(-ßE/kT) ~ 1 -ßE/kT für ßE/kT«1
-"2"
Größenordnung z.B. /LI ~ /LK' Bo = 1 T,
3 T = 300 K;
-"2" So10-Z7J
ßE/kT = /LKBO/kT = 1,3 0 10-23o 300J
~Bo "" 10-6
b) inneratomare Felder der Hüllenelektronen: Hyperfeinstrukturaufspaltung
durch Kopplung von Hüllendrehimpuls J und Kernspin I
zu einem Gesamtdrehimpuls 1 = I + J
1. magnetische HFS
~= (/tl oB) = /LI oB -4 -4 o (I oJ)
roJ
ist deshalb Q= ~J(3ZZ-r'2) dr
r
Q < 0
Pfannkuche