Freie Wellenausbreitung im Vakuum

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Freie Wellenausbreitung im Vakuum basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 1) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Freie Wellenausbreitung im Vakuum	Elektromagnetische Wellen	Elektrodynamik Schöll
	Freie Wellenausbreitung im Vakuum Retardierte Potenziale Multipolstrahlung Wellenoptik und Beugung	Elektrostatik Stationäre Ströme und Magnetfeld Die Maxwell-Gleichungen Elektromagnetische Wellen Materie in elektrischen und magnetischen Feldern Relativistische Formulierung der Elektrodynamik

Betrachte einen Raumbereich ohne Quellen:

$\rho =0$

${\bar {j}}=0$

Damit:

$\#\Phi =-{\frac {1}{{\varepsilon }_{0}}}\rho =0\Rightarrow \#\Phi =0$

$\#{\bar {A}}=-{{\mu }_{0}}{\bar {j}}=0\Rightarrow \#{\bar {A}}=0$

Dies sind die homogenen Wellengleichungen in Lorentz- Eichung

Wegen

${\begin{aligned}&{\bar {E}}=-\nabla \Phi \left({\bar {r}},t\right)-{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\\&{\bar {B}}=\nabla \times {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\\\end{aligned}}$

gilt auch

${\begin{aligned}&\#{\bar {E}}=0\\&\#{\bar {B}}=0\\\end{aligned}}$

Dies folgt auch direkt aus

${\begin{aligned}&\nabla \times {\bar {B}}={{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}{\dot {\bar {E}}}\\&\nabla \times {\bar {E}}=-{\dot {\bar {B}}}\\&\Rightarrow mit\quad \nabla \cdot {\bar {E}}=0\\&\left(\Delta -{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{t}^{2}}}}\right){\bar {E}}=0\\\end{aligned}}$

Allgemeine Lösung von $u({\bar {r}},t)=0$

$u({\bar {r}},t)=F({\bar {k}}{\bar {r}}-\varpi t)$

mit einer beliebigen , zweifach diffbaren Funktion $F(\phi )$ und $\varpi =c\left|{\bar {k}}\right|$ ( dÁlembertsche Lösung) Beweis:

$\#F({\bar {k}}{\bar {r}}-\varpi t)=\left({{\bar {k}}^{2}}-{\frac {{\varpi }^{2}}{{c}^{2}}}\right)F{\acute {\ }}{\acute {\ }}\left(\phi \right)=0$

Nebenbemerkung: $F(\phi )$ muss nicht periodisch in $\phi$ sein ! Gegenbeispiel sind solitäre Lösungen / solitäre Wellen = Solitonen :

Der Wellenvektor ${\bar {k}}$ zeigt in Ausbreitungsrichtung:

Es gilt: $\nabla \phi ({\bar {r}},t)={\bar {k}}$

Die markierten Flächen sind sogenannte Phasenflächen. Dies sind Flächen konstanter Phase:

${\bar {k}}{\bar {r}}-\varpi t=\phi ({\bar {r}},t)=const!$

Somit ergibt sich für ebene Wellen die Bedingung:

${\bar {k}}\left({\bar {r}}-{\frac {1}{{k}^{2}}}{\bar {k}}\left(\varpi t+\phi \right)\right)=0$

Die Ausbreitung der Orte konstanter Phase folgt der Bedingung:

${\bar {r}}(t)={\frac {1}{{k}^{2}}}{\bar {k}}\left(\varpi t+\phi \right)$

Somit ergibt sich die Phasengeschwindigkeit

${\begin{aligned}&{{v}_{ph}}=\left.{\frac {d{\bar {r}}(t)}{dt}}\right|_{\phi =const}^{}={\frac {\bar {k}}{{k}^{2}}}\varpi =c{\frac {\bar {k}}{k}}\\&{\frac {\bar {k}}{k}}:={\bar {n}}\\\end{aligned}}$

spezielle Lösung: Harmonische Ebene Welle

$u({\bar {r}},t)={\tilde {u}}({\bar {k}}){{e}^{i({\bar {k}}{\bar {r}}-\varpi t)}}$

mit der komplexen Amplitude

${\tilde {u}}({\bar {k}})$

Die lineare Superposition der Wellen ist wegen der Linearität möglich und lautet formal für die allgemeine Dispersionsrelation $\varpi ({\bar {k}})$

$u({\bar {r}},t)=\int _{}^{}{{{d}^{3}}k}{\tilde {u}}({\bar {k}}){{e}^{i({\bar {k}}{\bar {r}}-\varpi ({\bar {k}})t)}}$

Literatur: Vergleiche FK Brillouin, L. Wave propagation and group velocity

Sei

${\tilde {u}}({\bar {k}})$ um ${{\bar {k}}_{0}}$ herum lokalisiert:

So ergibt sich ein Wellenpaket , welches im Ortsraum lokalisiert ist !

Denn: Die Taylorentwicklung der Phase um ${{\bar {k}}_{0}}$ ergibt

${\begin{aligned}&\varpi ({\bar {k}})\approx \varpi ({{\bar {k}}_{0}})+\left({\bar {k}}-{{\bar {k}}_{0}}\right){{\nabla }_{k}}\varpi ({\bar {k}}){{\left.{}\right|}_{{\bar {k}}={{\bar {k}}_{0}}}}+{\frac {1}{2!}}{{\left({\bar {k}}-{{\bar {k}}_{0}}\right)}^{2}}{{\left({{\nabla }_{k}}\right)}^{2}}\varpi ({\bar {k}}){{\left.{}\right|}_{{\bar {k}}={{\bar {k}}_{0}}}}+...\\&{{\nabla }_{k}}\varpi ({\bar {k}}){{\left.{}\right|}_{{\bar {k}}={{\bar {k}}_{0}}}}={{\bar {v}}_{g}}\\&\varpi ({\bar {k}})\approx \varpi ({{\bar {k}}_{0}})+\left({\bar {k}}-{{\bar {k}}_{0}}\right){{\bar {v}}_{g}}\\\end{aligned}}$

Diese lineare Näherung ergibt nun gerade

${\begin{aligned}&u({\bar {r}},t)={{e}^{i({{\bar {k}}_{0}}{\bar {r}}-{{\varpi }_{0}}t)}}\int _{}^{}{{{d}^{3}}{\tilde {k}}}{\tilde {u}}({{\bar {k}}_{0}}+{\tilde {\bar {k}}}){{e}^{i{\tilde {\bar {k}}}({\bar {r}}-{{\bar {v}}_{g}}t)}}\\&{\tilde {\bar {k}}}={\bar {k}}-{{\bar {k}}_{0}}\\\end{aligned}}$

Dies ist zu interpretieren als

${{e}^{i({{\bar {k}}_{0}}{\bar {r}}-{{\varpi }_{0}}t)}}$ eine Trägerwelle mit der Phasengschwindigkeit ${{\bar {v}}_{ph}}={\frac {{\varpi }_{0}}{{k}_{0}}}$

$\int _{}^{}{{{d}^{3}}{\tilde {k}}}{\tilde {u}}({{\bar {k}}_{0}}+{\tilde {\bar {k}}}){{e}^{i{\tilde {\bar {k}}}({\bar {r}}-{{\bar {v}}_{g}}t)}}$ als Einhüllende, deren Maximum sich mit der Gruppengeschwindigkeit

${{\bar {v}}_{g}}={{\nabla }_{k}}\varpi \left({\bar {k}}\right)$ bewegt:

Wir erhalten die Dispersionsrelation $\varpi \left({\bar {k}}\right)$

elektromagnetische Wellen im Vakuum: $\varpi \left({\bar {k}}\right)=c\left|{\bar {k}}\right|\Rightarrow {{\bar {v}}_{g}}=c{\frac {\bar {k}}{\left|{\bar {k}}\right|}}={{\bar {v}}_{ph}}={\frac {1}{\sqrt {{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}}}}{\bar {n}}$

es gibt also keine Dispersion ( kein zerfließen!)

Im Gegensatz zu elektromagentischen Wellen in dispersiven Medien oder quantenmechanischen Materiewellen im Vakuum !

Polarisation

Betrachte eine elektromagnetische Welle:

${\begin{aligned}&{\bar {E}}({\bar {r}},t)={{\bar {E}}_{0}}{{e}^{i({\bar {k}}{\bar {r}}-\varpi t)}}\\&{\bar {B}}({\bar {r}},t)={{\bar {B}}_{0}}{{e}^{i({\bar {k}}{\bar {r}}-\varpi t)}}\\\end{aligned}}$

Allgemein gilt:

${\bar {E}}({\bar {r}},t)$ heißt transversal, wenn $\nabla \cdot {\bar {E}}({\bar {r}},t)=0$ ( quellenfrei)

$\Rightarrow i{\bar {k}}\cdot {\bar {E}}({\bar {r}},t)=0\Rightarrow {\bar {k}}\bot {\bar {E}}({\bar {r}},t)$

${\bar {E}}({\bar {r}},t)$ heißt longitudinal, wenn $\nabla \times {\bar {E}}({\bar {r}},t)=0$ ( wirbelfrei)

$\Rightarrow i{\bar {k}}\times {\bar {E}}({\bar {r}},t)=0\Rightarrow {\bar {k}}||{\bar {E}}({\bar {r}},t)$

Für $\rho =0$ ist wegen $\nabla \cdot {\bar {E}}({\bar {r}},t)=0$ das elektrische Feld transversal. Wegen $\nabla \cdot {\bar {B}}({\bar {r}},t)=0$ ist das magnetische Feld stets transversal !

Weiter folgt aus:

$\nabla \times {\bar {E}}({\bar {r}},t)+{\dot {\bar {B}}}=0$

dass die transversale Komponente des elektrischen Feldes durch die zeitliche Änderung des Magnetfeldes gegeben ist !

${\begin{aligned}&\nabla \times {\bar {E}}({\bar {r}},t)+{\dot {\bar {B}}}=0\\&\Rightarrow \left(i{\bar {k}}\times {{\bar {E}}_{0}}-i\varpi {{\bar {B}}_{0}}\right){{e}^{i\left({\bar {k}}{\bar {r}}-\varpi t\right)}}=0\\&\varpi =c\left|{\bar {k}}\right|\\&\Rightarrow {{\bar {B}}_{0}}={\frac {1}{c}}{\frac {\bar {k}}{\left|{\bar {k}}\right|}}\times {{\bar {E}}_{0}}:={\frac {1}{c}}{\bar {n}}\times {{\bar {E}}_{0}}\\\end{aligned}}$

Folglich bilden ${\bar {k}},{{\bar {E}}_{0}},{{\bar {B}}_{0}}$ ein Rechtssystem !

Die Richtung von $\operatorname {Re} \left\{{{\bar {E}}_{0}},{{\bar {B}}_{0}}\right\}$ legt die Polarisation fest:

Sei ${\bar {k}}||{{\bar {e}}_{3}}$ - Achse, also:

${\begin{aligned}&{{\bar {E}}_{0}}={{E}_{01}}{{\bar {e}}_{1}}+{{E}_{02}}{{\bar {e}}_{2}}\\&{{E}_{0i}}={{a}_{i}}{{e}^{i{{\delta }_{i}}}}\in C\\&{{a}_{i}},{{\delta }_{i}}\in R\\&i=1,2\\\end{aligned}}$

Das physikalische Feld ergibt sich zu ${\begin{aligned}&{{\bar {E}}_{1}}({\bar {r}},t)=\operatorname {Re} \left\{{{a}_{1}}{{e}^{i\left({{\delta }_{1}}+{\bar {k}}{\bar {r}}-\varpi t\right)}}\right\}={{a}_{1}}\cos \left(\phi +{{\delta }_{1}}\right)\\&\phi :={\bar {k}}{\bar {r}}-\varpi t\\\end{aligned}}$

und

${{\bar {E}}_{2}}({\bar {r}},t)=\operatorname {Re} \left\{{{a}_{2}}{{e}^{i\left({{\delta }_{2}}+\phi \right)}}\right\}={{a}_{2}}\cos \left(\phi +{{\delta }_{2}}\right)$

Aus

${\begin{aligned}&{\frac {{\bar {E}}_{1}}{{a}_{1}}}({\bar {r}},t)=\cos \phi \cos {{\delta }_{1}}-\sin \phi \sin {{\delta }_{1}}\\&{\frac {{\bar {E}}_{2}}{a2}}({\bar {r}},t)=\cos \phi \cos {{\delta }_{2}}-\sin \phi \sin {{\delta }_{2}}\\\end{aligned}}$

Kann $\phi$ und somit $\left({\bar {r}},t\right)$ eliminiert werden:

${\begin{aligned}&{\frac {{\bar {E}}_{1}}{{a}_{1}}}\sin {{\delta }_{2}}-{\frac {{\bar {E}}_{2}}{a2}}\sin {{\delta }_{1}}=\cos \phi \sin \left({{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}}\right)\\&{\frac {{\bar {E}}_{1}}{{a}_{1}}}\cos {{\delta }_{2}}-{\frac {{\bar {E}}_{2}}{a2}}\cos {{\delta }_{1}}=\sin \phi \sin \left({{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}}\right)\\&\Rightarrow {{1}^{2}}+{{2}^{2}}\Rightarrow {{\left({\frac {{\bar {E}}_{1}}{{a}_{1}}}\right)}^{2}}+{{\left({\frac {{\bar {E}}_{2}}{a2}}\right)}^{2}}-2{\frac {{\bar {E}}_{1}}{{a}_{1}}}{\frac {{\bar {E}}_{2}}{a2}}\cos \left({{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}}\right)={{\sin }^{2}}\left({{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}}\right)\\\end{aligned}}$

Dies ist jedoch eine Ellipsengleichung für ${{\bar {E}}_{1}},{{\bar {E}}_{2}}$

Der Feldvektor ${\bar {E}}({\bar {r}},t)$ läuft als Funktion von $\phi$ auf einer Ellipse senkrecht zu ${\bar {k}}$ um die Achse der Ausbreitungsrichtung. Man spricht von elliptischer Polarisation:

Dabei entspricht die Darstellung dem Ortsvektor ${\bar {r}}$ für eine feste Zeit t oder der vorhergehenden zeit -t für einen festen Ort ${\bar {r}}$ .

Spezialfälle:

Linear polarisierte Welle:

${\begin{aligned}&{{\delta }_{1}}={{\delta }_{2}}+n\pi \Rightarrow \sin \left({{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}}\right)=0,\cos \left({{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}}\right)=\pm 1\\&\Rightarrow {\frac {{\bar {E}}_{1}}{{a}_{1}}}\pm {\frac {{\bar {E}}_{2}}{a2}}=0\\\end{aligned}}$

Dies ist jedoch eine Geradengleichung:

${\bar {E}}({\bar {r}},t)={{\bar {E}}_{0}}\cos \phi ({\bar {r}},t)$

mit reeller Amplitude

${{\bar {E}}_{0}}$

Zirkular polarisierte Welle

${\begin{aligned}&a1=a2=a\\&{{\delta }_{1}}={{\delta }_{2}}+\left(2n+1\right){\frac {\pi }{2}}\Rightarrow \sin \left({{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}}\right)=\pm 1,\cos \left({{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}}\right)=0\\&\Rightarrow {{\bar {E}}_{1}}^{2}+{{\bar {E}}_{2}}^{2}={{a}^{2}}\\\end{aligned}}$

Dies entspricht der Überlagerung zweier linear polarisierter Wellen, die um ${\frac {\pi }{2}}$ phasenverschoben sind ! Der Feldvektor des elektrischen Feldes läuft auf einem Kreis um

${\bar {E}}({\bar {r}},t)=a\left({\begin{matrix}\cos \phi \\\pm \sin \phi \\\end{matrix}}\right)$

Je nach Vorzeichen spricht man von links- bzw. rechtszirkular polarisiertem Licht:

Dabei läuft ${\bar {B}}({\bar {r}},t)$ dem ${\bar {E}}({\bar {r}},t)$ - Vektor um ${\frac {\pi }{2}}$ verschoben nach bzw. voraus !

Energiedichte der elektromagnetischen Welle:

${{\bar {E}}_{0}}({\bar {r}},t)$ reell: ${\begin{aligned}&{\bar {E}}({\bar {r}},t)={{\bar {E}}_{0}}\cos \left({\bar {k}}{\bar {r}}-\varpi t\right)\\&{\bar {B}}({\bar {r}},t)={{\bar {B}}_{0}}\cos \left({\bar {k}}{\bar {r}}-\varpi t\right)\\\end{aligned}}$

mit

${{\bar {B}}_{0}}={\frac {1}{c}}{\bar {n}}\times {{\bar {E}}_{0}}$

Die Energiedichte ergibt sich gemäß

$w={\frac {{\varepsilon }_{0}}{2}}{{\bar {E}}^{2}}+{\frac {1}{2{{\mu }_{0}}}}{{\bar {B}}^{2}}={\frac {{\varepsilon }_{0}}{2}}{{\bar {E}}^{2}}+{\frac {1}{2{{\mu }_{0}}{{c}^{2}}}}{{\bar {E}}^{2}}=2{\frac {{\varepsilon }_{0}}{2}}{{\bar {E}}^{2}}$

Für die Energiestromdichte gilt:

${\begin{aligned}&{\bar {S}}={\frac {1}{{\mu }_{0}}}{\bar {E}}\times {\bar {B}}\\&{\bar {S}}={\frac {1}{c{{\mu }_{0}}}}{\bar {E}}\times \left({\bar {n}}\times {\bar {E}}\right)={\sqrt {\frac {{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}}}{{\bar {E}}^{2}}{\bar {n}}=c{{\varepsilon }_{0}}{{\bar {E}}^{2}}{\bar {n}}=cw{\bar {n}}\\\end{aligned}}$

Also: Die Energie wird mit Lichtgeschwindigkeit in Richtung ${\bar {n}}={\frac {\bar {k}}{\left|{\bar {k}}\right|}}$ transportiert Für ine Kugelwelle: ${\bar {E}}({\bar {r}},t)={\frac {1}{r}}{{\bar {E}}_{0}}\cos \left({\bar {k}}{\bar {r}}-\varpi t\right)$ verteilt sich die Energie auf eine Kugelschale:

für die Energie in einer Kugelschale mit dem Radius r und der Dicke dr gilt:

$W(r)=4\pi {{r}^{2}}dr{{\varepsilon }_{0}}{{\bar {E}}^{2}}({\bar {r}},t)$

Dabei kann der Exponent der Feldfunktion zeitlich gemittelt werden ( sinus²) und es ergibt sich ein Faktor 1/2:

$W(r)=4\pi {{r}^{2}}dr{{\varepsilon }_{0}}{{\bar {E}}^{2}}({\bar {r}},t)=2\pi {{r}^{2}}dr{{\varepsilon }_{0}}{\frac {{{\bar {E}}_{0}}^{2}}{{r}^{2}}}=const.$