Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Betrachte die zeitabhängigen Zustände
Die zeitabhängige Schrödingergleichung kann formal gelöst werden:
Definition des Operators U geschieht über eine Potenzreihe:
Zeitentwicklungsoperator
Setzt man dies in die Schrödingergelichung ein, so folgt:
Da H hermitesch ist, muss U(t,0) ein unitärer Operator sein!
Klar:
Die adjungierte Schrödingergleichung lautet:
Mit der formalen Lösung:
Der Erwartungswert eines Operators, der auch explizit zeitabhängig sein kann, z.B. über
ergibt sich für
Also:
Ein nicht explizit zeitabhängiger Operator ist grundsätzlich zeitlich konstant, wenn er mit dem Hamiltonoperator vertauscht.
Für einen nicht explizit zeitabhängigen Operator gilt folglich:
Klassisches Analogon: Poisson- Klammern
in der klassischen Mechanik finden wir analog die Poissonklammern:
Sei
eine klassische Observable und
die klassische Hamiltonfunktion, so gilt:
Also gilt in der Quantenmechanik die anschauliche Relation:
Definiere:
Observable " zeitliche Veränderung von
" als Operator:
Fundamentalbeziehung der Dynamik der Quantentheorie, aber keine Differenzialgleichung für ,
da im Allgemeinen:
Der Operator der zeitlichen Veränderung ist lediglich über seinen Erwartungswert definiert:
Speziell gilt, analog zu den klassischen Hamiltonschen Gleichungen:
Merke dazu (Ehrenfest- Theorem):
→ die partiellen Zeitableitungen verschwinden. Die Operatoren für Ort und Impuls sind nicht explizit zeitabhängig!
Mit der Allgemeinen Hamiltonfunktion für ein Potenzial, nämlich
folgt:
Also:
Denn:
Merke:
Woraus das Ehrenfestsche Theorem folgt:
da ja:
das heißt, die Erwartungswerte quantenmechanischer Observablen gehorchen den klassischen Bewegungsgleichungen
Bilder
Da die Erwartungswerte invariant bei unitären Transformationen U sind, sind Operatoren und Zustände nur bis auf UNITÄR- ÄQUIVALENZ festgelegt:
Für verschiedene, zeitabhängige U erhält man sogenannte verschiedene "Bilder":
Im Folgenden gelte ,
also keine explizite Zeitabhängigkeit!
Merke: Hat man ein Bild gefunden, so kann man die Zustände und Operatoren durch eine beliebige unitäre Trafo "verdrehen" und man hat ein neues Bild!
Schrödingerbild:
Operatoren
zeitunabhängig
Eigenvektoren
zeitunabhängig
Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren:
zeitabhängig (Die Zeitabhängigkeit wird dabei durch die Schrödingergleichung beschrieben):
Veranschaulichung im
Unitäre Transformationen, wie die Zeitentwicklung, sind IMMER Drehungen im Hilbertraum!
Im Schrödingerbild werden somit die Zustände im Hilbertraum durch unitäre Transformationen gedreht!
Im
entspricht
einer 2x2- Matrix, definiert eine symmetrische, quadratische Form. (Übungsaufgabe!)
Die Eigenvektoren des Systems sind Hauptachsen und die Zeitentwicklung des Zustandes folgt:
Das Heisenbergbild
In diesem Bild sind die
Operatoren
zeitabhängig
und damit Eigenvektoren
zeitabhängig
Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren:
zeitunabhängig:
Veranschaulichung im
Im Heisenbergbild werden folglich die Operatoren und ihre Eigenvektoren (zwangsläufig) unter unitären Transformationen im Hilbertraum verdreht (als Zeitentwicklung).
Aus
folgt:
Also:
(Operatoren im Heisenbergbild gehorchen der Von- Neumann- Bewegungsgleichung)
Somit folgt für das Heisenbergbild:
Insbesondere gilt:
also die bildunabhängige Darstellung
Merke: Der Hamiltonian ist grundsätzlich bildunabhängig.
Wechselwirkungsbild
Sei
mit dem ungestörten Hamiltonoperator
und der Störung .
Es gilt die Zeitentwicklung des Operators F für das Wechselwirkungsbild:
Somit gilt wieder die Relation
Also:
Somit ist auch hier der ungestörte Hamiltonian
bildunabhängig.
Aber:
im Allgemeinen
Bemerkung: Die Erwartungswertbildung formal gilt natürlich für alle Bilder.
Aber:
Merke: Die Zeitentwicklung der Zustände erfolgt hier über den Störoperator im Hamiltonian:
Zur Verdeutlichung des Wechselwirkungsbildes soll auch der Hamiltonoperator einen Index erhalten.
Dies bedeutet: Operatoren, Eigenvektoren und allgemeine Zustände sind zeitabhängig.
Operatoren
zeitabhängig, Abhängigkeit gegeben durch ungestörten Hamiltonoperator
und damit Eigenvektoren
zeitabhängig, ebenso durch den ungestörten Hamiltonian
Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren:
zeitabhängig mit gegebener Zeitentwicklung durch den Störoperator .