Dynamik im Schrödinger- Heisenberg- und Wechselwirkungsbild

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Dynamik im Schrödinger- Heisenberg- und Wechselwirkungsbild basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 5) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Dynamik im Schrödinger- Heisenberg- und Wechselwirkungsbild	Formalisierung der Quantenmechanik
	Zustandsvektoren im Hilbertraum Operatoren im Hilbertraum Eigenwerte und Eigenzustände von hermiteschen Operatoren Die Quantisierung Dynamik im Schrödinger- Heisenberg- und Wechselwirkungsbild Der harmonische Oszillator	Schrödingsche Wellenmechanik Formalisierung der Quantenmechanik Drehimpuls Spin und Systeme identischer Teilchen Näherungsmethoden Streutheorie Relativistische Quntenmechanik

Betrachte die zeitabhängigen Zustände${{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}$

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}={\hat {H}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}$

Die zeitabhängige Schrödingergleichung kann formal gelöst werden:

${{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}={{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{0}}=U(t,0){{\left|\Psi \right\rangle }_{0}}$

Definition des Operators U geschieht über eine Potenzreihe:

$U(t,0)={{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t}}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{}{\frac {1}{n!}}{{\left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t\right)}^{n}}$

Zeitentwicklungsoperator

Setzt man dies in die Schrödingergelichung ein, so folgt:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\sum \limits _{n=0}^{\infty }{}{\frac {1}{n!}}{{\left(-{\frac {i}{\hbar }}t\right)}^{n}}{{\hat {H}}^{n}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{0}}={\hat {H}}\sum \limits _{n=0}^{\infty }{}{\frac {1}{n!}}{{\left(-{\frac {i}{\hbar }}t\right)}^{n}}{{\hat {H}}^{n}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{0}}={\hat {H}}\sum \limits _{n=1}^{\infty }{}{\frac {1}{n-1!}}{{\left(-{\frac {i}{\hbar }}t\right)}^{n-1}}{{\hat {H}}^{n-1}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{0}}$

Da H hermitesch ist, muss U(t,0) ein unitärer Operator sein!

Klar: ${\begin{aligned}&{{H}^{+}}=H\\&\Rightarrow {{U}^{+}}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{}{\frac {1}{n!}}{{\left({\frac {i}{\hbar }}t\right)}^{n}}{{\hat {H}}^{n}}\Rightarrow {{U}^{+}}U=1\\\end{aligned}}$

Die adjungierte Schrödingergleichung lautet:

${{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{\hat {H}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}$

Mit der formalen Lösung:

${{\left\langle \Psi \right|}_{t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{0}}{{e}^{{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{0}}{{U}^{+}}(t,0)$

Der Erwartungswert eines Operators, der auch explizit zeitabhängig sein kann, z.B. über ${\bar {A}}(t)$ ergibt sich für

${\hat {F}}={\hat {F}}\left({\hat {\bar {r}}},{\hat {\bar {p}}},t\right)$

$\left\langle {\hat {F}}\right\rangle ={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{\hat {F}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}$

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}\left\langle {\hat {F}}\right\rangle ={\frac {d}{dt}}{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{\hat {F}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{\frac {\partial {\hat {F}}}{\partial t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}+\left({\frac {\partial }{\partial t}}{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}\right){\frac {d}{dt}}{\hat {F}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}+{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{\hat {F}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}\right)\\&\left({\frac {\partial }{\partial t}}{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}\right)=-{\frac {1}{i\hbar }}{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{\hat {H}}\\&{\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}={\frac {1}{i\hbar }}{\hat {H}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}\\\end{aligned}}$

Also:

${\frac {d}{dt}}\left\langle {\hat {F}}\right\rangle ={\frac {d}{dt}}{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{\hat {F}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{\frac {\partial {\hat {F}}}{\partial t}}+{\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{\hat {F}}\right]{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}$

Ein nicht explizit zeitabhängiger Operator ist grundsätzlich zeitlich konstant, wenn er mit dem Hamiltonoperator vertauscht. Für einen nicht explizit zeitabhängigen Operator gilt folglich:

$\left[{\hat {H}},{\hat {F}}\right]=0\Rightarrow {\frac {d}{dt}}\left\langle {\hat {F}}\right\rangle =0$

Klassisches Analogon: Poisson- Klammern in der klassischen Mechanik finden wir analog die Poissonklammern: Sei $F({\bar {q}},{\bar {p}},t)$ eine klassische Observable und $H({\bar {q}},{\bar {p}})$ die klassische Hamiltonfunktion, so gilt:

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}F({\bar {q}},{\bar {p}},t)={\frac {\partial }{\partial t}}F({\bar {q}},{\bar {p}},t)+\sum \limits _{i=1}^{3}{\left({\frac {\partial F({\bar {q}},{\bar {p}},t)}{\partial {{q}_{i}}}}{{\dot {q}}_{i}}+{\frac {\partial F({\bar {q}},{\bar {p}},t)}{\partial {{p}_{i}}}}{{\dot {p}}_{i}}\right)}\\&{\frac {d}{dt}}F({\bar {q}},{\bar {p}},t)={\frac {\partial }{\partial t}}F({\bar {q}},{\bar {p}},t)+\sum \limits _{i=1}^{3}{\left({\frac {\partial F({\bar {q}},{\bar {p}},t)}{\partial {{q}_{i}}}}{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{i}}}}-{\frac {\partial F({\bar {q}},{\bar {p}},t)}{\partial {{p}_{i}}}}{\frac {\partial H}{\partial {{q}_{i}}}}\right)}={\frac {\partial }{\partial t}}F({\bar {q}},{\bar {p}},t)+\left\{H,F\right\}\\\end{aligned}}$

Also gilt in der Quantenmechanik die anschauliche Relation:

$\left\{H,F\right\}\to {\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{\hat {F}}\right]$

Definiere: Observable " zeitliche Veränderung von $F({\bar {q}},{\bar {p}},t)$ " als Operator:

${\hat {F}}{}^{\circ }={\frac {\partial {\hat {F}}}{\partial t}}+{\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{\hat {F}}\right]$

Fundamentalbeziehung der Dynamik der Quantentheorie, aber keine Differenzialgleichung für ${\hat {F}}$,

da im Allgemeinen:

${\hat {F}}{}^{\circ }\neq {\frac {d{\hat {F}}}{dt}}$

Der Operator der zeitlichen Veränderung ist lediglich über seinen Erwartungswert definiert:

$\left\langle {\hat {F}}{}^{\circ }\right\rangle ={\frac {d}{dt}}\left\langle {\hat {F}}\right\rangle$

Speziell gilt, analog zu den klassischen Hamiltonschen Gleichungen:

${\begin{aligned}&{\hat {\bar {r}}}{}^{\circ }={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{\hat {\bar {r}}}\right]\\&{\hat {\bar {p}}}{}^{\circ }={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{\hat {\bar {p}}}\right]\\\end{aligned}}$

Merke dazu (Ehrenfest- Theorem):

${\begin{aligned}&{{\partial }_{t}}{\hat {\bar {r}}}=0\\&{{\partial }_{t}}{\hat {\bar {p}}}=0\\\end{aligned}}$

→ die partiellen Zeitableitungen verschwinden. Die Operatoren für Ort und Impuls sind nicht explizit zeitabhängig! Mit der Allgemeinen Hamiltonfunktion für ein Potenzial, nämlich

${\hat {H}}={\frac {{\hat {\bar {p}}}^{2}}{2m}}+V({\hat {\bar {r}}})$

folgt:

${\begin{aligned}&\left[{\hat {H}},{{\hat {x}}_{k}}\right]={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial {\hat {H}}}{\partial {{\hat {p}}_{k}}}}\\&\left[{\hat {H}},{{\hat {p}}_{k}}\right]=-{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial {\hat {H}}}{\partial {{\hat {x}}_{k}}}}\\\end{aligned}}$

Also:

${\begin{aligned}&{\hat {\bar {r}}}{}^{\circ }={\frac {\hat {\bar {p}}}{m}}\\&{\hat {\bar {p}}}{}^{\circ }=-\nabla V\left({\hat {\bar {r}}}\right)\\\end{aligned}}$

Denn:

${\begin{aligned}&\left[{\hat {H}},{{\hat {x}}_{k}}\right]={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial {\hat {H}}}{\partial {{\hat {p}}_{k}}}}={\frac {\hbar }{i}}{{\hat {x}}_{k}}^{\circ }\Rightarrow {{\hat {x}}^{\circ }}={\frac {\partial {\hat {H}}}{\partial {\hat {p}}}}={\frac {\hat {p}}{m}}\\&\left[{\hat {H}},{{\hat {p}}_{k}}\right]=-{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial {\hat {H}}}{\partial {{\hat {x}}_{k}}}}\Rightarrow {{\hat {p}}^{\circ }}=-{\frac {\partial {\hat {H}}}{\partial {\hat {x}}}}=-\nabla V\left({\hat {x}}\right)\\\end{aligned}}$

Merke:

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}\left\langle {\hat {\bar {r}}}\right\rangle =\left\langle {{\hat {\bar {r}}}^{{}^{\circ }}}\right\rangle \\&{\frac {d}{dt}}\left\langle {\hat {\bar {p}}}\right\rangle =\left\langle {{\hat {\bar {p}}}^{{}^{\circ }}}\right\rangle \\\end{aligned}}$

Woraus das Ehrenfestsche Theorem folgt:

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}\left\langle {\hat {\bar {r}}}\right\rangle ={\frac {1}{m}}\left\langle {\hat {\bar {p}}}\right\rangle \\&{\frac {d}{dt}}\left\langle {\hat {\bar {p}}}\right\rangle =-\left\langle \nabla V\left({\hat {\bar {r}}}\right)\right\rangle \\\end{aligned}}$

da ja: ${\begin{aligned}&{{\partial }_{t}}{\hat {\bar {r}}}=0\\&{{\partial }_{t}}{\hat {\bar {p}}}=0\\\end{aligned}}$

das heißt, die Erwartungswerte quantenmechanischer Observablen gehorchen den klassischen Bewegungsgleichungen

Bilder

Da die Erwartungswerte invariant bei unitären Transformationen U sind, sind Operatoren und Zustände nur bis auf UNITÄR- ÄQUIVALENZ festgelegt:

${\begin{aligned}&\left|\Psi \right\rangle \to \left|\Psi {\acute {\ }}\right\rangle =U\left|\Psi \right\rangle \\&{\hat {F}}\to {\hat {F}}{\acute {\ }}=U{\hat {F}}{{U}^{+}}\\\end{aligned}}$

Für verschiedene, zeitabhängige U erhält man sogenannte verschiedene "Bilder": Im Folgenden gelte ${\frac {\partial {\hat {F}}}{\partial t}}=0$,

also keine explizite Zeitabhängigkeit!

Merke: Hat man ein Bild gefunden, so kann man die Zustände und Operatoren durch eine beliebige unitäre Trafo "verdrehen" und man hat ein neues Bild!

Schrödingerbild:

Operatoren ${{\hat {F}}_{S}}({\hat {\bar {r}}},{\hat {\bar {p}}})$ zeitunabhängig Eigenvektoren $\left|n\right\rangle$ zeitunabhängig Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren: $\left|\Psi \right\rangle$ zeitabhängig (Die Zeitabhängigkeit wird dabei durch die Schrödingergleichung beschrieben):

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}={\hat {H}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}$

Veranschaulichung im ${{R}^{2}}$

Unitäre Transformationen, wie die Zeitentwicklung, sind IMMER Drehungen im Hilbertraum! Im Schrödingerbild werden somit die Zustände im Hilbertraum durch unitäre Transformationen gedreht! Im ${{R}^{2}}$ entspricht ${{\hat {F}}_{S}}$ einer 2x2- Matrix, definiert eine symmetrische, quadratische Form. (Übungsaufgabe!) Die Eigenvektoren des Systems sind Hauptachsen und die Zeitentwicklung des Zustandes folgt:

${{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}=U(t,0){{\left|\Psi \right\rangle }_{0}}$

Das Heisenbergbild

${\begin{aligned}&\left\langle {{\hat {F}}_{S}}\right\rangle ={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{{\hat {F}}_{S}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{0}}{{U}^{+}}(t,0){{\hat {F}}_{S}}U(t,0){{\left|\Psi \right\rangle }_{0}}\\&{{U}^{+}}(t,0){{\hat {F}}_{S}}U(t,0)={{\hat {F}}_{H}}(t)\\\end{aligned}}$

In diesem Bild sind die Operatoren ${{\hat {F}}_{H}}(t)$ zeitabhängig und damit Eigenvektoren $\left|n\right\rangle$ zeitabhängig Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren: $\left|\Psi \right\rangle ={{\left|\Psi \right\rangle }_{0}}$ zeitunabhängig: Veranschaulichung im ${{R}^{2}}$

Im Heisenbergbild werden folglich die Operatoren und ihre Eigenvektoren (zwangsläufig) unter unitären Transformationen im Hilbertraum verdreht (als Zeitentwicklung). Aus

${{\hat {F}}_{H}}(t)={{e}^{{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t}}{{\hat {F}}_{S}}{{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t}}$

folgt:

${\frac {d}{dt}}{{\hat {F}}_{H}}(t)={\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}{{e}^{{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t}}{{\hat {F}}_{S}}{{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t}}+{{e}^{{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t}}{{\hat {F}}_{S}}\left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\right){{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t}}$

Also:

${\frac {d}{dt}}{{\hat {F}}_{H}}(t)={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{{\hat {F}}_{H}}\right]$

(Operatoren im Heisenbergbild gehorchen der Von- Neumann- Bewegungsgleichung) Somit folgt für das Heisenbergbild:

${\hat {F}}{{{}^{\circ }}_{H}}={\frac {d}{dt}}{{\hat {F}}_{H}}(t)={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{{\hat {F}}_{H}}\right]$

Insbesondere gilt:

${\frac {d}{dt}}{{\hat {H}}_{H}}=0$

also die bildunabhängige Darstellung

${{\hat {H}}_{H}}={{\hat {H}}_{S}}={\hat {H}}$

Merke: Der Hamiltonian ist grundsätzlich bildunabhängig.

Wechselwirkungsbild

Sei ${\hat {H}}={{\hat {H}}^{0}}+{{\hat {H}}^{1}}$

mit dem ungestörten Hamiltonoperator ${{\hat {H}}^{0}}$ und der Störung ${{\hat {H}}^{1}}$.

Es gilt die Zeitentwicklung des Operators F für das Wechselwirkungsbild:

${{\hat {F}}_{W}}(t)={{e}^{{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}t}}{{\hat {F}}_{S}}{{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}t}}$

Somit gilt wieder die Relation

${\frac {d}{dt}}{{\hat {F}}_{W}}(t)={\frac {i}{\hbar }}\left[{{\hat {H}}^{0}},{{\hat {F}}_{W}}\right]$

Also:

${\frac {d}{dt}}{{\hat {H}}^{0}}=0$

Somit ist auch hier der ungestörte Hamiltonian ${{\hat {H}}^{0}}={{\hat {H}}_{S}}={{\hat {H}}_{H}}$ bildunabhängig. Aber:

${\frac {d}{dt}}{{\hat {H}}_{W}}(t)={\frac {i}{\hbar }}\left[{{\hat {H}}^{0}},{{\hat {H}}_{W}}\right]={\frac {i}{\hbar }}\left[{{\hat {H}}^{0}},{{\hat {H}}^{1}}\right]\neq 0$

im Allgemeinen

${\begin{aligned}&\left\langle {{\hat {F}}_{S}}\right\rangle ={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{{\hat {F}}_{S}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}t}}{{e}^{+{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}t}}{{\hat {F}}_{S}}{{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}t}}{{e}^{+{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}\\&{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{W}}\\&{{e}^{+{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}t}}{{\hat {F}}_{S}}{{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}t}}={{\hat {F}}_{W}}(t)\\&{{e}^{+{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{0}}={{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}\\&\left\langle {{\hat {F}}_{S}}\right\rangle ={{\left\langle \Psi \right|}_{W}}{{\hat {F}}_{W}}(t){{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}\\\end{aligned}}$

Bemerkung: Die Erwartungswertbildung formal gilt natürlich für alle Bilder.

${\begin{aligned}&\Rightarrow {\frac {d}{dt}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}={\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}{{e}^{+{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}+{{e}^{+{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}t}}{\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}\\&{\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}={\frac {1}{i\hbar }}{{\hat {H}}_{S}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}={\frac {1}{i\hbar }}{{\hat {H}}_{S}}{{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}\\&\Rightarrow {\frac {d}{dt}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}={\frac {1}{i\hbar }}\left(-{{\hat {H}}^{0}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}+{{\hat {H}}_{W}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}\right)\\&wegen\\&{{e}^{+{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}t}}{{\hat {H}}_{S}}{{e}^{-{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}t}}={{\hat {H}}_{W}}\\&{{e}^{+{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{0}}t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}={{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}\\\end{aligned}}$

Aber:

${{\hat {H}}_{W}}={{\hat {H}}^{0}}+{{\hat {H}}^{1}}$

${\begin{aligned}&\Rightarrow {\frac {d}{dt}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}={\frac {1}{i\hbar }}{{\hat {H}}^{1}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}\\&\Rightarrow {\frac {d}{dt}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}={\frac {1}{i\hbar }}{{\hat {H}}_{W}}^{1}{{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}\\\end{aligned}}$

${\frac {d}{dt}}{{\hat {F}}_{W}}(t)={\frac {i}{\hbar }}\left[{{\hat {H}}^{0}},{{\hat {F}}_{W}}\right]$

Merke: Die Zeitentwicklung der Zustände erfolgt hier über den Störoperator im Hamiltonian:

${{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}\left(t\right)={{e}^{{\frac {i}{\hbar }}{{\hat {H}}^{1}}t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}\left(0\right)$

Zur Verdeutlichung des Wechselwirkungsbildes soll auch der Hamiltonoperator einen Index erhalten. Dies bedeutet: Operatoren, Eigenvektoren und allgemeine Zustände sind zeitabhängig. Operatoren ${{\hat {F}}_{W}}(t)$ zeitabhängig, Abhängigkeit gegeben durch ungestörten Hamiltonoperator ${{\hat {H}}^{0}}$

und damit Eigenvektoren $\left|n\right\rangle$ zeitabhängig, ebenso durch den ungestörten Hamiltonian Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren: ${{\left|\Psi \right\rangle }_{W}}$ zeitabhängig mit gegebener Zeitentwicklung durch den Störoperator ${{\hat {H}}_{W}}^{1}$.