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| ====Typisches Anwendungsschema des Hamilton- Formalismus:==== | | mQTOij , [url=http://xclhtveaemfi.com/]xclhtveaemfi[/url], [link=http://gbamrjvfxbzc.com/]gbamrjvfxbzc[/link], http://tqkiiyymudse.com/ |
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| # Zunächst sind die generalisierten Koordinaten zu wählen:
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| :<math>\bar{q}=({{q}_{1}},...,{{q}_{f}})</math>
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| # Transformation des Radiusvektors
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| :<math>\begin{align}
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| & {{{\bar{r}}}_{i}}={{{\bar{r}}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t) \\
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| & {{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}={{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}(\bar{q},\dot{\bar{q}},t) \\
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| \end{align}</math>
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| # Aufstellung der Lagrangegleichung:
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| :<math>L(\bar{q},\dot{\bar{q}},t)=T-V=\frac{1}{2}m\sum\limits_{i}{{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}^{2}}-V</math>
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| # Bestimmung der generalisierten Impulse:
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| :<math>\begin{align}
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| & {{p}_{k}}:=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}\Rightarrow {{p}_{k}}={{p}_{k}}(\bar{q},\dot{\bar{q}},t) \\
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| & Umkehrung:{{{\dot{q}}}_{k}}={{{\dot{q}}}_{k}}(\bar{q},\bar{p},t) \\
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| \end{align}</math>
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| # Anschließend Legendre Trafo:
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| :<math>H({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{p}_{1}},...,{{p}_{f}},t)=\sum\limits_{k=1}^{f}{{{{\dot{q}}}_{k}}{{p}_{k}}-L}</math>
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| # Aufstellung und Integration der kanonischen Gleichungen:
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| :<math>\begin{align}
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| & {{{\dot{p}}}_{k}}=-\frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}} \\
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| & \frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}}={{{\dot{q}}}_{k}}\quad k=1,...,f \\
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| \end{align}</math>
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| ====Beispiele:==== | | ====Beispiele:==== |
Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Die Hamiltonschen Gleichungen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 2) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Ziel: Auch hier natürlich sollen Bewegungsgleichungen für die
gefunden werden.
Die Ableitung einer Bewegungsgleichung für
aus der Lagrangegleichung 2. Art ist bereits bekannt:
Eine Variable:
Differenziale:
- wegen
Dies gilt fuer beliebige Differenziale in q, p und t. Somit kann die Gleichung nur erfüllt werden für
Mit Hilfe der Lagrange Bewegungsgleichung
Die Hamiltonschen Gleichungen sind also beide gefunden.
Es handelt sich um 2 DGLn 1. Ordnung für q und p statt 1 DGL 2. Ordnung für q(t)
Kncoked my socks off with knowledge!
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mQTOij , [url=http://xclhtveaemfi.com/]xclhtveaemfi[/url], [link=http://gbamrjvfxbzc.com/]gbamrjvfxbzc[/link], http://tqkiiyymudse.com/
Beispiele:
Teilchen in Zylinderkoordinaten ganz ohne Zwnagsbedingungen
- q1=3, q2=Phi, q3 = z
- Generalisierte Impulse:
Radialimpuls, z-Komponente des Drehimpulses und z-Komponente des Impulses
- Aufstellung der Legendretrafo:
- Kanonische Gleichungen:
Interessant ist das Ergebnis der Zentrifugalkraft (Scheinkraft):
F(Zentrifugal)=
- ,
die den radialen Impuls ändert.
Bekannt aus dem Keplerproblem ist uns bereits der Fall V®, ein Zentralpotenzial bei ebener Bewegung:
Somit sind Drehimpuls in der Ebene und z-Impuls des Systems erhalten.
sind zyklische Variablen
oBdA: ebene Bewegung, Drehimpulserhaltung in der Ebene
None can doubt the veracity of this arictle.
Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld:
Aus dem Kapitel Eichtransformation der Lagrangefunktion ist das nötige Handwerkszeugs bereits bekannt:
die kanonischen konjugierten Impulse lauten:
Dabei begegnen uns die feinen Unterschiede im Impuls, nämlich
als kinetischer Impuls (der auch tatsächlich mit der Geschwindigkeit verknüpft ist).
ist kanonischer Impuls