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| oBdA: ebene Bewegung, Drehimpulserhaltung in der Ebene | | oBdA: ebene Bewegung, Drehimpulserhaltung in der Ebene |
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| ======Beispiel: eindimensionaler harmonischer Oszi:======
| | None can doubt the veracity of this arictle. |
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| Das System ist skleronom wegen
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| :<math>\frac{\partial L}{\partial t}=0</math>,
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| also folgt Energieerhaltung: E=H=T+V
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| :<math>\frac{1}{2}m\left( {{{\dot{q}}}^{2}}+{{\omega }_{o}}^{2}{{q}^{2}} \right)=E=\frac{1}{2}m\left( \frac{{{p}^{2}}}{{{m}^{2}}}+{{\omega }_{o}}^{2}{{q}^{2}} \right)\Rightarrow \frac{{{p}^{2}}}{2mE}+\frac{{{q}^{2}}}{\left( \frac{2E}{m{{\omega }_{o}}^{2}} \right)}=1</math>
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| Also ist die Lösung der Phasenraumkurve eine Ellipse. Die Ellipsengröße variiert je nach Energie:
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| Die Halbachsen sind:
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| :<math>a=\sqrt{2mE},b=\sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }_{o}}^{2}}}</math>
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| (bestimmt durch 1. Integral).
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| Als kanonische Gleichungen ergibt sich:
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| :<math>\begin{align}
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| & {{{\dot{p}}}_{{}}}=-\frac{\partial H}{\partial q}=-m{{\omega }_{o}}^{2}q \\
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| & \dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}=\frac{p}{m} \\
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| \end{align}</math>
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| Daraus folgt dann gerade die Bewegungsgleichung
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| :<math>\begin{align}
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| & \ddot{q}=\frac{d}{dt}\frac{\partial H}{\partial q}=\frac{{\dot{p}}}{\acute{\ }m}=-{{\omega }_{o}}^{2}q \\
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| & \ddot{q}+{{\omega }_{o}}^{2}q=0 \\
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| \end{align}</math>
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| Diese definiert ein Richtungsfeld im Phasenraum
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| ====Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld:==== | | ====Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld:==== |
Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Die Hamiltonschen Gleichungen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 2) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Ziel: Auch hier natürlich sollen Bewegungsgleichungen für die
gefunden werden.
Die Ableitung einer Bewegungsgleichung für
aus der Lagrangegleichung 2. Art ist bereits bekannt:
Eine Variable:
Differenziale:
- wegen
Dies gilt fuer beliebige Differenziale in q, p und t. Somit kann die Gleichung nur erfüllt werden für
Mit Hilfe der Lagrange Bewegungsgleichung
Die Hamiltonschen Gleichungen sind also beide gefunden.
Es handelt sich um 2 DGLn 1. Ordnung für q und p statt 1 DGL 2. Ordnung für q(t)
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Typisches Anwendungsschema des Hamilton- Formalismus:
- Zunächst sind die generalisierten Koordinaten zu wählen:
- Transformation des Radiusvektors
- Aufstellung der Lagrangegleichung:
- Bestimmung der generalisierten Impulse:
- Anschließend Legendre Trafo:
- Aufstellung und Integration der kanonischen Gleichungen:
Beispiele:
Teilchen in Zylinderkoordinaten ganz ohne Zwnagsbedingungen
- q1=3, q2=Phi, q3 = z
- Generalisierte Impulse:
Radialimpuls, z-Komponente des Drehimpulses und z-Komponente des Impulses
- Aufstellung der Legendretrafo:
- Kanonische Gleichungen:
Interessant ist das Ergebnis der Zentrifugalkraft (Scheinkraft):
F(Zentrifugal)=
- ,
die den radialen Impuls ändert.
Bekannt aus dem Keplerproblem ist uns bereits der Fall V®, ein Zentralpotenzial bei ebener Bewegung:
Somit sind Drehimpuls in der Ebene und z-Impuls des Systems erhalten.
sind zyklische Variablen
oBdA: ebene Bewegung, Drehimpulserhaltung in der Ebene
None can doubt the veracity of this arictle.
Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld:
Aus dem Kapitel Eichtransformation der Lagrangefunktion ist das nötige Handwerkszeugs bereits bekannt:
die kanonischen konjugierten Impulse lauten:
Dabei begegnen uns die feinen Unterschiede im Impuls, nämlich
als kinetischer Impuls (der auch tatsächlich mit der Geschwindigkeit verknüpft ist).
ist kanonischer Impuls