Die Hamiltonschen Gleichungen

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Die Hamiltonschen Gleichungen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 2) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Die Hamiltonschen Gleichungen	Der Hamiltonsche kanonische Formalismus
	Legendre- Transformation und Hamiltonfunktion Die Hamiltonschen Gleichungen Kanonische Transformationen Symplektische Struktur des Phasenraums Der Satz von Liouville Poisson- Klammern	Das d'Alembertsche Prinzip Das Hamiltonsche Prinzip Symmetrien und Erhaltungsgrößen Der Hamiltonsche kanonische Formalismus Die Hamilton-Jacobi-Theorie Mechanik des starren Körpers Dynamische Systeme und deterministisches Chaos

Ziel: Auch hier natürlich sollen Bewegungsgleichungen für die

${{p}_{k}},{{q}_{k}}$

gefunden werden.

Die Ableitung einer Bewegungsgleichung für

${{q}_{k}}$

aus der Lagrangegleichung 2. Art ist bereits bekannt:

Eine Variable:

Differenziale:

${\begin{aligned}&L=L(q,{\dot {q}},t):dL={\frac {\partial L}{\partial q}}dq+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}d{\dot {q}}+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\\&H=H(q,p,t):dH={\frac {\partial H}{\partial q}}dq+{\frac {\partial H}{\partial p}}dp+{\frac {\partial H}{\partial t}}dt\\&H={\dot {q}}p-L\Rightarrow dH={\dot {q}}dp+pd{\dot {q}}-dL={\dot {q}}dp+pd{\dot {q}}-{\frac {\partial L}{\partial q}}dq-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}d{\dot {q}}-{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\\\end{aligned}}$ wegen ${\begin{aligned}&{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}=p\\&\Rightarrow dH={\frac {\partial H}{\partial q}}dq+{\frac {\partial H}{\partial p}}dp+{\frac {\partial H}{\partial t}}dt={\dot {q}}dp-{\frac {\partial L}{\partial q}}dq-{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\\\end{aligned}}$

Dies gilt fuer beliebige Differenziale in q, p und t. Somit kann die Gleichung nur erfüllt werden für

${\begin{aligned}&{\frac {\partial H}{\partial q}}=-{\frac {\partial L}{\partial q}}\\&{\frac {\partial H}{\partial p}}={\dot {q}}\\&{\frac {\partial H}{\partial t}}=-{\frac {\partial L}{\partial t}}\\\end{aligned}}$

Mit Hilfe der Lagrange Bewegungsgleichung

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}={\frac {\partial L}{\partial q}};{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}=p;{\frac {\partial L}{\partial q}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}\\&\Rightarrow {\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}\\&{\frac {\partial H}{\partial p}}={\dot {q}}\\\end{aligned}}$

Die Hamiltonschen Gleichungen sind also beide gefunden.

Es handelt sich um 2 DGLn 1. Ordnung für q und p statt 1 DGL 2. Ordnung für q(t)

Mehrere Variablen

${\begin{aligned}&L({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{\dot {q}}_{1}},...,{{\dot {q}}_{f}},t)\\&{{p}_{k}}:={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}\\&H({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{p}_{1}},...,{{p}_{f}},t)=\sum \limits _{k=1}^{f}{{{\dot {q}}_{k}}{{p}_{k}}-L}\\&\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&dH=\sum \limits _{k}{}\left({\frac {\partial H}{\partial {{q}_{k}}}}d{{q}_{k}}+{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{k}}}}d{{p}_{k}}\right)+{\frac {\partial H}{\partial t}}dt=\sum \limits _{k}{{{\dot {q}}_{k}}d{{p}_{k}}}+\sum \limits _{k}{{{p}_{k}}d{{\dot {q}}_{k}}}-\sum \limits _{k}{{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}d{{\dot {q}}_{k}}}-\sum \limits _{k}{{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}d{{q}_{k}}-{\frac {\partial L}{\partial t}}dt}\\&=\sum \limits _{k}{{{\dot {q}}_{k}}d{{p}_{k}}}-\sum \limits _{k}{{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}d{{q}_{k}}-{\frac {\partial L}{\partial t}}dt}\\&\Rightarrow {\frac {\partial H}{\partial {{q}_{k}}}}=-{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}\\&{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}={\frac {d}{dt}}{{p}_{k}}\\&{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{k}}}}={{\dot {q}}_{k}};{\frac {\partial H}{\partial t}}=-{\frac {\partial L}{\partial t}}\\\end{aligned}}$

Somit folgen hier die Hamiltonschen Gleichungen (Kanonische Gleichungen)

${\begin{aligned}&{{\dot {p}}_{k}}=-{\frac {\partial H}{\partial {{q}_{k}}}}\\&{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{k}}}}={{\dot {q}}_{k}}\quad k=1,...,f\\\end{aligned}}$

Der 2f- dimensionale Raum

$\Gamma :=\left\{{{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{\dot {q}}_{1}},...,{{\dot {q}}_{f}}\right\}$

heißt Phasenraum.

Er findet besonders in der klassischen statistischen Mechanik Anwendung. Dabei b4trachtet man Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf dem Phasenraum.

Physikalische Bedeutung der Ham- Funktion

• wegen L= T-V bei holonomen Zwangsbed. und konservativen Kräften
• und wegen p(d/dt q)= 2T folgt: H = T+V

Dies gilt bei zeitlicher Translationsinvarianz (skleronome Zwangsbed.):

mit

${\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}})=0und{\frac {\partial }{\partial t}}L=0$

Dann nämlich ist

$\sum \limits _{k=1}^{f}{}{\frac {\partial T}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}{{\dot {q}}_{k}}=2T$

 (nach dem Eulerschen Satz: T ist quadratische, homogene Funktion der 

${{\dot {q}}_{k}}$.

Somit:

$\sum \limits _{k=1}^{f}{}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}{{\dot {q}}_{k}}-L=\sum \limits _{k=1}^{f}{}{\frac {\partial T}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}{{\dot {q}}_{k}}-L=2T-T+V=T+V$

beschreibt die Gesamtenergie des Systems: Nur bei skleronomen Zwangsbedingungen und konservativen Kräften!

Nach dem Noether- Theorem, speziell unter dem Kapitel ZEITLICHE TRanslationsinvarianz

folgt dann Gesamtenergieerhaltung.

Dies läßt sich leicht nachweisen:

${\begin{aligned}&{\frac {dH}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(\sum \limits _{k=1}^{f}{}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}{{\dot {q}}_{k}}-L\right)=\sum \limits _{k=1}^{f}{}\left({\frac {\partial H}{\partial {{q}_{k}}}}{{\dot {q}}_{k}}+{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{k}}}}{{\dot {p}}_{k}}\right)+{\frac {\partial H}{\partial t}}=\sum \limits _{k=1}^{f}{}\left({\frac {\partial H}{\partial {{q}_{k}}}}{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{k}}}}-{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{k}}}}{\frac {\partial H}{\partial {{q}_{k}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial t}}=0\\&wegen{\frac {\partial L}{\partial t}}=0\\\end{aligned}}$

Dies gilt also nur für skleronome Zwangsbedingungen. Bei rheonomen Zwangsbed. ist im Allgemeinen H nicht T+V!!

Beispiel: Perle an starrem rotierendem Draht:

Eine Perle der Masse m sei auf einem starren Draht, der in der -y- Ebene rotiert (Reibung durch Erdpotenzial zu vernachlässigen): Generalisierte Koordinaten q ist der Abstand der Perle vom Mittelpunkt:

Man kann sich H=T+V denken. Dabei gilt das effektive Potenzial mit

$V=-m{{q}^{2}}{{\omega }^{2}}$.

Aus

${\frac {\partial L}{\partial t}}=0$

folgt dann ohnehin wieder ein Erhaltungssatz: H=const.

Typisches Anwendungsschema des Hamilton- Formalismus:

1. Zunächst sind die generalisierten Koordinaten zu wählen:

${\bar {q}}=({{q}_{1}},...,{{q}_{f}})$

1. Transformation des Radiusvektors

${\begin{aligned}&{{\bar {r}}_{i}}={{\bar {r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)\\&{{\dot {\bar {r}}}_{i}}={{\dot {\bar {r}}}_{i}}({\bar {q}},{\dot {\bar {q}}},t)\\\end{aligned}}$

1. Aufstellung der Lagrangegleichung:

$L({\bar {q}},{\dot {\bar {q}}},t)=T-V={\frac {1}{2}}m\sum \limits _{i}{{{\dot {\bar {r}}}_{i}}^{2}}-V$

1. Bestimmung der generalisierten Impulse:

${\begin{aligned}&{{p}_{k}}:={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}\Rightarrow {{p}_{k}}={{p}_{k}}({\bar {q}},{\dot {\bar {q}}},t)\\&Umkehrung:{{\dot {q}}_{k}}={{\dot {q}}_{k}}({\bar {q}},{\bar {p}},t)\\\end{aligned}}$

1. Anschließend Legendre Trafo:

$H({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{p}_{1}},...,{{p}_{f}},t)=\sum \limits _{k=1}^{f}{{{\dot {q}}_{k}}{{p}_{k}}-L}$

1. Aufstellung und Integration der kanonischen Gleichungen:

${\begin{aligned}&{{\dot {p}}_{k}}=-{\frac {\partial H}{\partial {{q}_{k}}}}\\&{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{k}}}}={{\dot {q}}_{k}}\quad k=1,...,f\\\end{aligned}}$

Beispiele:

Teilchen in Zylinderkoordinaten ganz ohne Zwnagsbedingungen

1. q1=3, q2=Phi, q3 = z

${\begin{aligned}&x=r\cos \phi ,{\dot {x}}={\dot {r}}\cos \phi -r{\dot {\phi }}\sin \phi \\&y=r\sin \phi ,{\dot {y}}={\dot {r}}\sin \phi +r{\dot {\phi }}\cos \phi \\&z=z\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&T={\frac {1}{2}}m\left({{\dot {x}}^{2}}+{{\dot {y}}^{2}}+{{\dot {z}}^{2}}\right)={\frac {1}{2}}m\left({{\dot {r}}^{2}}+{{r}^{2}}{{\dot {\phi }}^{2}}+{{\dot {z}}^{2}}\right)\\&V=V(r,\phi ,z)\\&L=L(r,\phi ,z,{\dot {r}},{\dot {\phi }},{\dot {z}})={\frac {1}{2}}m\left({{\dot {r}}^{2}}+{{r}^{2}}{{\dot {\phi }}^{2}}+{{\dot {z}}^{2}}\right)-V\\\end{aligned}}$

1. Generalisierte Impulse:

${\begin{aligned}&{{p}_{k}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}\\&{{p}_{r}}=m{\dot {r}}\\&{{p}_{\phi }}=m{{r}^{2}}{\dot {\phi }}\\&{{p}_{z}}=m{\dot {z}}\\\end{aligned}}$

                                                                                            Radialimpuls, z-Komponente des Drehimpulses und z-Komponente des Impulses

1. Aufstellung der Legendretrafo:

${\begin{aligned}&H=m{{\dot {r}}^{2}}+m{{r}^{2}}{{\dot {\phi }}^{2}}+m{{\dot {z}}^{2}}={\frac {1}{2}}m\left({{\dot {r}}^{2}}+{{r}^{2}}{{\dot {\phi }}^{2}}+{{\dot {z}}^{2}}\right)+V\\&H={\frac {1}{2m}}\left({{p}_{r}}^{2}+{\frac {{{p}_{\phi }}^{2}}{{r}^{2}}}+{{p}_{z}}^{2}\right)+V(r,\phi ,z)\\\end{aligned}}$

1. Kanonische Gleichungen:

${\begin{aligned}&{{\dot {p}}_{k}}=-{\frac {\partial H}{\partial {{q}_{k}}}}\\&{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{k}}}}={{\dot {q}}_{k}}\quad k=1,...,f\\&{\dot {r}}={\frac {\partial H}{\partial {{p}_{r}}}}={\frac {{p}_{r}}{m}},{\dot {\phi }}={\frac {\partial H}{\partial {{p}_{\phi }}}}={\frac {{p}_{\phi }}{m{{r}^{2}}}},{\dot {z}}={\frac {\partial H}{\partial {{p}_{z}}}}={\frac {{p}_{z}}{m}}\\&{{\dot {p}}_{r}}=-{\frac {\partial H}{\partial r}}={\frac {{{p}_{\phi }}^{2}}{m{{r}^{3}}}}-{\frac {\partial V}{\partial r}},{{\dot {p}}_{\phi }}=-{\frac {\partial H}{\partial \phi }}=-{\frac {\partial V}{\partial \phi }},{{\dot {p}}_{z}}=-{\frac {\partial H}{\partial z}}=-{\frac {\partial V}{\partial z}}\\\end{aligned}}$

Interessant ist das Ergebnis der Zentrifugalkraft (Scheinkraft):

F(Zentrifugal)=

${\frac {{{p}_{\phi }}^{2}}{m{{r}^{3}}}}$,

die den radialen Impuls ändert.

Bekannt aus dem Keplerproblem ist uns bereits der Fall V®, ein Zentralpotenzial bei ebener Bewegung:

${{\dot {p}}_{r}}=-{\frac {\partial H}{\partial r}}={\frac {{{p}_{\phi }}^{2}}{m{{r}^{3}}}}-{\frac {\partial V}{\partial r}},{{\dot {p}}_{\phi }}=0,{{\dot {p}}_{z}}=0$

Somit sind Drehimpuls in der Ebene und z-Impuls des Systems erhalten.

$z,\phi$

sind zyklische Variablen

${\begin{aligned}&{{p}_{z}}=const.=o.B.d.A.=0\\&{{p}_{\phi }}=const.\\\end{aligned}}$

oBdA: ebene Bewegung, Drehimpulserhaltung in der Ebene

Beispiel: eindimensionaler harmonischer Oszi:

Das System ist skleronom wegen

${\frac {\partial L}{\partial t}}=0$,

also folgt Energieerhaltung:  E=H=T+V

${\frac {1}{2}}m\left({{\dot {q}}^{2}}+{{\omega }_{o}}^{2}{{q}^{2}}\right)=E={\frac {1}{2}}m\left({\frac {{p}^{2}}{{m}^{2}}}+{{\omega }_{o}}^{2}{{q}^{2}}\right)\Rightarrow {\frac {{p}^{2}}{2mE}}+{\frac {{q}^{2}}{\left({\frac {2E}{m{{\omega }_{o}}^{2}}}\right)}}=1$

Also ist die Lösung der Phasenraumkurve eine Ellipse. Die Ellipsengröße variiert je nach Energie:

Die Halbachsen sind:

${\sqrt {2mE}}=a,b={\sqrt {\frac {2E}{m{{\omega }_{o}}^{2}}}}$

(bestimmt durch 1. Integral).

Als kanonische Gleichungen ergibt sich:

${\begin{aligned}&{{\dot {p}}_{}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}=-m{{\omega }_{o}}^{2}q\\&{\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}}={\frac {p}{m}}\\\end{aligned}}$

Daraus folgt dann gerade die Bewegungsgleichung

${\begin{aligned}&{\ddot {q}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial H}{\partial q}}={\frac {\dot {p}}{{\acute {\ }}m}}=-{{\omega }_{o}}^{2}q\\&{\ddot {q}}+{{\omega }_{o}}^{2}q=0\\\end{aligned}}$

Diese definiert ein Richtungsfeld im Phasenraum

Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld:

Aus dem Kapitel Eichtransformation der Lagrangefunktion ist das nötige Handwerkszeugs bereits bekannt:

$L({\bar {q}},{\dot {\bar {q}}},t)=T-V={\frac {1}{2}}m\sum \limits _{i}{{{\dot {\bar {r}}}_{i}}^{2}}-V={\frac {m}{2}}{{\dot {\bar {q}}}^{2}}+e\left({\dot {\bar {q}}}\cdot {\bar {A}}({\bar {q}},t)-\Phi ({\bar {q}},t)\right)$

die kanonischen konjugierten Impulse lauten:

${\begin{aligned}&{{p}_{k}}={\frac {\partial L({\bar {q}},{\dot {\bar {q}}},t)}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=m{{\dot {q}}_{{\acute {\ }}k}}+e{{A}_{k}}({\bar {q}},t)\\&\Rightarrow {{\dot {q}}_{k}}={\frac {1}{m}}\left({{p}_{k}}-e{{A}_{k}}\right)\\&H=\sum \limits _{k=1}^{3}{{p}_{k}}{{\dot {q}}_{k}}-L=\sum \limits _{k=1}^{3}{{p}_{k}}{\frac {1}{m}}\left({{p}_{k}}-e{{A}_{k}}\right)-{\frac {1}{2m}}\sum \limits _{k=1}^{3}{}{{\left({{p}_{k}}-e{{A}_{k}}\right)}^{2}}-\sum \limits _{k=1}^{3}{}{\frac {e}{m}}\left({{p}_{k}}-e{{A}_{k}}\right){{A}_{k}}+e\Phi \\&H\left({\bar {q}},{\bar {p}},t\right)={\frac {1}{2m}}{{\left({{\bar {p}}_{}}-e{\bar {A}}{{({\bar {q}},t)}_{}}\right)}^{2}}+e\Phi ({\bar {q}},t)\\\end{aligned}}$

Dabei begegnen uns die feinen Unterschiede im Impuls, nämlich

$m{\dot {\bar {q}}}={\bar {p}}-e{\bar {A}}$

als kinetischer Impuls (der auch tatsächlich mit der Geschwindigkeit verknüpft ist).

${{p}_{k}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}$

ist kanonischer Impuls