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Die Wahrscheinlichkeit, das System in einem bestimmten Zustand zu finden ist gleich dem Erwartungswert des statistischen Operators in diesem Zustand:
Die Wahrscheinlichkeit, das System in einem bestimmten Zustand zu finden ist gleich dem Erwartungswert des statistischen Operators in diesem Zustand:
Also für den Vielteilchenzustand <math>\left| \alpha \right\rangle </math>:
Also für den {{FB| Vielteilchenzustand}} <math>\left| \alpha \right\rangle </math>:
:<math>{{E}_{\alpha }}^{ges.}=\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}{{E}_{j}}{{N}_{j}}</math>
:<math>{{E}_{\alpha }}^{ges.}=\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}{{E}_{j}}{{N}_{j}}</math>
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Dies ist ein Ergebnis für einen Zustand !
Dies ist ein Ergebnis für einen Zustand !
Die Großkanonsiche Zustandsumme Y gewinnt man, indem man über alle möglichen Vielteilchenzustände noch summiert, also:
Die {{FB| Großkanonsiche Zustandsumme}} Y gewinnt man, indem man über alle möglichen Vielteilchenzustände noch summiert, also:
:<math>Y=\sum\limits_{{{N}_{1}}...{{N}_{l}}}^{{}}{{}}\exp \left( -\beta \sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right)=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( \sum\limits_{{{N}_{j}}}^{{}}{{}}\exp \left( -\beta \left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right) \right)</math>
:<math>Y=\sum\limits_{{{N}_{1}}...{{N}_{l}}}^{{}}{{}}\exp \left( -\beta \sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right)=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( \sum\limits_{{{N}_{j}}}^{{}}{{}}\exp \left( -\beta \left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right) \right)</math>
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Jetzt muss bei der Auswertung die unterschiedliche Teilchenart berücksichtigt werden, nämlich in der Summation über Nj. Handelt es sich um Fermionen, so wird nur bis 1 summiert. Handelt es sich um Bosonen, so wird bis unendlich summiert !
Jetzt muss bei der Auswertung die unterschiedliche Teilchenart berücksichtigt werden, nämlich in der Summation über Nj. Handelt es sich um Fermionen, so wird nur bis 1 summiert. Handelt es sich um Bosonen, so wird bis unendlich summiert !
====Fermionen====
''' Fermionen'''
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
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Also folgt:
Also folgt:
:<math>P\left( {{N}_{1}},...,{{N}_{l}} \right)=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\frac{{{t}_{j}}^{{{N}_{j}}}}{\left( 1+{{t}_{j}} \right)}=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}P\left( {{N}_{j}} \right)</math>
:<math>P\left( {{N}_{1}},...,{{N}_{l}} \right)=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\frac{{{t}_{j}}^{{{N}_{j}}}}{\left( 1+{{t}_{j}} \right)}=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}P\left( {{N}_{j}} \right)</math> separiert !!
separiert !!
Dies als Gesamtwahrscheinlichkeit, das System mit der Besetzung <math>\left( {{N}_{1}},...,{{N}_{l}} \right)</math> zu finden !
Dies als Gesamtwahrscheinlichkeit, das System mit der Besetzung <math>\left( {{N}_{1}},...,{{N}_{l}} \right)</math>
<u>'''Mittlere Besetzungszahl '''</u>im Einteilchenzustand <math>{{E }_{j }}</math>:
zu finden !
Aus <math>P\left( {{N}_{j}} \right)=\exp \left( {{\Psi }_{j}}-\beta {{E}_{j}}-\alpha {{N}_{j}} \right)</math> mit
<u>'''Mittlere Besetzungszahl '''</u>im Einteilchenzustand <math>{{E}_{j}}</math>
:
Aus <math>P\left( {{N}_{j}} \right)=\exp \left( {{\Psi }_{j}}-\beta {{E}_{j}}-\alpha {{N}_{j}} \right)</math>
mit
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
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Also:
Also:
:<math>\Rightarrow \left\langle {{N}_{j}} \right\rangle =\frac{1}{\exp \left( \frac{{{E}_{j}}-\mu }{kT} \right)+1}</math>
{{Gln| <math>\Rightarrow \left\langle {{N}_{j}} \right\rangle =\frac{1}{\exp \left( \frac{{{E}_{j}}-\mu }{kT} \right)+1}</math> Die Fermi-Verteilung! |Fermi-Verteilung}}
Die Fermi- Verteilung !
Dies folgt auch explizit aus
Dies folgt auch explizit aus
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* 2 Möglichkeiten ! → Mittelwert liegt in der Mitte
* 2 Möglichkeiten ! → Mittelwert liegt in der Mitte
[[File :Fermi_dirac_distr.svg|miniatur|rechts besetzte und links unbesetzte Zustände]]
Für T → 0:
FJ :<nowiki >
:<math>\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle \to \Theta \left( \mu -{{E}_{j}} \right)</math>
( Stufenfunktion), sogenannter Quantenlimes !
T>0:
Aufweichungszone bei <math>{{E}_{j}}\tilde{\ }\mu </math>
der Breite <math>\approx kT</math>
:<math>{{E}_{j}}-\mu >>kT</math>
( sehr hohe Energien)
→
:<math>\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle \tilde{\ }\exp \left( -\frac{{{E}_{j}}-\mu }{kT} \right)</math>
* die Fermiverteilung nähert sich der Boltzmann- Verteilung an ( klassischer Grenzfall !!)
* keine Berücksichtigung des Pauli- Prinzips mehr !
Nj:=1/(1+exp((Ej-mue)/Boltz));
Nj:=1/(1+exp((Ej-mue)/Boltz));
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mue := 1
mue := 1
* plot(Nj,Ej=0..50);
* plot(Nj,Ej=0..50);</nowiki>]]
;Für T → 0:<math>\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle \to \Theta \left( \mu -{{E}_{j}} \right)</math> (Stufenfunktion), sogenannter Quantenlimes !
;T>0: Aufweichungszone bei <math>{{E}_{j}}\tilde{\ }\mu </math> der Breite <math>\approx kT</math>
<math>{{E}_{j}}-\mu >>kT</math> (sehr hohe Energien) → <math>\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle \tilde{\ }\exp \left( -\frac{{{E}_{j}}-\mu }{kT} \right)</math>
* die Fermiverteilung nähert sich der Boltzmann- Verteilung an ( klassischer Grenzfall !!)
* keine Berücksichtigung des Pauli- Prinzips mehr !
Beispiel einer Maxwell- Boltzmann- Verteilung sehr hoher Energien !
'''Gesamte mittlere Teilchenzahl'''
:<math>\bar{N}=\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle </math>
Beispiel einer Maxwell- Boltzmann- Verteilung sehr hoher Energien !
'''thermische Zustandsgleichung'''
;Gesamte mittlere Teilchenzahl:<math>\bar{N}=\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle </math>
:<math>pV=kT\ln Y=kT\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\ln {{Y}_{i}}=kT\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\ln \left( 1+\exp \left( \beta \left( \mu -{{E}_{j}} \right) \right) \right)</math>
;thermische Zustandsgleichung :<math>pV=kT\ln Y=kT\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\ln {{Y}_{i}}=kT\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\ln \left( 1+\exp \left( \beta \left( \mu -{{E}_{j}} \right) \right) \right)</math>
==Energie und Zustandsdichte freier Teilchen==
==Energie und Zustandsdichte freier Teilchen==
Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
Der Artikel Das ideale Fermigas basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 2) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD .
Teilchen- Zustände sind die Eigenzustände zur 1- Teilchen- Energie Ei
Großkanonischer Statistischer Operator :
ρ
^
=
Y
−
1
exp
(
−
β
(
H
^
−
μ
N
^
)
)
{\displaystyle {\hat {\rho }}={{Y}^{-1}}\exp \left(-\beta \left({\hat {H}}-\mu {\hat {N}}\right)\right)}
Die Wahrscheinlichkeit, das System in einem bestimmten Zustand zu finden ist gleich dem Erwartungswert des statistischen Operators in diesem Zustand:
Also für den Vielteilchenzustand
|
α
⟩
{\displaystyle \left|\alpha \right\rangle }
:
E
α
g
e
s
.
=
∑
j
=
1
l
E
j
N
j
{\displaystyle {{E}_{\alpha }}^{ges.}=\sum \limits _{j=1}^{l}{}{{E}_{j}}{{N}_{j}}}
mit der Einteilchenenergie Ej und den Besetzungszahlen Nj
Diese Wahrscheinlichkeit ist:
P
α
=
⟨
α
|
ρ
^
|
α
⟩
=
Y
−
1
⟨
α
|
exp
(
−
β
(
H
^
−
μ
N
^
)
)
|
α
⟩
=
Y
−
1
exp
(
−
β
∑
j
=
1
l
(
N
j
E
j
−
μ
N
j
)
)
{\displaystyle {{P}_{\alpha }}=\left\langle \alpha \right|{\hat {\rho }}\left|\alpha \right\rangle ={{Y}^{-1}}\left\langle \alpha \right|\exp \left(-\beta \left({\hat {H}}-\mu {\hat {N}}\right)\right)\left|\alpha \right\rangle ={{Y}^{-1}}\exp \left(-\beta \sum \limits _{j=1}^{l}{}\left({{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}}\right)\right)}
Dies ist ein Ergebnis für einen Zustand !
Die Großkanonsiche Zustandsumme Y gewinnt man, indem man über alle möglichen Vielteilchenzustände noch summiert, also:
Y
=
∑
N
1
.
.
.
N
l
exp
(
−
β
∑
j
=
1
l
(
N
j
E
j
−
μ
N
j
)
)
=
∏
j
=
1
l
(
∑
N
j
exp
(
−
β
(
N
j
E
j
−
μ
N
j
)
)
)
{\displaystyle Y=\sum \limits _{{{N}_{1}}...{{N}_{l}}}^{}{}\exp \left(-\beta \sum \limits _{j=1}^{l}{}\left({{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}}\right)\right)=\prod \limits _{j=1}^{l}{}\left(\sum \limits _{{N}_{j}}^{}{}\exp \left(-\beta \left({{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}}\right)\right)\right)}
Jetzt muss bei der Auswertung die unterschiedliche Teilchenart berücksichtigt werden, nämlich in der Summation über Nj. Handelt es sich um Fermionen, so wird nur bis 1 summiert. Handelt es sich um Bosonen, so wird bis unendlich summiert !
Fermionen
Y
=
∑
N
1
.
.
.
N
l
=
0
1
exp
(
−
β
∑
j
=
1
l
(
N
j
E
j
−
μ
N
j
)
)
=
∏
j
=
1
l
(
∑
N
j
=
0
1
exp
(
−
β
(
N
j
E
j
−
μ
N
j
)
)
)
=
∏
j
=
1
l
(
∑
N
j
=
0
1
t
j
N
j
)
t
j
:=
exp
(
−
β
(
E
j
−
μ
)
)
Y
=
∏
j
=
1
l
(
1
+
t
j
)
=
∏
j
=
1
l
Y
j
{\displaystyle {\begin{aligned}&Y=\sum \limits _{{{N}_{1}}...{{N}_{l}}=0}^{1}{}\exp \left(-\beta \sum \limits _{j=1}^{l}{}\left({{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}}\right)\right)=\prod \limits _{j=1}^{l}{}\left(\sum \limits _{{{N}_{j}}=0}^{1}{}\exp \left(-\beta \left({{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}}\right)\right)\right)\\&=\prod \limits _{j=1}^{l}{}\left(\sum \limits _{{{N}_{j}}=0}^{1}{}{{t}_{j}}^{{N}_{j}}\right)\\&{{t}_{j}}:=\exp \left(-\beta \left({{E}_{j}}-\mu \right)\right)\\&Y=\prod \limits _{j=1}^{l}{}\left(1+{{t}_{j}}\right)=\prod \limits _{j=1}^{l}{}{{Y}_{j}}\\\end{aligned}}}
Also folgt:
P
(
N
1
,
.
.
.
,
N
l
)
=
∏
j
=
1
l
t
j
N
j
(
1
+
t
j
)
=
∏
j
=
1
l
P
(
N
j
)
{\displaystyle P\left({{N}_{1}},...,{{N}_{l}}\right)=\prod \limits _{j=1}^{l}{}{\frac {{{t}_{j}}^{{N}_{j}}}{\left(1+{{t}_{j}}\right)}}=\prod \limits _{j=1}^{l}{}P\left({{N}_{j}}\right)}
separiert !!
Dies als Gesamtwahrscheinlichkeit, das System mit der Besetzung
(
N
1
,
.
.
.
,
N
l
)
{\displaystyle \left({{N}_{1}},...,{{N}_{l}}\right)}
zu finden!
Mittlere Besetzungszahl im Einteilchenzustand
E
j
{\displaystyle {{E}_{j}}}
:
Aus
P
(
N
j
)
=
exp
(
Ψ
j
−
β
E
j
−
α
N
j
)
{\displaystyle P\left({{N}_{j}}\right)=\exp \left({{\Psi }_{j}}-\beta {{E}_{j}}-\alpha {{N}_{j}}\right)}
mit
Ψ
j
=
−
ln
Y
j
=
−
ln
(
1
+
t
j
)
α
=
−
β
μ
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\Psi }_{j}}=-\ln {{Y}_{j}}=-\ln \left(1+{{t}_{j}}\right)\\&\alpha =-\beta \mu \\\end{aligned}}}
folgt:
⟨
N
j
⟩
=
∂
Ψ
j
∂
α
=
1
β
∂
∂
μ
ln
Y
j
=
t
j
1
+
t
j
=
1
t
j
−
1
+
1
{\displaystyle \left\langle {{N}_{j}}\right\rangle ={\frac {\partial {{\Psi }_{j}}}{\partial \alpha }}={\frac {1}{\beta }}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\ln {{Y}_{j}}={\frac {{t}_{j}}{1+{{t}_{j}}}}={\frac {1}{{{t}_{j}}^{-1}+1}}}
Also:
⇒
⟨
N
j
⟩
=
1
exp
(
E
j
−
μ
k
T
)
+
1
{\displaystyle \Rightarrow \left\langle {{N}_{j}}\right\rangle ={\frac {1}{\exp \left({\frac {{{E}_{j}}-\mu }{kT}}\right)+1}}}
Die Fermi-Verteilung!
Dies folgt auch explizit aus
⟨
N
j
⟩
=
∑
N
1
=
0
1
∑
N
2
=
0
1
.
.
.
{
N
j
t
1
N
1
1
+
t
1
.
.
.
t
j
N
j
1
+
t
j
.
.
.
.
}
=
∑
N
j
=
0
1
N
j
.
t
j
N
j
1
+
t
j
=
0
t
j
0
+
1
t
j
1
+
t
j
=
t
j
1
+
t
j
{\displaystyle \left\langle {{N}_{j}}\right\rangle =\sum \limits _{{{N}_{1}}=0}^{1}{}\sum \limits _{{{N}_{2}}=0}^{1}{}...\left\{{{N}_{j}}{\frac {{{t}_{1}}^{{N}_{1}}}{1+{{t}_{1}}}}...{\frac {{{t}_{j}}^{{N}_{j}}}{1+{{t}_{j}}}}....\right\}=\sum \limits _{{{N}_{j}}=0}^{1}{}{{N}_{j}}.{\frac {{{t}_{j}}^{{N}_{j}}}{1+{{t}_{j}}}}={\frac {0{{t}_{j}}^{0}+1{{t}_{j}}}{1+{{t}_{j}}}}={\frac {{t}_{j}}{1+{{t}_{j}}}}}
speziell folgt dies auch aus
⟨
N
j
⟩
=
p
(
N
j
=
1
)
=
t
j
1
+
t
j
{\displaystyle \left\langle {{N}_{j}}\right\rangle =p\left({{N}_{j}}=1\right)={\frac {{t}_{j}}{1+{{t}_{j}}}}}
aber nur wegen Nj = 0,1
2 Möglichkeiten ! → Mittelwert liegt in der Mitte
rechts besetzte und links unbesetzte Zustände
FJ:
Nj:=1/(1+exp((Ej-mue)/Boltz));
1
Nj := ---------------------
1 + exp(1/5 Ej - 1/5)
> Boltz:=5;
Boltz := 5
> mue:=1;
mue := 1
* plot(Nj,Ej=0..50);]]
Für T → 0
⟨
N
j
⟩
→
Θ
(
μ
−
E
j
)
{\displaystyle \left\langle {{N}_{j}}\right\rangle \to \Theta \left(\mu -{{E}_{j}}\right)}
(Stufenfunktion), sogenannter Quantenlimes !
T>0
Aufweichungszone bei
E
j
~
μ
{\displaystyle {{E}_{j}}{\tilde {\ }}\mu }
der Breite
≈
k
T
{\displaystyle \approx kT}
E
j
−
μ
>>
k
T
{\displaystyle {{E}_{j}}-\mu >>kT}
(sehr hohe Energien) →
⟨
N
j
⟩
~
exp
(
−
E
j
−
μ
k
T
)
{\displaystyle \left\langle {{N}_{j}}\right\rangle {\tilde {\ }}\exp \left(-{\frac {{{E}_{j}}-\mu }{kT}}\right)}
die Fermiverteilung nähert sich der Boltzmann- Verteilung an ( klassischer Grenzfall !!)
keine Berücksichtigung des Pauli- Prinzips mehr !
Beispiel einer Maxwell- Boltzmann- Verteilung sehr hoher Energien !
Gesamte mittlere Teilchenzahl
N
¯
=
∑
j
=
1
l
⟨
N
j
⟩
{\displaystyle {\bar {N}}=\sum \limits _{j=1}^{l}{}\left\langle {{N}_{j}}\right\rangle }
thermische Zustandsgleichung
p
V
=
k
T
ln
Y
=
k
T
∑
j
=
1
l
ln
Y
i
=
k
T
∑
j
=
1
l
ln
(
1
+
exp
(
β
(
μ
−
E
j
)
)
)
{\displaystyle pV=kT\ln Y=kT\sum \limits _{j=1}^{l}{}\ln {{Y}_{i}}=kT\sum \limits _{j=1}^{l}{}\ln \left(1+\exp \left(\beta \left(\mu -{{E}_{j}}\right)\right)\right)}
Energie und Zustandsdichte freier Teilchen
Energie- Eigenwerte:
E
j
=
k
¯
2
ℏ
2
2
m
{\displaystyle {{E}_{j}}={\frac {{{\bar {k}}^{2}}{{\hbar }^{2}}}{2m}}}
Das System sei in einem Würfel V = L³ eingeschlossen !
Zyklische Randbedingungen ( Born - v. Karman):
Ψ
j
(
r
¯
)
=
1
V
e
i
k
¯
r
¯
k
a
L
=
2
π
n
a
n
a
=
±
1
,
±
2
,
±
3....
a
=
1
,
2
,
3
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\Psi }_{j}}\left({\bar {r}}\right)={\frac {1}{\sqrt {V}}}{{e}^{i{\bar {k}}{\bar {r}}}}\\&{{k}_{a}}L=2\pi {{n}_{a}}\\&{{n}_{a}}=\pm 1,\pm 2,\pm 3....\\&a=1,2,3\\\end{aligned}}}
Ein Zustand im k- Raum beansprucht also das Volumen:
(
Δ
k
)
3
=
(
2
π
L
)
3
Δ
n
1
Δ
n
2
Δ
n
3
=
(
2
π
L
)
3
=
(
8
π
3
V
)
{\displaystyle {{\left(\Delta k\right)}^{3}}={{\left({\frac {2\pi }{L}}\right)}^{3}}\Delta {{n}_{1}}\Delta {{n}_{2}}\Delta {{n}_{3}}={{\left({\frac {2\pi }{L}}\right)}^{3}}=\left({\frac {8{{\pi }^{3}}}{V}}\right)}
Dabei wurde jedoch kein Spin berücksichtigt !
Thermodynamischer limes ( großes Volumen V):
Übergang zum Quasikontinuum:
∑
j
→
(
V
8
π
3
)
∫
d
3
k
p
¯
=
ℏ
k
¯
→
∑
j
→
(
V
8
π
3
ℏ
3
)
∫
d
3
p
=
(
V
h
3
)
∫
d
3
p
{\displaystyle {\begin{aligned}&\sum \limits _{j}{}\to \left({\frac {V}{8{{\pi }^{3}}}}\right)\int _{}^{}{}{{d}^{3}}k\\&{\bar {p}}=\hbar {\bar {k}}\\&\to \sum \limits _{j}{}\to \left({\frac {V}{8{{\pi }^{3}}{{\hbar }^{3}}}}\right)\int _{}^{}{}{{d}^{3}}p=\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)\int _{}^{}{}{{d}^{3}}p\\\end{aligned}}}
In Übereinstimmung mit Kapitel 4.1, Seite 100
Spinentartung:
(2s+1)- fache Entartung !
Kugelsymmetrisches Integral:
→
∑
j
→
(
V
8
π
3
ℏ
3
)
∫
d
3
p
=
(
V
h
3
)
∫
d
3
p
=
(
2
s
+
1
)
(
V
h
3
)
4
π
∫
p
2
d
p
{\displaystyle \to \sum \limits _{j}{}\to \left({\frac {V}{8{{\pi }^{3}}{{\hbar }^{3}}}}\right)\int _{}^{}{}{{d}^{3}}p=\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)\int _{}^{}{}{{d}^{3}}p=\left(2s+1\right)\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi \int _{}^{}{}{{p}^{2}}dp}
Großkanonische Zustandssumme:
ln
Y
=
∑
j
ln
(
1
+
ξ
e
−
β
E
j
)
ξ
:=
e
β
μ
{\displaystyle {\begin{aligned}&\ln Y=\sum \limits _{j}{}\ln \left(1+\xi {{e}^{-\beta {{E}_{j}}}}\right)\\&\xi :={{e}^{\beta \mu }}\\\end{aligned}}}
sogenannte Fugizität !
ln
Y
=
∑
j
ln
(
1
+
ξ
e
−
β
E
j
)
≈
(
2
s
+
1
)
(
V
h
3
)
4
π
∫
0
∞
p
2
d
p
ln
(
1
+
ξ
e
−
β
E
j
)
=
(
2
s
+
1
)
(
V
h
3
)
4
π
∫
0
∞
p
2
d
p
ln
(
1
+
ξ
e
−
β
p
2
2
m
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&\ln Y=\sum \limits _{j}{}\ln \left(1+\xi {{e}^{-\beta {{E}_{j}}}}\right)\\&\approx \left(2s+1\right)\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi \int _{0}^{\infty }{}{{p}^{2}}dp\ln \left(1+\xi {{e}^{-\beta {{E}_{j}}}}\right)=\left(2s+1\right)\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi \int _{0}^{\infty }{}{{p}^{2}}dp\ln \left(1+\xi {{e}^{-\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}\right)\\\end{aligned}}}
Partielle Integration:
ln
Y
≈
(
2
s
+
1
)
(
V
h
3
)
4
π
∫
0
∞
p
2
d
p
ln
(
1
+
ξ
e
−
β
p
2
2
m
)
=
(
2
s
+
1
)
(
V
h
3
)
4
π
[
(
p
3
3
ln
(
1
+
ξ
e
−
β
p
2
2
m
)
)
|
0
∞
−
∫
0
∞
p
3
3
−
β
p
m
ξ
e
−
β
p
2
2
m
(
1
+
ξ
e
−
β
p
2
2
m
)
d
p
]
(
p
3
3
ln
(
1
+
ξ
e
−
β
p
2
2
m
)
)
|
0
∞
=
0
⇒
ln
Y
=
−
(
2
s
+
1
)
(
V
h
3
)
4
π
∫
0
∞
p
3
3
−
β
p
m
ξ
e
−
β
p
2
2
m
(
1
+
ξ
e
−
β
p
2
2
m
)
d
p
=
2
3
(
2
s
+
1
)
(
V
h
3
)
4
π
∫
0
∞
d
p
p
2
β
p
2
2
m
(
1
ξ
e
β
p
2
2
m
+
1
)
=
2
3
β
(
2
s
+
1
)
(
V
h
3
)
4
π
∫
0
∞
d
p
p
2
⟨
N
(
p
)
⟩
p
2
2
m
{\displaystyle {\begin{aligned}&\ln Y\approx \left(2s+1\right)\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi \int _{0}^{\infty }{}{{p}^{2}}dp\ln \left(1+\xi {{e}^{-\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}\right)\\&=\left(2s+1\right)\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi \left[\left.\left({\frac {{p}^{3}}{3}}\ln \left(1+\xi {{e}^{-\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}\right)\right)\right|_{0}^{\infty }-\int _{0}^{\infty }{}{{\frac {p}{3}}^{3}}{\frac {-\beta {\frac {p}{m}}\xi {{e}^{-\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}}{\left(1+\xi {{e}^{-\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}\right)}}dp\right]\\&\left.\left({\frac {{p}^{3}}{3}}\ln \left(1+\xi {{e}^{-\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}\right)\right)\right|_{0}^{\infty }=0\\&\Rightarrow \ln Y=-\left(2s+1\right)\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi \int _{0}^{\infty }{}{{\frac {p}{3}}^{3}}{\frac {-\beta {\frac {p}{m}}\xi {{e}^{-\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}}{\left(1+\xi {{e}^{-\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}\right)}}dp={\frac {2}{3}}\left(2s+1\right)\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi \int _{0}^{\infty }{}dp{{p}^{2}}{\frac {\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}{\left({\frac {1}{\xi }}{{e}^{\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}+1\right)}}\\&={\frac {2}{3}}\beta \left(2s+1\right)\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi \int _{0}^{\infty }{}dp{{p}^{2}}\left\langle N(p)\right\rangle {\frac {{p}^{2}}{2m}}\\\end{aligned}}}
Mit der Fermi- Verteilung
⟨
N
(
p
)
⟩
{\displaystyle \left\langle N(p)\right\rangle }
, also:
ln
Y
=
2
3
β
(
2
s
+
1
)
(
V
h
3
)
4
π
∫
0
∞
d
p
p
2
⟨
N
(
p
)
⟩
E
(
p
)
{\displaystyle \ln Y={\frac {2}{3}}\beta \left(2s+1\right)\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi \int _{0}^{\infty }{}dp{{p}^{2}}\left\langle N(p)\right\rangle E(p)}
Diskret:
ln
Y
=
2
3
β
∑
j
=
1
l
⟨
N
j
⟩
E
j
=
2
3
β
U
U
=
⟨
E
g
e
s
.
⟩
{\displaystyle {\begin{aligned}&\ln Y={\frac {2}{3}}\beta \sum \limits _{j=1}^{l}{}\left\langle {{N}_{j}}\right\rangle {{E}_{j}}={\frac {2}{3}}\beta U\\&U=\left\langle {{E}^{ges.}}\right\rangle \\\end{aligned}}}
Somit haben wir die thermische Zustands-Gleichung
p
V
=
k
T
ln
Y
=
2
3
U
=
2
3
⟨
E
g
e
s
.
⟩
{\displaystyle pV=kT\ln Y={\frac {2}{3}}U={\frac {2}{3}}\left\langle {{E}^{ges.}}\right\rangle }
Bemerkungen
Dies gilt auch für ein klassisches ideales Gas !
Klassisch:
p
V
=
N
¯
k
T
U
=
3
2
N
¯
k
T
⇒
p
V
=
2
3
U
{\displaystyle {\begin{aligned}&pV={\bar {N}}kT\\&U={\frac {3}{2}}{\bar {N}}kT\\&\Rightarrow pV={\frac {2}{3}}U\\\end{aligned}}}
Später werden wir sehen: Das gilt auch für Bose- Verteilung !!
Also unabhängig von der speziellen Statistik !
Entartetes Fermi-Gas
Klassischer Grenzfall der Fermi- Verteilung:
⟨
N
(
p
)
⟩
=
1
(
1
ξ
e
β
p
2
2
m
+
1
)
≈
ξ
e
−
β
p
2
2
m
{\displaystyle \left\langle N\left(p\right)\right\rangle ={\frac {1}{\left({\frac {1}{\xi }}{{e}^{\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}+1\right)}}\approx \xi {{e}^{-\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}}
( Maxwell- Boltzmann- Verteilung)
für
ξ
=
e
μ
k
T
<<
1
⇒
μ
<
0
{\displaystyle \xi ={{e}^{\frac {\mu }{kT}}}<<1\Rightarrow \mu <0}
( stark verdünnt)
klassischer Limes !
Merke positives chemisches Potenzial ist ein QM- Grenzfall !!
Nichtklassischer Grenzfall ( "Fermi- Entartung ")
Für
ξ
>>
1
{\displaystyle \xi >>1}
( Grenzfall hoher Dichte !)
Gesamte Teilchenzahl:
N
¯
=
(
2
s
+
1
)
(
V
h
3
)
4
π
∫
0
∞
d
p
p
2
1
(
e
β
(
p
2
2
m
−
μ
)
+
1
)
{\displaystyle {\bar {N}}=\left(2s+1\right)\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi \int _{0}^{\infty }{}dp{{p}^{2}}{\frac {1}{\left({{e}^{\beta \left({\frac {{p}^{2}}{2m}}-\mu \right)}}+1\right)}}}
Innere Energie:
U
=
(
2
s
+
1
)
(
V
h
3
)
4
π
∫
0
∞
d
p
p
2
p
2
2
m
(
e
β
(
p
2
2
m
−
μ
)
+
1
)
{\displaystyle U=\left(2s+1\right)\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi \int _{0}^{\infty }{}dp{{p}^{2}}{\frac {\frac {{p}^{2}}{2m}}{\left({{e}^{\beta \left({\frac {{p}^{2}}{2m}}-\mu \right)}}+1\right)}}}
Substitution
p
2
2
m
k
T
=
y
p
d
p
=
m
k
T
d
y
μ
k
T
=
η
=
−
α
N
¯
=
(
2
s
+
1
)
2
(
V
h
3
)
4
π
(
2
m
k
T
)
3
2
∫
0
∞
d
y
y
1
2
(
e
y
−
η
+
1
)
U
=
(
2
s
+
1
)
2
(
V
h
3
)
4
π
(
2
m
k
T
)
3
2
k
T
∫
0
∞
d
y
y
3
2
(
e
y
−
η
+
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {{p}^{2}}{2mkT}}=y\\&pdp=mkTdy\\&{\frac {\mu }{kT}}=\eta =-\alpha \\&{\bar {N}}={\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2mkT\right)}^{\frac {3}{2}}}\int _{0}^{\infty }{}dy{\frac {{y}^{\frac {1}{2}}}{\left({{e}^{y-\eta }}+1\right)}}\\&U={\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2mkT\right)}^{\frac {3}{2}}}kT\int _{0}^{\infty }{}dy{\frac {{y}^{\frac {3}{2}}}{\left({{e}^{y-\eta }}+1\right)}}\\\end{aligned}}}
Definition: Fermi- Dirac- Integral der Ordnung s:
F
s
(
η
)
:=
1
Γ
(
s
+
1
)
∫
0
∞
d
y
y
s
(
e
y
−
η
+
1
)
s
>
0
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{F}_{s}}\left(\eta \right):={\frac {1}{\Gamma \left(s+1\right)}}\int _{0}^{\infty }{}dy{\frac {{y}^{s}}{\left({{e}^{y-\eta }}+1\right)}}\\&s>0\\\end{aligned}}}
Entwicklung für
η
>>
1
⇒
ξ
>>
1
{\displaystyle \eta >>1\Rightarrow \xi >>1}
, also Entartung:
Γ
(
s
+
1
)
F
s
(
η
)
:=
∫
0
∞
d
y
y
s
(
e
y
−
η
+
1
)
=
1
s
+
1
∫
0
∞
d
y
d
d
y
(
y
s
+
1
)
1
(
e
y
−
η
+
1
)
=
1
s
+
1
[
(
y
s
+
1
)
1
(
e
y
−
η
+
1
)
]
|
0
∞
+
1
s
+
1
∫
0
∞
d
y
y
s
+
1
e
y
−
η
(
e
y
−
η
+
1
)
2
1
s
+
1
[
(
y
s
+
1
)
1
(
e
y
−
η
+
1
)
]
|
0
∞
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma \left(s+1\right){{F}_{s}}\left(\eta \right):=\int _{0}^{\infty }{}dy{\frac {{y}^{s}}{\left({{e}^{y-\eta }}+1\right)}}={\frac {1}{s+1}}\int _{0}^{\infty }{}dy{\frac {d}{dy}}\left({{y}^{s+1}}\right){\frac {1}{\left({{e}^{y-\eta }}+1\right)}}\\&={\frac {1}{s+1}}\left.\left[\left({{y}^{s+1}}\right){\frac {1}{\left({{e}^{y-\eta }}+1\right)}}\right]\right|_{0}^{\infty }+{\frac {1}{s+1}}\int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{s+1}}{\frac {{e}^{y-\eta }}{{\left({{e}^{y-\eta }}+1\right)}^{2}}}\\&{\frac {1}{s+1}}\left.\left[\left({{y}^{s+1}}\right){\frac {1}{\left({{e}^{y-\eta }}+1\right)}}\right]\right|_{0}^{\infty }=0\\\end{aligned}}}
weitere Substitution:
x
=
y
−
η
⇒
Γ
(
s
+
1
)
F
s
(
η
)
=
1
s
+
1
∫
0
∞
d
y
y
s
+
1
e
y
−
η
(
e
y
−
η
+
1
)
2
=
1
s
+
1
∫
−
η
∞
d
x
(
x
+
η
)
s
+
1
e
x
(
e
x
+
1
)
2
η
>>
1
{\displaystyle {\begin{aligned}&x=y-\eta \\&\Rightarrow \Gamma \left(s+1\right){{F}_{s}}\left(\eta \right)={\frac {1}{s+1}}\int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{s+1}}{\frac {{e}^{y-\eta }}{{\left({{e}^{y-\eta }}+1\right)}^{2}}}={\frac {1}{s+1}}\int _{-\eta }^{\infty }{}dx{{\left(x+\eta \right)}^{s+1}}{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}\\&\eta >>1\\\end{aligned}}}
Somit kann man die Grenzen erweitern, da
η
>>
1
{\displaystyle \eta >>1}
x
=
y
−
η
⇒
Γ
(
s
+
1
)
F
s
(
η
)
=
1
s
+
1
∫
−
η
∞
d
x
(
x
+
η
)
s
+
1
e
x
(
e
x
+
1
)
2
≈
1
s
+
1
∫
−
∞
∞
d
x
(
x
+
η
)
s
+
1
e
x
(
e
x
+
1
)
2
+
O
(
e
−
η
)
O
(
e
−
η
)
<<
1
{\displaystyle {\begin{aligned}&x=y-\eta \\&\Rightarrow \Gamma \left(s+1\right){{F}_{s}}\left(\eta \right)={\frac {1}{s+1}}\int _{-\eta }^{\infty }{}dx{{\left(x+\eta \right)}^{s+1}}{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}\approx {\frac {1}{s+1}}\int _{-\infty }^{\infty }{}dx{{\left(x+\eta \right)}^{s+1}}{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}+O\left({{e}^{-\eta }}\right)\\&O\left({{e}^{-\eta }}\right)<<1\\\end{aligned}}}
Dies kann man durch Entwicklung von
(
x
+
η
)
s
+
1
{\displaystyle {{\left(x+\eta \right)}^{s+1}}}
lösen:
(
x
+
η
)
s
+
1
≈
(
η
)
s
+
1
+
(
s
+
1
)
(
η
)
s
x
+
s
(
s
+
1
)
2
(
η
)
s
−
1
x
2
+
.
.
.
.
{\displaystyle {{\left(x+\eta \right)}^{s+1}}\approx {{\left(\eta \right)}^{s+1}}+\left(s+1\right){{\left(\eta \right)}^{s}}x+{\frac {s\left(s+1\right)}{2}}{{\left(\eta \right)}^{s-1}}{{x}^{2}}+....}
Somit:
Γ
(
s
+
1
)
F
s
(
η
)
=
1
s
+
1
∫
−
η
∞
d
x
(
x
+
η
)
s
+
1
e
x
(
e
x
+
1
)
2
≈
1
s
+
1
∫
−
∞
∞
d
x
(
x
+
η
)
s
+
1
e
x
(
e
x
+
1
)
2
+
O
(
e
−
η
)
≈
1
s
+
1
∫
−
∞
∞
d
x
(
η
)
s
+
1
e
x
(
e
x
+
1
)
2
+
∫
−
∞
∞
d
x
(
η
)
s
x
e
x
(
e
x
+
1
)
2
+
s
2
∫
−
∞
∞
d
x
(
η
)
s
−
1
x
2
e
x
(
e
x
+
1
)
2
=
(
η
)
s
+
1
s
+
1
∫
−
∞
∞
d
x
e
x
(
e
x
+
1
)
2
+
(
η
)
s
∫
−
∞
∞
d
x
x
e
x
(
e
x
+
1
)
2
+
s
2
(
η
)
s
−
1
∫
−
∞
∞
d
x
x
2
e
x
(
e
x
+
1
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma \left(s+1\right){{F}_{s}}\left(\eta \right)={\frac {1}{s+1}}\int _{-\eta }^{\infty }{}dx{{\left(x+\eta \right)}^{s+1}}{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}\approx {\frac {1}{s+1}}\int _{-\infty }^{\infty }{}dx{{\left(x+\eta \right)}^{s+1}}{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}+O\left({{e}^{-\eta }}\right)\\&\approx {\frac {1}{s+1}}\int _{-\infty }^{\infty }{}dx{{\left(\eta \right)}^{s+1}}{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}+\int _{-\infty }^{\infty }{}dx{{\left(\eta \right)}^{s}}x{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}+{\frac {s}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }{}dx{{\left(\eta \right)}^{s-1}}{{x}^{2}}{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}\\&={\frac {{\left(\eta \right)}^{s+1}}{s+1}}\int _{-\infty }^{\infty }{}dx{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}+{{\left(\eta \right)}^{s}}\int _{-\infty }^{\infty }{}dx{\frac {x{{e}^{x}}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}+{\frac {s}{2}}{{\left(\eta \right)}^{s-1}}\int _{-\infty }^{\infty }{}dx{{x}^{2}}{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}\\\end{aligned}}}
Für die Terme gilt im Einzelnen:
∫
−
∞
∞
d
x
e
x
(
e
x
+
1
)
2
=
[
−
1
(
e
x
+
1
)
]
−
∞
∞
=
1
∫
−
∞
∞
d
x
x
e
x
(
e
x
+
1
)
2
=
0
d
a
I
n
t
e
g
r
a
n
d
u
n
g
e
r
a
d
e
∫
−
∞
∞
d
x
x
2
e
x
(
e
x
+
1
)
2
:=
I
{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{-\infty }^{\infty }{}dx{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}=\left[{\frac {-1}{\left({{e}^{x}}+1\right)}}\right]_{-\infty }^{\infty }=1\\&\int _{-\infty }^{\infty }{}dx{\frac {x{{e}^{x}}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}=0\quad da\ Integrand\ ungerade\\&\int _{-\infty }^{\infty }{}dx{{x}^{2}}{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}:=I\\\end{aligned}}}
Bleibt Integral I zu lösen:
I
=
∫
−
∞
∞
d
x
x
2
e
x
(
e
x
+
1
)
2
=
2
∫
0
∞
d
x
x
2
e
x
(
e
x
+
1
)
2
=
−
2
[
x
2
1
(
e
x
+
1
)
]
0
∞
+
4
∫
0
∞
d
x
x
(
e
x
+
1
)
[
x
2
1
(
e
x
+
1
)
]
0
∞
=
0
∫
0
∞
d
x
x
(
e
x
+
1
)
=
π
2
12
⇒
I
=
π
2
3
{\displaystyle {\begin{aligned}&I=\int _{-\infty }^{\infty }{}dx{{x}^{2}}{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}=2\int _{0}^{\infty }{}dx{{x}^{2}}{\frac {{e}^{x}}{{\left({{e}^{x}}+1\right)}^{2}}}=-2\left[{{x}^{2}}{\frac {1}{\left({{e}^{x}}+1\right)}}\right]_{0}^{\infty }+4\int _{0}^{\infty }{}dx{\frac {x}{\left({{e}^{x}}+1\right)}}\\&\left[{{x}^{2}}{\frac {1}{\left({{e}^{x}}+1\right)}}\right]_{0}^{\infty }=0\\&\int _{0}^{\infty }{}dx{\frac {x}{\left({{e}^{x}}+1\right)}}={\frac {{\pi }^{2}}{12}}\\&\Rightarrow I={\frac {{\pi }^{2}}{3}}\\\end{aligned}}}
Somit ergibt sich das Fermi- Dirac- Integral gemäß
Γ
(
s
+
1
)
F
s
(
η
)
≈
(
η
)
s
+
1
s
+
1
+
s
2
(
η
)
s
−
1
π
2
3
Γ
(
s
+
1
)
F
s
(
η
)
=
(
η
)
s
+
1
s
+
1
+
s
2
(
η
)
s
−
1
π
2
3
+
O
(
(
η
)
s
−
3
)
⇒
F
s
(
η
)
=
1
Γ
(
s
+
1
)
[
(
η
)
s
+
1
s
+
1
+
s
π
2
6
(
η
)
s
−
1
+
O
(
(
η
)
s
−
3
)
]
{\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma \left(s+1\right){{F}_{s}}\left(\eta \right)\approx {\frac {{\left(\eta \right)}^{s+1}}{s+1}}+{\frac {s}{2}}{{\left(\eta \right)}^{s-1}}{\frac {{\pi }^{2}}{3}}\\&\Gamma \left(s+1\right){{F}_{s}}\left(\eta \right)={\frac {{\left(\eta \right)}^{s+1}}{s+1}}+{\frac {s}{2}}{{\left(\eta \right)}^{s-1}}{\frac {{\pi }^{2}}{3}}+O\left({{\left(\eta \right)}^{s-3}}\right)\\&\Rightarrow {{F}_{s}}\left(\eta \right)={\frac {1}{\Gamma \left(s+1\right)}}\left[{\frac {{\left(\eta \right)}^{s+1}}{s+1}}+{\frac {s{{\pi }^{2}}}{6}}{{\left(\eta \right)}^{s-1}}+O\left({{\left(\eta \right)}^{s-3}}\right)\right]\\\end{aligned}}}
Speziell:
F
1
2
(
η
)
≈
2
π
[
(
η
)
3
2
3
2
+
π
2
12
(
η
)
−
1
2
]
F
3
2
(
η
)
≈
4
3
π
[
(
η
)
5
2
5
2
+
π
2
4
(
η
)
1
2
]
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{F}_{\frac {1}{2}}}\left(\eta \right)\approx {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left[{\frac {{\left(\eta \right)}^{\frac {3}{2}}}{\frac {3}{2}}}+{\frac {{\pi }^{2}}{12}}{{\left(\eta \right)}^{-{\frac {1}{2}}}}\right]\\&{{F}_{\frac {3}{2}}}\left(\eta \right)\approx {\frac {4}{3{\sqrt {\pi }}}}\left[{\frac {{\left(\eta \right)}^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+{\frac {{\pi }^{2}}{4}}{{\left(\eta \right)}^{\frac {1}{2}}}\right]\\\end{aligned}}}
Also:
N
¯
=
(
2
s
+
1
)
2
(
V
h
3
)
4
π
(
2
m
k
T
)
3
2
∫
0
∞
d
y
y
1
2
(
e
y
−
η
+
1
)
=
(
2
s
+
1
)
2
(
V
h
3
)
4
π
(
2
m
k
T
)
3
2
[
2
3
(
μ
k
T
)
3
2
+
π
2
12
(
μ
k
T
)
−
1
2
]
⇒
N
¯
=
2
3
(
2
s
+
1
)
2
(
V
h
3
)
4
π
(
2
m
μ
)
3
2
[
1
+
π
2
8
(
k
T
μ
)
2
]
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\bar {N}}={\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2mkT\right)}^{\frac {3}{2}}}\int _{0}^{\infty }{}dy{\frac {{y}^{\frac {1}{2}}}{\left({{e}^{y-\eta }}+1\right)}}={\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2mkT\right)}^{\frac {3}{2}}}\left[{\frac {2}{3}}{{\left({\frac {\mu }{kT}}\right)}^{\frac {3}{2}}}+{\frac {{\pi }^{2}}{12}}{{\left({\frac {\mu }{kT}}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}}\right]\\&\Rightarrow {\bar {N}}={\frac {2}{3}}{\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2m\mu \right)}^{\frac {3}{2}}}\left[1+{\frac {{\pi }^{2}}{8}}{{\left({\frac {kT}{\mu }}\right)}^{2}}\right]\\\end{aligned}}}
Definition: Fermi- Energie:
E
F
:=
μ
(
T
=
0
,
N
¯
,
V
)
{\displaystyle {{E}_{F}}:=\mu \left(T=0,{\bar {N}},V\right)}
Bei T= 0 Kelvin sind die Zustände mit
E
<
E
F
{\displaystyle E<{{E}_{F}}}
voll besetzt, die anderen leer !
Wir können dann
μ
(
T
=
0
,
N
¯
,
V
)
{\displaystyle \mu \left(T=0,{\bar {N}},V\right)}
durch
E
F
{\displaystyle {{E}_{F}}}
und
N
¯
{\displaystyle {\bar {N}}}
eliminieren:
T→0
N
¯
=
2
3
(
2
s
+
1
)
2
(
V
h
3
)
4
π
(
2
m
μ
)
3
2
[
1
+
π
2
8
(
k
T
μ
)
2
]
=
2
3
(
2
s
+
1
)
2
(
V
h
3
)
4
π
(
2
m
E
F
)
3
2
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\bar {N}}={\frac {2}{3}}{\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2m\mu \right)}^{\frac {3}{2}}}\left[1+{\frac {{\pi }^{2}}{8}}{{\left({\frac {kT}{\mu }}\right)}^{2}}\right]={\frac {2}{3}}{\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2m{{E}_{F}}\right)}^{\frac {3}{2}}}\\&\\\end{aligned}}}
Für größere Temperaturen T>0 wird nun
N
¯
=
2
3
(
2
s
+
1
)
2
(
V
h
3
)
4
π
(
2
m
E
F
)
3
2
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\bar {N}}={\frac {2}{3}}{\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2m{{E}_{F}}\right)}^{\frac {3}{2}}}\\&\\\end{aligned}}}
in niedrigster Ordnung in
k
T
E
F
{\displaystyle {\frac {kT}{{E}_{F}}}}
entwickelt und diese Entwicklung dann eingesetzt in die Formel
N
¯
=
2
3
(
2
s
+
1
)
2
(
V
h
3
)
4
π
(
2
m
μ
)
3
2
[
1
+
π
2
8
(
k
T
μ
)
2
]
=
2
3
(
2
s
+
1
)
2
(
V
h
3
)
4
π
(
2
m
E
F
)
3
2
⇒
(
μ
)
3
2
[
1
+
π
2
8
(
k
T
μ
)
2
]
≈
(
E
F
)
3
2
⇒
μ
≈
E
F
[
1
+
π
2
8
(
k
T
μ
)
2
]
−
2
3
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\bar {N}}={\frac {2}{3}}{\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2m\mu \right)}^{\frac {3}{2}}}\left[1+{\frac {{\pi }^{2}}{8}}{{\left({\frac {kT}{\mu }}\right)}^{2}}\right]={\frac {2}{3}}{\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2m{{E}_{F}}\right)}^{\frac {3}{2}}}\\&\Rightarrow {{\left(\mu \right)}^{\frac {3}{2}}}\left[1+{\frac {{\pi }^{2}}{8}}{{\left({\frac {kT}{\mu }}\right)}^{2}}\right]\approx {{\left({{E}_{F}}\right)}^{\frac {3}{2}}}\\&\Rightarrow \mu \approx {{E}_{F}}{{\left[1+{\frac {{\pi }^{2}}{8}}{{\left({\frac {kT}{\mu }}\right)}^{2}}\right]}^{-{\frac {2}{3}}}}\\\end{aligned}}}
Jetzt wird in niedrigster Ordnung in
k
T
E
F
{\displaystyle {\frac {kT}{{E}_{F}}}}
entwickelt:
Das heißt, für kT=1 zeigt µ über Ef etwa folgenden verlauf:
die Kurve wird für höhere Temperaturen immer weiter auseinandergedehnt !
Innere Energie
U
=
(
2
s
+
1
)
2
(
V
h
3
)
4
π
(
2
m
k
T
)
3
2
k
T
∫
0
∞
d
y
y
3
2
(
e
y
−
η
+
1
)
F
3
2
(
η
)
≈
4
3
π
[
(
η
)
5
2
5
2
+
π
2
4
(
η
)
1
2
]
{\displaystyle {\begin{aligned}&U={\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2mkT\right)}^{\frac {3}{2}}}kT\int _{0}^{\infty }{}dy{\frac {{y}^{\frac {3}{2}}}{\left({{e}^{y-\eta }}+1\right)}}\\&{{F}_{\frac {3}{2}}}\left(\eta \right)\approx {\frac {4}{3{\sqrt {\pi }}}}\left[{\frac {{\left(\eta \right)}^{\frac {5}{2}}}{\frac {5}{2}}}+{\frac {{\pi }^{2}}{4}}{{\left(\eta \right)}^{\frac {1}{2}}}\right]\\\end{aligned}}}
Also:
U
=
(
2
s
+
1
)
2
(
V
h
3
)
4
π
(
2
m
)
3
2
(
k
T
)
5
2
[
2
5
(
μ
k
T
)
5
2
+
π
2
4
(
μ
k
T
)
1
2
]
=
2
5
(
V
h
3
)
4
π
(
2
s
+
1
)
2
(
2
m
)
3
2
(
μ
)
5
2
[
1
+
5
2
π
2
4
(
k
T
μ
)
2
]
{\displaystyle {\begin{aligned}&U={\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2m\right)}^{\frac {3}{2}}}{{\left(kT\right)}^{\frac {5}{2}}}\left[{\frac {2}{5}}{{\left({\frac {\mu }{kT}}\right)}^{\frac {5}{2}}}+{\frac {{\pi }^{2}}{4}}{{\left({\frac {\mu }{kT}}\right)}^{\frac {1}{2}}}\right]\\&={\frac {2}{5}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {\frac {\left(2s+1\right)}{2}}{{\left(2m\right)}^{\frac {3}{2}}}{{\left(\mu \right)}^{\frac {5}{2}}}\left[1+{\frac {5}{2}}{\frac {{\pi }^{2}}{4}}{{\left({\frac {kT}{\mu }}\right)}^{2}}\right]\\\end{aligned}}}
Verwende:
So dass:
U
=
2
5
(
V
h
3
)
4
π
(
2
s
+
1
)
2
(
2
m
)
3
2
(
μ
)
5
2
[
1
+
5
2
π
2
4
(
k
T
μ
)
2
]
≈
2
5
(
V
h
3
)
4
π
(
2
s
+
1
)
2
(
2
m
)
3
2
(
E
F
)
5
2
[
1
−
π
2
12
(
k
T
E
F
)
2
]
5
2
[
1
+
5
2
π
2
4
(
k
T
E
F
)
2
]
{\displaystyle {\begin{aligned}&U={\frac {2}{5}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {\frac {\left(2s+1\right)}{2}}{{\left(2m\right)}^{\frac {3}{2}}}{{\left(\mu \right)}^{\frac {5}{2}}}\left[1+{\frac {5}{2}}{\frac {{\pi }^{2}}{4}}{{\left({\frac {kT}{\mu }}\right)}^{2}}\right]\\&\approx {\frac {2}{5}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {\frac {\left(2s+1\right)}{2}}{{\left(2m\right)}^{\frac {3}{2}}}{{\left({{E}_{F}}\right)}^{\frac {5}{2}}}{{\left[1-{\frac {{\pi }^{2}}{12}}{{\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)}^{2}}\right]}^{\frac {5}{2}}}\left[1+{\frac {5}{2}}{\frac {{\pi }^{2}}{4}}{{\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)}^{2}}\right]\\\end{aligned}}}
Mit
N
¯
=
2
3
(
2
s
+
1
)
2
(
V
h
3
)
4
π
(
2
m
E
F
)
3
2
{\displaystyle {\bar {N}}={\frac {2}{3}}{\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2m{{E}_{F}}\right)}^{\frac {3}{2}}}}
folgt:
U
≈
2
5
(
V
h
3
)
4
π
(
2
s
+
1
)
2
(
2
m
)
3
2
(
E
F
)
5
2
[
1
−
π
2
12
(
k
T
E
F
)
2
]
5
2
[
1
+
5
2
π
2
4
(
k
T
E
F
)
2
]
2
5
(
V
h
3
)
4
π
(
2
s
+
1
)
2
(
2
m
)
3
2
(
E
F
)
5
2
≈
3
5
N
¯
E
F
[
1
−
π
2
12
(
k
T
E
F
)
2
]
5
2
[
1
+
5
2
π
2
4
(
k
T
E
F
)
2
]
≈
1
+
5
π
2
12
(
k
T
E
F
)
2
⇒
U
≈
3
5
N
¯
E
F
[
1
+
5
π
2
12
(
k
T
E
F
)
2
]
{\displaystyle {\begin{aligned}&U\approx {\frac {2}{5}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {\frac {\left(2s+1\right)}{2}}{{\left(2m\right)}^{\frac {3}{2}}}{{\left({{E}_{F}}\right)}^{\frac {5}{2}}}{{\left[1-{\frac {{\pi }^{2}}{12}}{{\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)}^{2}}\right]}^{\frac {5}{2}}}\left[1+{\frac {5}{2}}{\frac {{\pi }^{2}}{4}}{{\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)}^{2}}\right]\\&{\frac {2}{5}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {\frac {\left(2s+1\right)}{2}}{{\left(2m\right)}^{\frac {3}{2}}}{{\left({{E}_{F}}\right)}^{\frac {5}{2}}}\approx {\frac {3}{5}}{\bar {N}}{{E}_{F}}\\&{{\left[1-{\frac {{\pi }^{2}}{12}}{{\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)}^{2}}\right]}^{\frac {5}{2}}}\left[1+{\frac {5}{2}}{\frac {{\pi }^{2}}{4}}{{\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)}^{2}}\right]\approx 1+5{\frac {{\pi }^{2}}{12}}{{\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)}^{2}}\\&\Rightarrow U\approx {\frac {3}{5}}{\bar {N}}{{E}_{F}}\left[1+5{\frac {{\pi }^{2}}{12}}{{\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)}^{2}}\right]\\\end{aligned}}}
Somit haben wir die kalorische Zustandsgleichung
U
≈
3
5
N
¯
E
F
[
1
+
5
π
2
12
(
k
T
E
F
)
2
]
{\displaystyle U\approx {\frac {3}{5}}{\bar {N}}{{E}_{F}}\left[1+5{\frac {{\pi }^{2}}{12}}{{\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)}^{2}}\right]}
und die thermische Zustandsgleichung
p
V
=
2
3
U
≈
2
5
N
¯
E
F
[
1
+
5
π
2
12
(
k
T
E
F
)
2
]
{\displaystyle pV={\frac {2}{3}}U\approx {\frac {2}{5}}{\bar {N}}{{E}_{F}}\left[1+5{\frac {{\pi }^{2}}{12}}{{\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)}^{2}}\right]}
Das bedeutet:
Der Druck des fermigases ist um einen Faktor
E
F
k
T
{\displaystyle {\frac {{E}_{F}}{kT}}}
größer als in klassischen idealen Gasen
Beispiel:
E
F
≈
1
e
V
⇒
T
~
10
4
K
{\displaystyle {{E}_{F}}\approx 1eV\Rightarrow T{\tilde {\ }}{{10}^{4}}K}
1 eV entspricht 10.000 K !!
Grund ist das Pauli- Prinzip !!
Also eine effektive Abstoßung der Teilchen ! Dies bewirkt für niedrige Temperaturen den enormen Faktor
E
F
k
T
{\displaystyle {\frac {{E}_{F}}{kT}}}
, mit dem der Druck gegenüber dem idealen Gas zu multiplizieren ist.
Für sehr hohe Temperaturen überwiegt dann der hintere teil, und es gilt:
Der Fermidruck ist etwa
p
V
=
2
3
U
≈
2
5
N
¯
E
F
5
π
2
12
(
k
T
E
F
)
2
=
π
2
6
N
¯
k
T
(
k
T
E
F
)
{\displaystyle pV={\frac {2}{3}}U\approx {\frac {2}{5}}{\bar {N}}{{E}_{F}}5{\frac {{\pi }^{2}}{12}}{{\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)}^{2}}={\frac {{\pi }^{2}}{6}}{\bar {N}}kT\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)}
Also auch größer als beim klassischen idealen Gas, nämlich um den Faktor
(
k
T
E
F
)
{\displaystyle \left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)}
!
Spezifische Wärme
C
V
=
(
∂
U
∂
T
)
V
=
π
2
2
N
¯
k
(
k
T
E
F
)
c
V
=
π
2
2
R
(
k
T
E
F
)
~
T
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{C}_{V}}={{\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)}_{V}}={\frac {{\pi }^{2}}{2}}{\bar {N}}k\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)\\&{{c}_{V}}={\frac {{\pi }^{2}}{2}}R\left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right){\tilde {\ }}T\\\end{aligned}}}
Die Wärmekapazität ist sage und schreibe um den Faktor
(
k
T
E
F
)
{\displaystyle \left({\frac {kT}{{E}_{F}}}\right)}
kleiner als bei idealen gasen.
Bei T ~ 300 K ist dies 1/ 40 !
ideales Gas:
c
V
=
3
2
R
{\displaystyle {{c}_{V}}={\frac {3}{2}}R}
Physikalsicher Grund:
Nur die Teilchen in der " Aufweichungszone"
E
F
−
k
T
<
E
<
E
F
+
k
T
{\displaystyle {{E}_{F}}-kT<E<{{E}_{F}}+kT}
tragen zur spezifischen Wärme bei , da nur sie in freie Zustände thermisch angeregt werden könen :
Zahl:
Δ
N
~
N
¯
k
T
E
F
{\displaystyle \Delta N{\tilde {\ }}{\bar {N}}{\frac {kT}{{E}_{F}}}}
jedes hat Energie ~ kT
⇒
Δ
U
~
N
¯
(
k
T
)
2
E
F
⇒
C
v
~
N
¯
k
(
k
T
)
E
F
{\displaystyle {\begin{aligned}&\Rightarrow \Delta U{\tilde {\ }}{\bar {N}}{\frac {{\left(kT\right)}^{2}}{{E}_{F}}}\\&\Rightarrow {{C}_{v}}{\tilde {\ }}{\bar {N}}k{\frac {\left(kT\right)}{{E}_{F}}}\\\end{aligned}}}
Beispiele für entartete Fermigase
Elektronen in Metallen → hohe Dichten !
Elektronen in Halbleitern, bei sehr tiefen Temperaturen oder hoher Dotierung!
Nichtenatartetes fermigas
verdünntes, nichtrelativistisches Quantengas !
z.B. Elektronen in Halbleitern im Normalbereich !
Voraussetzung:
ξ
=
e
μ
k
T
<<
1
{\displaystyle \xi ={{e}^{\frac {\mu }{kT}}}<<1}
das heißt:
μ
<
0
η
=
μ
k
T
<
0
{\displaystyle {\begin{aligned}&\mu <0\\&\eta ={\frac {\mu }{kT}}<0\\\end{aligned}}}
Entwicklung der Fermi- Dirac- Integrale nach Potenzen von
ξ
=
e
μ
k
T
<<
1
{\displaystyle \xi ={{e}^{\frac {\mu }{kT}}}<<1}
F
s
(
η
)
=
1
Γ
(
s
+
1
)
∫
0
∞
d
y
y
s
e
y
−
η
+
1
=
1
Γ
(
s
+
1
)
∫
0
∞
d
y
y
s
ξ
e
−
y
1
+
ξ
e
−
y
≈
1
Γ
(
s
+
1
)
[
ξ
∫
0
∞
d
y
y
s
e
−
y
−
ξ
2
∫
0
∞
d
y
y
s
e
−
2
y
+
.
.
.
.
]
∫
0
∞
d
y
y
s
e
−
y
=
Γ
(
s
+
1
)
∫
0
∞
d
y
y
s
e
−
2
y
=
1
2
s
+
1
∫
0
∞
d
z
z
s
e
−
z
=
1
2
s
+
1
Γ
(
s
+
1
)
⇒
F
s
(
η
)
≈
[
ξ
−
ξ
2
1
2
s
+
1
+
.
.
.
.
]
≈
[
ξ
−
ξ
2
1
2
s
+
1
]
=
e
μ
k
T
[
1
−
e
μ
k
T
1
2
s
+
1
]
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{F}_{s}}\left(\eta \right)={\frac {1}{\Gamma \left(s+1\right)}}\int _{0}^{\infty }{}dy{\frac {{y}^{s}}{{{e}^{y-\eta }}+1}}\\&={\frac {1}{\Gamma \left(s+1\right)}}\int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{s}}{\frac {\xi {{e}^{-y}}}{1+\xi {{e}^{-y}}}}\approx {\frac {1}{\Gamma \left(s+1\right)}}\left[\xi \int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{s}}{{e}^{-y}}-{{\xi }^{2}}\int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{s}}{{e}^{-2y}}+....\right]\\&\int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{s}}{{e}^{-y}}=\Gamma \left(s+1\right)\\&\int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{s}}{{e}^{-2y}}={\frac {1}{{2}^{s+1}}}\int _{0}^{\infty }{}dz{{z}^{s}}{{e}^{-z}}={\frac {1}{{2}^{s+1}}}\Gamma \left(s+1\right)\\&\Rightarrow {{F}_{s}}\left(\eta \right)\approx \left[\xi -{{\xi }^{2}}{\frac {1}{{2}^{s+1}}}+....\right]\approx \left[\xi -{{\xi }^{2}}{\frac {1}{{2}^{s+1}}}\right]={{e}^{\frac {\mu }{kT}}}\left[1-{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}{\frac {1}{{2}^{s+1}}}\right]\\\end{aligned}}}
Dabei ist
F
s
(
η
)
=
e
μ
k
T
{\displaystyle {{F}_{s}}\left(\eta \right)={{e}^{\frac {\mu }{kT}}}}
das Boltzman- Limit mit der Quantenkorrektur
−
e
2
μ
k
T
1
2
s
+
1
{\displaystyle -{{e}^{2{\frac {\mu }{kT}}}}{\frac {1}{{2}^{s+1}}}}
Also:
N
¯
=
(
2
s
+
1
)
2
(
V
h
3
)
4
π
(
2
m
k
T
)
3
2
π
2
F
1
2
(
η
)
=
V
N
C
F
1
2
(
μ
k
T
)
{\displaystyle {\bar {N}}={\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2mkT\right)}^{\frac {3}{2}}}{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}{{F}_{\frac {1}{2}}}\left(\eta \right)=V{{N}_{C}}{{F}_{\frac {1}{2}}}\left({\frac {\mu }{kT}}\right)}
mit der Entartungskonzentration
N
C
:=
(
2
s
+
1
)
(
2
π
m
k
T
h
2
)
3
2
{\displaystyle {{N}_{C}}:=\left(2s+1\right){{\left({\frac {2\pi mkT}{{h}^{2}}}\right)}^{\frac {3}{2}}}}
Also genähert:
N
¯
=
V
N
C
F
1
2
(
μ
k
T
)
≈
V
N
C
e
μ
k
T
[
1
−
e
μ
k
T
1
2
3
2
]
{\displaystyle {\bar {N}}=V{{N}_{C}}{{F}_{\frac {1}{2}}}\left({\frac {\mu }{kT}}\right)\approx V{{N}_{C}}{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}\left[1-{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}{\frac {1}{{2}^{\frac {3}{2}}}}\right]}
Bei vollständiger Nichtentartung:
N
¯
V
≈
N
C
e
μ
k
T
e
μ
k
T
<<
1
N
¯
V
<<
N
C
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\bar {N}}{V}}\approx {{N}_{C}}{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}\\&{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}<<1\\&{\frac {\bar {N}}{V}}<<{{N}_{C}}\\\end{aligned}}}
Die klassische Maxwell- Boltzmann- Verteilung ( vergl. S. 101)
U
=
(
2
s
+
1
)
2
(
V
h
3
)
4
π
(
2
m
k
T
)
3
2
k
T
∫
0
∞
d
y
y
3
2
(
e
y
−
η
+
1
)
=
(
2
s
+
1
)
2
(
V
h
3
)
4
π
(
2
m
k
T
)
3
2
k
T
3
π
4
F
3
2
(
μ
k
T
)
U
=
V
N
C
3
2
k
T
F
3
2
(
μ
k
T
)
U
≈
V
N
C
3
2
k
T
e
μ
k
T
[
1
−
e
μ
k
T
1
2
5
2
]
{\displaystyle {\begin{aligned}&U={\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2mkT\right)}^{\frac {3}{2}}}kT\int _{0}^{\infty }{}dy{\frac {{y}^{\frac {3}{2}}}{\left({{e}^{y-\eta }}+1\right)}}={\frac {\left(2s+1\right)}{2}}\left({\frac {V}{{h}^{3}}}\right)4\pi {{\left(2mkT\right)}^{\frac {3}{2}}}kT{\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}{{F}_{\frac {3}{2}}}\left({\frac {\mu }{kT}}\right)\\&U=V{{N}_{C}}{\frac {3}{2}}kT{{F}_{\frac {3}{2}}}\left({\frac {\mu }{kT}}\right)\\&U\approx V{{N}_{C}}{\frac {3}{2}}kT{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}\left[1-{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}{\frac {1}{{2}^{\frac {5}{2}}}}\right]\\\end{aligned}}}
Elimination von
μ
{\displaystyle \mu }
durch
N
¯
=
V
N
C
F
1
2
(
μ
k
T
)
≈
V
N
C
ξ
[
1
−
ξ
2
−
3
2
]
{\displaystyle {\bar {N}}=V{{N}_{C}}{{F}_{\frac {1}{2}}}\left({\frac {\mu }{kT}}\right)\approx V{{N}_{C}}\xi \left[1-\xi {{2}^{-{\frac {3}{2}}}}\right]}
Näherung:
N
¯
=
V
N
C
ξ
{\displaystyle {\bar {N}}=V{{N}_{C}}\xi }
Näherung
N
¯
=
V
N
C
ξ
[
1
−
2
−
3
2
N
¯
V
N
C
]
⇒
ξ
=
e
μ
k
T
≈
N
¯
V
N
C
[
1
+
2
−
3
2
N
¯
V
N
C
]
⇒
U
≈
V
N
C
3
2
k
T
e
μ
k
T
[
1
−
e
μ
k
T
1
2
5
2
]
≈
3
2
k
T
N
¯
[
1
+
2
−
3
2
N
¯
V
N
C
]
[
1
−
1
2
5
2
N
¯
V
N
C
]
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\bar {N}}=V{{N}_{C}}\xi \left[1-{{2}^{-{\frac {3}{2}}}}{\frac {\bar {N}}{V{{N}_{C}}}}\right]\\&\Rightarrow \xi ={{e}^{\frac {\mu }{kT}}}\approx {\frac {\bar {N}}{V{{N}_{C}}}}\left[1+{{2}^{-{\frac {3}{2}}}}{\frac {\bar {N}}{V{{N}_{C}}}}\right]\\&\Rightarrow U\approx V{{N}_{C}}{\frac {3}{2}}kT{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}\left[1-{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}{\frac {1}{{2}^{\frac {5}{2}}}}\right]\approx {\frac {3}{2}}kT{\bar {N}}\left[1+{{2}^{-{\frac {3}{2}}}}{\frac {\bar {N}}{V{{N}_{C}}}}\right]\left[1-{\frac {1}{{2}^{\frac {5}{2}}}}{\frac {\bar {N}}{V{{N}_{C}}}}\right]\\\end{aligned}}}
U
≈
3
2
k
T
N
¯
[
1
+
2
−
5
2
N
¯
V
N
C
(
T
)
]
{\displaystyle U\approx {\frac {3}{2}}kT{\bar {N}}\left[1+{{2}^{-{\frac {5}{2}}}}{\frac {\bar {N}}{V{{N}_{C}}(T)}}\right]}
Dabei wurden alle Terme der Ordnung
(
N
¯
V
N
C
(
T
)
)
2
{\displaystyle {{\left({\frac {\bar {N}}{V{{N}_{C}}(T)}}\right)}^{2}}}
weggenähert !
Also:
kalorische Zustandsgleichung
U
≈
3
2
k
T
N
¯
[
1
+
2
−
5
2
N
¯
V
N
C
(
T
)
]
{\displaystyle U\approx {\frac {3}{2}}kT{\bar {N}}\left[1+{{2}^{-{\frac {5}{2}}}}{\frac {\bar {N}}{V{{N}_{C}}(T)}}\right]}
mit der Quantenkorrektur
O
(
N
¯
V
N
C
(
T
)
)
{\displaystyle O\left({\frac {\bar {N}}{V{{N}_{C}}(T)}}\right)}
3
2
k
T
N
¯
2
−
5
2
N
¯
V
N
C
(
T
)
{\displaystyle {\frac {3}{2}}kT{\bar {N}}{{2}^{-{\frac {5}{2}}}}{\frac {\bar {N}}{V{{N}_{C}}(T)}}}
thermische Zustandsgleichung
p
V
=
2
3
U
≈
k
T
N
¯
[
1
+
2
−
5
2
N
¯
V
N
C
(
T
)
]
{\displaystyle pV={\frac {2}{3}}U\approx kT{\bar {N}}\left[1+{{2}^{-{\frac {5}{2}}}}{\frac {\bar {N}}{V{{N}_{C}}(T)}}\right]}
Also:
p
v
≈
R
T
[
1
+
2
−
5
2
N
A
v
N
C
(
T
)
]
{\displaystyle pv\approx RT\left[1+{{2}^{-{\frac {5}{2}}}}{\frac {{N}_{A}}{v{{N}_{C}}(T)}}\right]}
Dabei ist
p
v
≈
R
T
{\displaystyle pv\approx RT}
die Zustandsgleichung des klassischen idealen Gases und
R
T
2
−
5
2
N
A
v
N
C
(
T
)
{\displaystyle RT{{2}^{-{\frac {5}{2}}}}{\frac {{N}_{A}}{v{{N}_{C}}(T)}}}
eine Erhöhung des klassischen Drucks durch die Fermi- Abstoßung !
Nebenbemerkung:
Mit der thermischen Wellenlänge
λ
:=
(
h
2
2
π
m
k
T
)
1
2
{\displaystyle \lambda :={{\left({\frac {{h}^{2}}{2\pi mkT}}\right)}^{\frac {1}{2}}}}
entsprechend der de Broglie- Wellenlänge für
k
2
ℏ
2
2
m
~
k
T
⇒
λ
=
(
h
2
2
m
k
T
)
1
2
{\displaystyle {\frac {{{k}^{2}}{{\hbar }^{2}}}{2m}}{\tilde {\ }}kT\Rightarrow \lambda ={{\left({\frac {{h}^{2}}{2mkT}}\right)}^{\frac {1}{2}}}}
E= kT also, schreibt man:
N
C
=
2
s
+
1
λ
3
{\displaystyle {{N}_{C}}={\frac {2s+1}{{\lambda }^{3}}}}
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