Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Das ideale Bosegas basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 3) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Rechnung geht analog zum Fermigas, nur dass die Besetzungszahlen Nj bis unendlich laufen können:
Die geometrische Reihe konvergiert genau dann, wenn
, also wenn
à Bose - Einstein- Kondensation erfolgt bereits, wenn Ej=µ !
Somit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, die Besetzungszahlen N1, N2, .... der Einteilchenzustände E1, E2,.... zu finden:
Mittlere Besetzungszahl im Zustand Ej:
0.1.1 Bose- Verteilung
Die Bose- Verteilung folgt auch explizit aus
Die Verteilung divergiert für Ej → µ. Das heißt: Die Zustandssumme Yj divergiert für Ej→µ
Vergleich aller drei Verteilungen:
mit k=-1 → Fermi - Dirac- Statistik
k=0 → Maxwell- Boltzmann
k= + 1 → Bose - Einstein !
Übergang zum Quasikontinuum der Zustände:
Fugazität:
somit folgt:
also identisch zum fermigas ! ( S. 131)
0.1.2 Verdünntes Bosegas
( quasiklassischer, nicht entarteter Grenzfall)
Nebenbemerkung: Entartetetes Bosegas hoher Dichte kann nicht wie im Fermifall behandelt werden, da die Zustandssumme für Ej < µ divergiert !
Entwicklung nach Potenzen von
also:
Gesamte Teilchenzahl:
Wobei wieder die thermische Wellenlänge eingesetzt wurde.
Auch hier:
als Quantenkorrektur
Elimination von
durch
0. Näherung:
1. Näherung:
Innere Energie:
Also folgt als kalorische Zustandsgleichung:
Mit der Quantenkorrektur
thermische Zustandsgleichung
Hier wird der Druck um die Quantenkorrektur
verringert.
Dies ist die sogenannte Bose- Anziehung ! → Bildung von Bose - Einstein- Kondensaten !
0.1.3 Bose- Einstein- Kondensation
Grundzustand des Bosegases: Eo=0 ( Verschiebung der Achse geeignet )
Somit:
Fugazität
Die mittlere Besetzungszahl dieses Quantenzustandes kann makroskopisch groß werden für
( alle Teilchen kondensieren im grundzustand )
Allgemein:
1) Normale Phase:
ist vernachlässigbar ! → verdünntes Bosegas, siehe oben, S. 140 ff.
2) kondensierte Phase
unabhängig von
!
Kontinuierlicher Fall:
Vergl. S. 141
Dabei ist dies der NICHT kondensierte Anteil, eine normale Komponente, die sich wie verdünntes Bosegas verhält !
Die kritische Temperatur ist definiert durch
Somit ergibt sich der Bruchteil der Kondensierten Teilchen:
Das markierte Gebiet ist das Gebiet der Bose- Einstein-Kondensation !
Bei zweikomponentigen Gasen liegt eine normale und ein kondensierte Komponente vor.
Dann wird der Druck nur durch die normale Komponente alleine bestimmt !
Vergleiche dazu auch: Dampfdruck über einer Flüssigkeit !
Phasenübegang bei
normale Phase - >Kondensierte Phase
Vorgang der Bose- Einstein- Kondensation
è ein makroskopisches Quantenphänomen !
Anwendung:
Die suprafluide Phase von
bei tiefen Temperaturen ähnelt einer 2- komponentigen Flüssigkeit aus normaler und kondensierter Komponente !