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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| Die geometrische Reihe konvergiert genau dann, wenn <math>{{t}_{j}}<1</math> | | Die geometrische Reihe konvergiert genau dann, wenn <math>{{t}_{j}}<1</math>, |
| , also wenn <math>{{E}_{j}}>\mu </math>
| | also wenn <math>{{E}_{j}}>\mu </math> |
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| à Bose - Einstein- Kondensation erfolgt bereits, wenn Ej=µ ! | | à Bose - Einstein- Kondensation erfolgt bereits, wenn Ej=µ! |
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| Somit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, die Besetzungszahlen N1, N2, .... der Einteilchenzustände E1, E2,.... zu finden: | | Somit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, die Besetzungszahlen N1, N2,.... der Einteilchenzustände E1, E2,.... zu finden: |
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| :<math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| mit k=-1 → Fermi - Dirac- Statistik | | mit k=-1 → Fermi - Dirac- Statistik |
| k=0 → Maxwell- Boltzmann | | k=0 → Maxwell- Boltzmann |
| k= + 1 → Bose - Einstein ! | | k= + 1 → Bose - Einstein! |
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| :<math>pV=kT\ln Y=\frac{2}{3}U</math> | | :<math>pV=kT\ln Y=\frac{2}{3}U</math> |
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| also identisch zum fermigas ! ( S. 131) | | also identisch zum fermigas! (S. 131) |
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| 0.1.2 Verdünntes Bosegas | | 0.1.2 Verdünntes Bosegas |
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| ( quasiklassischer, nicht entarteter Grenzfall) | | (quasiklassischer, nicht entarteter Grenzfall) |
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| Nebenbemerkung: Entartetetes Bosegas hoher Dichte kann nicht wie im Fermifall behandelt werden, da die Zustandssumme für Ej < µ divergiert ! | | Nebenbemerkung: Entartetetes Bosegas hoher Dichte kann nicht wie im Fermifall behandelt werden, da die Zustandssumme für Ej < µ divergiert! |
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| Entwicklung nach Potenzen von | | Entwicklung nach Potenzen von |
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| :<math>\Delta pV=-kT\bar{N}\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}\frac{{{\lambda }^{3}}}{V\left( 2s+1 \right)}\bar{N}</math> | | :<math>\Delta pV=-kT\bar{N}\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}\frac{{{\lambda }^{3}}}{V\left( 2s+1 \right)}\bar{N}</math> |
| verringert. | | verringert. |
| Dies ist die sogenannte Bose- Anziehung ! → Bildung von Bose - Einstein- Kondensaten ! | | Dies ist die sogenannte Bose- Anziehung! → Bildung von Bose - Einstein- Kondensaten! |
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| 0.1.3 Bose- Einstein- Kondensation | | 0.1.3 Bose- Einstein- Kondensation |
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| Grundzustand des Bosegases: Eo=0 ( Verschiebung der Achse geeignet ) | | Grundzustand des Bosegases: Eo=0 (Verschiebung der Achse geeignet) |
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| Somit: | | Somit: |
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| :<math>\left\langle {{N}_{0}} \right\rangle \approx \bar{N}</math> | | :<math>\left\langle {{N}_{0}} \right\rangle \approx \bar{N}</math> |
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| ( alle Teilchen kondensieren im grundzustand ) | | (alle Teilchen kondensieren im grundzustand) |
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| Allgemein: | | Allgemein: |
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| :<math>\left\langle {{N}_{0}} \right\rangle </math> | | :<math>\left\langle {{N}_{0}} \right\rangle </math> |
| ist vernachlässigbar ! → verdünntes Bosegas, siehe oben, S. 140 ff. | | ist vernachlässigbar! → verdünntes Bosegas, siehe oben, S. 140 ff. |
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| 2) kondensierte Phase | | 2) kondensierte Phase |
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| unabhängig von <math>\xi ={{e}^{\beta \mu }}</math> | | unabhängig von <math>\xi ={{e}^{\beta \mu }}</math> |
| !
| | ! |
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| Kontinuierlicher Fall: | | Kontinuierlicher Fall: |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| Dabei ist dies der NICHT kondensierte Anteil, eine normale Komponente, die sich wie verdünntes Bosegas verhält ! | | Dabei ist dies der NICHT kondensierte Anteil, eine normale Komponente, die sich wie verdünntes Bosegas verhält! |
| :<math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
| & \frac{N\acute{\ }}{V}=\frac{\left( 2s+1 \right)}{{{\lambda }^{3}}}\tilde{\ }{{T}^{\frac{3}{2}}} \\ | | & \frac{N\acute{\ }}{V}=\frac{\left( 2s+1 \right)}{{{\lambda }^{3}}}\tilde{\ }{{T}^{\frac{3}{2}}} \\ |
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| Das markierte Gebiet ist das Gebiet der Bose- Einstein-Kondensation ! | | Das markierte Gebiet ist das Gebiet der Bose- Einstein-Kondensation! |
| Bei zweikomponentigen Gasen liegt eine normale und ein kondensierte Komponente vor. | | Bei zweikomponentigen Gasen liegt eine normale und ein kondensierte Komponente vor. |
| Dann wird der Druck nur durch die normale Komponente alleine bestimmt ! | | Dann wird der Druck nur durch die normale Komponente alleine bestimmt! |
| Vergleiche dazu auch: Dampfdruck über einer Flüssigkeit ! | | Vergleiche dazu auch: Dampfdruck über einer Flüssigkeit! |
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| Phasenübegang bei <math>{{T}_{C}}</math> | | Phasenübegang bei <math>{{T}_{C}}</math> |
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| normale Phase - >Kondensierte Phase | | normale Phase - >Kondensierte Phase |
| Vorgang der Bose- Einstein- Kondensation | | Vorgang der Bose- Einstein- Kondensation |
| è ein makroskopisches Quantenphänomen ! | | è ein makroskopisches Quantenphänomen! |
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| Anwendung: | | Anwendung: |
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| Die suprafluide Phase von <math>^{4}He</math> | | Die suprafluide Phase von <math>^{4}He</math> |
| bei tiefen Temperaturen ähnelt einer 2- komponentigen Flüssigkeit aus normaler und kondensierter Komponente ! | | bei tiefen Temperaturen ähnelt einer 2- komponentigen Flüssigkeit aus normaler und kondensierter Komponente! |
Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Das ideale Bosegas basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 3) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Rechnung geht analog zum Fermigas, nur dass die Besetzungszahlen Nj bis unendlich laufen können:
Die geometrische Reihe konvergiert genau dann, wenn ,
also wenn
à Bose - Einstein- Kondensation erfolgt bereits, wenn Ej=µ!
Somit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, die Besetzungszahlen N1, N2,.... der Einteilchenzustände E1, E2,.... zu finden:
Mittlere Besetzungszahl im Zustand Ej:
0.1.1 Bose- Verteilung
Die Bose- Verteilung folgt auch explizit aus
Die Verteilung divergiert für Ej → µ. Das heißt: Die Zustandssumme Yj divergiert für Ej→µ
Vergleich aller drei Verteilungen:
mit k=-1 → Fermi - Dirac- Statistik
k=0 → Maxwell- Boltzmann
k= + 1 → Bose - Einstein!
Übergang zum Quasikontinuum der Zustände:
Fugazität:
somit folgt:
also identisch zum fermigas! (S. 131)
0.1.2 Verdünntes Bosegas
(quasiklassischer, nicht entarteter Grenzfall)
Nebenbemerkung: Entartetetes Bosegas hoher Dichte kann nicht wie im Fermifall behandelt werden, da die Zustandssumme für Ej < µ divergiert!
Entwicklung nach Potenzen von
also:
Gesamte Teilchenzahl:
Wobei wieder die thermische Wellenlänge eingesetzt wurde.
Auch hier:
als Quantenkorrektur
Elimination von
durch
0. Näherung:
1. Näherung:
Innere Energie:
Also folgt als kalorische Zustandsgleichung:
Mit der Quantenkorrektur
thermische Zustandsgleichung
Hier wird der Druck um die Quantenkorrektur
verringert.
Dies ist die sogenannte Bose- Anziehung! → Bildung von Bose - Einstein- Kondensaten!
0.1.3 Bose- Einstein- Kondensation
Grundzustand des Bosegases: Eo=0 (Verschiebung der Achse geeignet)
Somit:
Fugazität
Die mittlere Besetzungszahl dieses Quantenzustandes kann makroskopisch groß werden für
(alle Teilchen kondensieren im grundzustand)
Allgemein:
1) Normale Phase:
ist vernachlässigbar! → verdünntes Bosegas, siehe oben, S. 140 ff.
2) kondensierte Phase
unabhängig von
!
Kontinuierlicher Fall:
Vergl. S. 141
Dabei ist dies der NICHT kondensierte Anteil, eine normale Komponente, die sich wie verdünntes Bosegas verhält!
Die kritische Temperatur ist definiert durch
Somit ergibt sich der Bruchteil der Kondensierten Teilchen:
Das markierte Gebiet ist das Gebiet der Bose- Einstein-Kondensation!
Bei zweikomponentigen Gasen liegt eine normale und ein kondensierte Komponente vor.
Dann wird der Druck nur durch die normale Komponente alleine bestimmt!
Vergleiche dazu auch: Dampfdruck über einer Flüssigkeit!
Phasenübegang bei
normale Phase - >Kondensierte Phase
Vorgang der Bose- Einstein- Kondensation
è ein makroskopisches Quantenphänomen!
Anwendung:
Die suprafluide Phase von
bei tiefen Temperaturen ähnelt einer 2- komponentigen Flüssigkeit aus normaler und kondensierter Komponente!