Das ideale Bosegas

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Das ideale Bosegas basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 3) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Das ideale Bosegas	Quantenmechanische Modellsysteme	Thermodynamik und Statistik
	Ununterscheidbarkeit quantenmechanischer Teilchen Das ideale Fermigas Das ideale Bosegas Das Photonengas im Strahlungshohlraum Spezifische Wärme zweiatomiger idealer Gase Spezifische Wärme von Festkörpern Paramagnetismus Ferromagnetismus	Grundlagen der Statistik Statistische Begründung der Gleichgewichtsthermodynamik Phänomenologische Thermodynamik Klassische Modellsysteme Quantenmechanische Modellsysteme

Rechnung geht analog zum Fermigas, nur dass die Besetzungszahlen Nj bis unendlich laufen können:

${\begin{aligned}&Y=\sum \limits _{{{N}_{1}}...{{N}_{l}}=0}^{\infty }{}\exp \left(-\beta \sum \limits _{j=1}^{l}{}\left({{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}}\right)\right)=\prod \limits _{j=1}^{l}{}\left(\sum \limits _{{{N}_{j}}=0}^{\infty }{}\exp \left(-\beta \left({{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}}\right)\right)\right)\\&=\prod \limits _{j=1}^{l}{}\left(\sum \limits _{{{N}_{j}}=0}^{\infty }{}{{t}_{j}}^{{N}_{j}}\right)\\&{{t}_{j}}:=\exp \left(-\beta \left({{E}_{j}}-\mu \right)\right)\\&Y=\prod \limits _{j=1}^{l}{}{\frac {1}{1-{{t}_{j}}}}=\prod \limits _{j=1}^{l}{}{{Y}_{j}}\\\end{aligned}}$

Die geometrische Reihe konvergiert genau dann, wenn ${{t}_{j}}<1$ , also wenn ${{E}_{j}}>\mu$

 Bose - Einstein- Kondensation erfolgt bereits, wenn Ej=µ !

Somit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, die Besetzungszahlen N1, N2, .... der Einteilchenzustände E1, E2,.... zu finden:

${\begin{aligned}&P\left({{N}_{1}},{{N}_{2}},...\right)={{Y}^{-1}}\exp \left(-\beta \left({{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}}\right)\right)=\prod \limits _{j=1}^{l}{}\left(1-{{t}_{j}}\right){{t}_{j}}^{{N}_{j}}=\prod \limits _{j=1}^{l}{}p\left({{N}_{j}}\right)\\&(separiert)\\&\\&p\left({{N}_{j}}\right)=\left(1-{{t}_{j}}\right){{t}_{j}}^{{N}_{j}}=\left(1-\exp \left(\beta \left(\mu -{{E}_{j}}\right)\right)\right)\exp \left(-\beta \left({{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}}\right)\right)\\&1-\exp \left(\beta \left(\mu -{{E}_{j}}\right)\right):={{e}^{{\Psi }_{j}}}\\&p\left({{N}_{j}}\right)={{e}^{{\Psi }_{j}}}\exp \left(-\beta \left({{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}}\right)\right)\\\end{aligned}}$

Mittlere Besetzungszahl im Zustand Ej:

${\begin{aligned}&\left\langle {{N}_{j}}\right\rangle ={\frac {\partial {{\Psi }_{j}}}{\partial \alpha }}={\frac {1}{\beta }}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\ln {{Y}_{j}}=-{\frac {1}{\beta }}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\ln \left(1-{{t}_{j}}\right)={\frac {{t}_{j}}{1-{{t}_{j}}}}={\frac {1}{{{t}_{j}}^{-1}-1}}\\&\left\langle {{N}_{j}}\right\rangle ={\frac {1}{\exp \left(\beta \left({{E}_{j}}-\mu \right)\right)-1}}={\frac {1}{\exp \left({\frac {\left({{E}_{j}}-\mu \right)}{kT}}\right)-1}}\\\end{aligned}}$

0.1.1 Bose- Verteilung

Die Bose- Verteilung folgt auch explizit aus

${\begin{aligned}&\left\langle {{N}_{j}}\right\rangle =\sum \limits _{{{N}_{j}}=0}^{\infty }{}{{N}_{j}}p({{N}_{j}})=\sum \limits _{{{N}_{j}}=0}^{\infty }{}{{N}_{j}}\left(1-{{t}_{j}}\right){{t}_{j}}^{{N}_{j}}=\left(1-{{t}_{j}}\right){{t}_{j}}{\frac {d}{d{{t}_{j}}}}\sum \limits _{{{N}_{j}}=0}^{\infty }{}{{t}_{j}}^{{N}_{j}}\\&=\left(1-{{t}_{j}}\right){{t}_{j}}{\frac {d}{d{{t}_{j}}}}\left({\frac {1}{1-{{t}_{j}}}}\right)=\left(1-{{t}_{j}}\right){{t}_{j}}\left({\frac {1}{{\left(1-{{t}_{j}}\right)}^{2}}}\right)={\frac {{t}_{j}}{\left(1-{{t}_{j}}\right)}}\\\end{aligned}}$

Die Verteilung divergiert für Ej -> µ. Das heißt: Die Zustandssumme Yj divergiert für Ej->µ

Vergleich aller drei Verteilungen:

$\left\langle {{N}_{j}}\right\rangle ={\frac {1}{\exp \left({\frac {\left({{E}_{j}}-\mu \right)}{kT}}\right)-k}}\left\{{\begin{matrix}k=1\\k=0\\k=-1\\\end{matrix}}\right.$

mit k=-1 -> Fermi - Dirac- Statistik k=0 -> Maxwell- Boltzmann k= + 1 -> Bose - Einstein !

Übergang zum Quasikontinuum der Zustände: $E={\frac {{p}^{2}}{2m}}$

Fugazität: $\xi ={{e}^{\beta \mu }}$

${\begin{aligned}&\ln Y=\prod \limits _{j=1}^{l}{}\ln {{Y}_{j}}=-\sum \limits _{j}^{}{}\ln \left(1-\zeta {{e}^{-\beta {{E}_{j}}}}\right)\\&\approx -\left(2s+1\right){\frac {4\pi V}{{h}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{}dp{{p}^{2}}\ln \left(1-\zeta {{e}^{-\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}\right)\\&=-\left(2s+1\right){\frac {4\pi V}{{h}^{3}}}\left[{\frac {{p}^{3}}{3}}\ln \left(1-\zeta {{e}^{-\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}\right)_{0}^{\infty }-\int _{0}^{\infty }{}dp{\frac {{p}^{3}}{3}}{\frac {\beta {\frac {p}{m}}\zeta {{e}^{-\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}}{\left(1-\zeta {{e}^{-\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}\right)}}\right]\\&{\frac {{p}^{3}}{3}}\ln \left(1-\zeta {{e}^{-\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}\right)_{0}^{\infty }=0\\&\Rightarrow \ln Y={\frac {2}{3}}\beta \left(2s+1\right){\frac {4\pi V}{{h}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{}dp{{p}^{2}}{\frac {\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}{\left({\frac {1}{\zeta }}{{e}^{\beta {\frac {{p}^{2}}{2m}}}}-1\right)}}={\frac {2}{3}}\beta \left(2s+1\right){\frac {V}{{h}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{}dp4\pi {{p}^{2}}\left\langle N(p)\right\rangle E(p)\\&\Rightarrow \ln Y={\frac {2}{3}}\beta \left(2s+1\right){\frac {V}{{h}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{}dp4\pi {{p}^{2}}\left\langle N(p)\right\rangle E(p)={\frac {2}{3}}\beta U\\\end{aligned}}$

somit folgt:

$pV=kT\ln Y={\frac {2}{3}}U$

also identisch zum fermigas ! ( S. 131)

0.1.2 Verdünntes Bosegas

( quasiklassischer, nicht entarteter Grenzfall)

Nebenbemerkung: Entartetetes Bosegas hoher Dichte kann nicht wie im Fermifall behandelt werden, da die Zustandssumme für Ej < µ divergiert !

Entwicklung nach Potenzen von

$\xi ={{e}^{\frac {\mu }{kT}}}<<1$

also:

$\mu <0$

Gesamte Teilchenzahl:

${\begin{aligned}&{\bar {N}}=\sum \limits _{j}^{}{}\left\langle {{N}_{j}}\right\rangle \approx \left(2s+1\right){\frac {4\pi V}{{h}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{}dp{{p}^{2}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {\left({{E}_{j}}-\mu \right)}{kT}}\right)-1}}=\left(2s+1\right){\frac {4\pi V}{{h}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{}dp{{p}^{2}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {\left({\frac {{p}^{2}}{2m}}-\mu \right)}{kT}}\right)-1}}\\&{\frac {{p}^{2}}{2mkT}}=y\\&\Rightarrow {\bar {N}}=\sum \limits _{j}^{}{}\left\langle {{N}_{j}}\right\rangle \approx \left(2s+1\right){\frac {4\pi V}{{h}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{}dp{{p}^{2}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {\left({\frac {{p}^{2}}{2m}}-\mu \right)}{kT}}\right)-1}}\\&={\frac {\left(2s+1\right)}{2}}{\frac {4\pi V}{{h}^{3}}}{{\left(2mkT\right)}^{\frac {3}{2}}}\int _{0}^{\infty }{}dy{\frac {{y}^{\frac {1}{2}}}{{{\xi }^{-1}}\exp \left(y\right)-1}}={\frac {\left(2s+1\right)}{2}}{\frac {4\pi V}{{h}^{3}}}{{\left(2mkT\right)}^{\frac {3}{2}}}\int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{\frac {1}{2}}}{\frac {\xi {{e}^{-y}}}{1-\xi {{e}^{-y}}}}\\&\int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{\frac {1}{2}}}{\frac {\xi {{e}^{-y}}}{1-\xi {{e}^{-y}}}}\approx \xi \int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{\frac {1}{2}}}{{e}^{-y}}+{{\xi }^{2}}\int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{\frac {1}{2}}}{{e}^{-2y}}+....\\&\int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{\frac {1}{2}}}{{e}^{-y}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\\&\int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{\frac {1}{2}}}{{e}^{-2y}}={\frac {1}{{2}^{\frac {5}{2}}}}{\sqrt {\pi }}\\&\Rightarrow {\bar {N}}\approx {\frac {\left(2s+1\right)}{4}}{\frac {4V}{{h}^{3}}}{{\left(2\pi mkT\right)}^{\frac {3}{2}}}\left[\xi +{\frac {1}{{2}^{\frac {3}{2}}}}{{\xi }^{2}}\right]\\&\lambda :={{\left({\frac {{h}^{2}}{2\pi mkT}}\right)}^{\frac {1}{2}}}={{\left({\frac {2s+1}{{N}_{C}}}\right)}^{\frac {1}{3}}}\\&\Rightarrow {\bar {N}}\approx \left(2s+1\right){\frac {V}{{\lambda }^{3}}}\xi \left[1+{\frac {1}{{2}^{\frac {3}{2}}}}\xi \right]=\left(2s+1\right){\frac {V}{{\lambda }^{3}}}{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}\left[1+{\frac {1}{{2}^{\frac {3}{2}}}}{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}\right]\\\end{aligned}}$

Wobei wieder die thermische Wellenlänge eingesetzt wurde. Auch hier:

$\Delta {\bar {N}}=\left(2s+1\right){\frac {V}{{\lambda }^{3}}}{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}{\frac {1}{{2}^{\frac {3}{2}}}}{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}$

als Quantenkorrektur

Elimination von $\mu$ durch ${\bar {N}}$

0. Näherung:

${\bar {N}}=\left(2s+1\right){\frac {V}{{\lambda }^{3}}}{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}$

1. Näherung:

${\begin{aligned}&{\bar {N}}=\left(2s+1\right){\frac {V}{{\lambda }^{3}}}{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}\left[1+{\frac {1}{{2}^{\frac {3}{2}}}}{\frac {{\bar {N}}{{\lambda }^{3}}}{V\left(2s+1\right)}}\right]\\&\Rightarrow {{e}^{\frac {\mu }{kT}}}\approx {\frac {{\bar {N}}{{\lambda }^{3}}}{V\left(2s+1\right)}}\left[1-{\frac {1}{{2}^{\frac {3}{2}}}}{\frac {{\bar {N}}{{\lambda }^{3}}}{V\left(2s+1\right)}}\right]\\\end{aligned}}$

Innere Energie:

${\begin{aligned}&U=\left(2s+1\right){\frac {4\pi V}{{h}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{}dp{{p}^{2}}{\frac {\frac {{p}^{2}}{2m}}{\exp \left({\frac {\left({\frac {{p}^{2}}{2m}}-\mu \right)}{kT}}\right)-1}}\\&{\frac {{p}^{2}}{2mkT}}=y\\&\Rightarrow U={\frac {\left(2s+1\right)}{2}}{\frac {4\pi V}{{h}^{3}}}{{\left(2mkT\right)}^{{\frac {3}{2}}kT}}\int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{\frac {3}{2}}}{\frac {\xi {{e}^{-y}}}{1-\xi {{e}^{-y}}}}\\&\int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{\frac {3}{2}}}{\frac {\xi {{e}^{-y}}}{1-\xi {{e}^{-y}}}}\approx \xi \int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{\frac {3}{2}}}{{e}^{-y}}+{{\xi }^{2}}\int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{\frac {1}{2}}}{{e}^{-2y}}+....\\&\int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{\frac {3}{2}}}{{e}^{-y}}={\frac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}\\&\int _{0}^{\infty }{}dy{{y}^{\frac {3}{2}}}{{e}^{-2y}}={\frac {1}{{2}^{\frac {5}{2}}}}{\frac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}\\&\Rightarrow U\approx {\frac {3}{2}}kTV{\frac {\left(2s+1\right)}{{h}^{3}}}{{\left(2\pi mkT\right)}^{\frac {3}{2}}}\left[\xi +{\frac {1}{{2}^{\frac {5}{2}}}}{{\xi }^{2}}\right]\\&\lambda :={{\left({\frac {{h}^{2}}{2\pi mkT}}\right)}^{\frac {1}{2}}}={{\left({\frac {2s+1}{{N}_{C}}}\right)}^{\frac {1}{3}}}\\&\Rightarrow U\approx {\frac {3}{2}}\left(2s+1\right){\frac {VkT}{{\lambda }^{3}}}\xi \left[1+{\frac {1}{{2}^{\frac {5}{2}}}}\xi \right]={\frac {3}{2}}\left(2s+1\right)kT{\frac {V}{{\lambda }^{3}}}{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}\left[1+{\frac {1}{{2}^{\frac {5}{2}}}}{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}\right]\\\end{aligned}}$

Also folgt als kalorische Zustandsgleichung:

${\begin{aligned}&U\approx {\frac {3}{2}}\left(2s+1\right){\frac {VkT}{{\lambda }^{3}}}\xi \left[1+{\frac {1}{{2}^{\frac {5}{2}}}}\xi \right]={\frac {3}{2}}\left(2s+1\right)kT{\frac {V}{{\lambda }^{3}}}{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}\left[1+{\frac {1}{{2}^{\frac {5}{2}}}}{{e}^{\frac {\mu }{kT}}}\right]=\\&\\&\Rightarrow U\approx {\frac {3}{2}}kT{\bar {N}}\left[1-{\frac {1}{{2}^{\frac {5}{2}}}}{\frac {{\lambda }^{3}}{V\left(2s+1\right)}}{\bar {N}}\right]\\\end{aligned}}$

Mit der Quantenkorrektur

$\Delta U\approx -{\frac {3}{2}}kT{\bar {N}}{\frac {1}{{2}^{\frac {5}{2}}}}{\frac {{\lambda }^{3}}{V\left(2s+1\right)}}{\bar {N}}$

thermische Zustandsgleichung

$pV={\frac {2}{3}}U=kT{\bar {N}}\left[1-{\frac {1}{{2}^{\frac {5}{2}}}}{\frac {{\lambda }^{3}}{V\left(2s+1\right)}}{\bar {N}}\right]$

Hier wird der Druck um die Quantenkorrektur

$\Delta pV=-kT{\bar {N}}{\frac {1}{{2}^{\frac {5}{2}}}}{\frac {{\lambda }^{3}}{V\left(2s+1\right)}}{\bar {N}}$

verringert.

Dies ist die sogenannte Bose- Anziehung ! -> Bildung von Bose - Einstein- Kondensaten !

0.1.3 Bose- Einstein- Kondensation

Grundzustand des Bosegases: Eo=0 ( Verschiebung der Achse geeignet )

Somit:

${\begin{aligned}&\left\langle {{N}_{0}}\right\rangle ={\frac {1}{{{\xi }^{-1}}-1}}={\frac {\xi }{1-\xi }}\\&\xi ={{e}^{\beta \mu }}\\\end{aligned}}$

Fugazität

Die mittlere Besetzungszahl dieses Quantenzustandes kann makroskopisch groß werden für $\xi \approx 1$

$\left\langle {{N}_{0}}\right\rangle \approx {\bar {N}}$

( alle Teilchen kondensieren im grundzustand )

Allgemein:

${\begin{aligned}&{\bar {N}}=\left\langle {{N}_{0}}\right\rangle +N{\acute {\ }}\\&N{\acute {\ }}=\sum \limits _{j>0}^{}{}\left\langle {{N}_{j}}\right\rangle \\\end{aligned}}$

1) Normale Phase:

$\xi ={{e}^{\beta \mu }}<<1$

$\left\langle {{N}_{0}}\right\rangle$

ist vernachlässigbar ! -> verdünntes Bosegas, siehe oben, S. 140 ff.

2) kondensierte Phase

$\xi \approx 1$

$N{\acute {\ }}=\sum \limits _{j>0}^{}{}{\frac {1}{{{e}^{\beta {{E}_{j}}}}-1}}<<{\bar {N}}$

unabhängig von $\xi ={{e}^{\beta \mu }}$

!

Kontinuierlicher Fall:

${\frac {N{\acute {\ }}}{V}}\approx \left(2s+1\right){\frac {2\pi }{{h}^{3}}}{{\left(2mkT\right)}^{\frac {3}{2}}}\int _{0}^{\infty }{}dy{\frac {{y}^{\frac {1}{2}}}{{{e}^{y}}-1}}\approx \left(2s+1\right){{\left({\frac {2\pi mkT}{{h}^{2}}}\right)}^{\frac {3}{2}}}{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }{}dy{{e}^{-y}}{{y}^{\frac {1}{2}}}$

Vergl. S. 141

${\begin{aligned}&{\frac {N{\acute {\ }}}{V}}\approx \left(2s+1\right){\frac {2\pi }{{h}^{3}}}{{\left(2mkT\right)}^{\frac {3}{2}}}\int _{0}^{\infty }{}dy{\frac {{y}^{\frac {1}{2}}}{{{e}^{y}}-1}}\approx \left(2s+1\right){{\left({\frac {2\pi mkT}{{h}^{2}}}\right)}^{\frac {3}{2}}}{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }{}dy{{e}^{-y}}{{y}^{\frac {1}{2}}}\\&{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }{}dy{{e}^{-y}}{{y}^{\frac {1}{2}}}=1\\&{{\left({\frac {2\pi mkT}{{h}^{2}}}\right)}^{\frac {3}{2}}}={{\lambda }^{-3}}\\\end{aligned}}$

Dabei ist dies der NICHT kondensierte Anteil, eine normale Komponente, die sich wie verdünntes Bosegas verhält !

${\begin{aligned}&{\frac {N{\acute {\ }}}{V}}={\frac {\left(2s+1\right)}{{\lambda }^{3}}}{\tilde {\ }}{{T}^{\frac {3}{2}}}\\&\Rightarrow {\frac {N{\acute {\ }}}{\bar {N}}}={{\left({\frac {T}{{T}_{C}}}\right)}^{\frac {3}{2}}}\\\end{aligned}}$

Die kritische Temperatur ist definiert durch

${\frac {V}{\bar {N}}}{\frac {\left(2s+1\right)}{\lambda {{\left({{T}_{C}}\right)}^{3}}}}=!=1$

Somit ergibt sich der Bruchteil der Kondensierten Teilchen:

${\begin{aligned}&{\frac {\left\langle {{N}_{0}}\right\rangle }{\bar {N}}}=1-{{\left({\frac {T}{{T}_{C}}}\right)}^{\frac {3}{2}}}\quad f{\ddot {u}}r\quad T<{{T}_{C}}\\&{\frac {\left\langle {{N}_{0}}\right\rangle }{\bar {N}}}=0\quad f{\ddot {u}}r\quad T>{{T}_{C}}\\\end{aligned}}$

Das markierte Gebiet ist das Gebiet der Bose- Einstein-Kondensation ! Bei zweikomponentigen Gasen liegt eine normale und ein kondensierte Komponente vor. Dann wird der Druck nur durch die normale Komponente alleine bestimmt ! Vergleiche dazu auch: Dampfdruck über einer Flüssigkeit !

Phasenübegang bei ${{T}_{C}}$

normale Phase - >Kondensierte Phase Vorgang der Bose- Einstein- Kondensation  ein makroskopisches Quantenphänomen !

Anwendung:

Die suprafluide Phase von $^{4}He$ bei tiefen Temperaturen ähnelt einer 2- komponentigen Flüssigkeit aus normaler und kondensierter Komponente !