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| Die geometrische Reihe konvergiert genau dann, wenn <math>{{t}_{j}}<1</math> | | Die geometrische Reihe konvergiert genau dann, wenn <math>{{t}_{j}}<1</math>, also wenn <math>{{E}_{j}}>\mu </math> |
| , also wenn <math>{{E}_{j}}>\mu </math> | |
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| à Bose - Einstein- Kondensation erfolgt bereits, wenn Ej=µ ! | | à Bose - Einstein- Kondensation erfolgt bereits, wenn Ej=µ! |
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| Somit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, die Besetzungszahlen N1, N2, .... der Einteilchenzustände E1, E2,.... zu finden: | | Somit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, die Besetzungszahlen N1, N2,.... der Einteilchenzustände E1, E2,.... zu finden: |
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| 0.1.1 Bose- Verteilung
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| Die Bose- Verteilung folgt auch explizit aus | | Die Bose- Verteilung folgt auch explizit aus |
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| mit k=-1 → Fermi - Dirac- Statistik | | mit k=-1 → Fermi - Dirac- Statistik |
| k=0 → Maxwell- Boltzmann | | k=0 → Maxwell- Boltzmann |
| k= + 1 → Bose - Einstein ! | | k= + 1 → Bose - Einstein! |
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| :<math>pV=kT\ln Y=\frac{2}{3}U</math> | | :<math>pV=kT\ln Y=\frac{2}{3}U</math> |
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| also identisch zum fermigas ! ( S. 131) | | also identisch zum fermigas! (S. 131) |
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| 0.1.2 Verdünntes Bosegas
| | == Verdünntes Bosegas == |
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| ( quasiklassischer, nicht entarteter Grenzfall) | | (quasiklassischer, nicht entarteter Grenzfall) |
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| Nebenbemerkung: Entartetetes Bosegas hoher Dichte kann nicht wie im Fermifall behandelt werden, da die Zustandssumme für Ej < µ divergiert ! | | Nebenbemerkung: Entartetetes Bosegas hoher Dichte kann nicht wie im Fermifall behandelt werden, da die Zustandssumme für Ej < µ divergiert! |
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| Entwicklung nach Potenzen von | | Entwicklung nach Potenzen von |
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| :<math>\Delta pV=-kT\bar{N}\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}\frac{{{\lambda }^{3}}}{V\left( 2s+1 \right)}\bar{N}</math> | | :<math>\Delta pV=-kT\bar{N}\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}\frac{{{\lambda }^{3}}}{V\left( 2s+1 \right)}\bar{N}</math> |
| verringert. | | verringert. |
| Dies ist die sogenannte Bose- Anziehung ! → Bildung von Bose - Einstein- Kondensaten ! | | Dies ist die sogenannte Bose- Anziehung! → Bildung von Bose - Einstein- Kondensaten! |
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| 0.1.3 Bose- Einstein- Kondensation
| | == Bose- Einstein- Kondensation == |
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| Grundzustand des Bosegases: Eo=0 ( Verschiebung der Achse geeignet ) | | Grundzustand des Bosegases: Eo=0 (Verschiebung der Achse geeignet) |
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| Somit: | | Somit: |
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| :<math>\left\langle {{N}_{0}} \right\rangle \approx \bar{N}</math> | | :<math>\left\langle {{N}_{0}} \right\rangle \approx \bar{N}</math> |
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| ( alle Teilchen kondensieren im grundzustand ) | | (alle Teilchen kondensieren im grundzustand) |
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| Allgemein: | | Allgemein: |
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| :<math>\left\langle {{N}_{0}} \right\rangle </math> | | :<math>\left\langle {{N}_{0}} \right\rangle </math> |
| ist vernachlässigbar ! → verdünntes Bosegas, siehe oben, S. 140 ff. | | ist vernachlässigbar! → verdünntes Bosegas, siehe oben, S. 140 ff. |
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| 2) kondensierte Phase | | 2) kondensierte Phase |
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| :<math>N\acute{\ }=\sum\limits_{j>0}^{{}}{{}}\frac{1}{{{e}^{\beta {{E}_{j}}}}-1}<<\bar{N}</math> | | :<math>N\acute{\ }=\sum\limits_{j>0}^{{}}{{}}\frac{1}{{{e}^{\beta {{E}_{j}}}}-1}<<\bar{N}</math> |
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| unabhängig von <math>\xi ={{e}^{\beta \mu }}</math> | | unabhängig von <math>\xi ={{e}^{\beta \mu }}</math>! |
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| Kontinuierlicher Fall: | | Kontinuierlicher Fall: |
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| Dabei ist dies der NICHT kondensierte Anteil, eine normale Komponente, die sich wie verdünntes Bosegas verhält ! | | Dabei ist dies der '''nicht''' kondensierte Anteil, eine normale Komponente, die sich wie verdünntes Bosegas verhält! |
| :<math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
| & \frac{N\acute{\ }}{V}=\frac{\left( 2s+1 \right)}{{{\lambda }^{3}}}\tilde{\ }{{T}^{\frac{3}{2}}} \\ | | & \frac{N\acute{\ }}{V}=\frac{\left( 2s+1 \right)}{{{\lambda }^{3}}}\tilde{\ }{{T}^{\frac{3}{2}}} \\ |
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| Die kritische Temperatur ist definiert durch | | {{Def|Die kritische Temperatur ist definiert durch |
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| :<math>\frac{V}{{\bar{N}}}\frac{\left( 2s+1 \right)}{\lambda {{\left( {{T}_{C}} \right)}^{3}}}=!=1</math> | | :<math>\frac{V}{{\bar{N}}}\frac{\left( 2s+1 \right)}{\lambda {{\left( {{T}_{C}} \right)}^{3}}}=!=1</math>|kritische Temperatur}} |
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| Das markierte Gebiet ist das Gebiet der Bose- Einstein-Kondensation ! | | Das markierte Gebiet ist das Gebiet der Bose- Einstein-Kondensation! |
| Bei zweikomponentigen Gasen liegt eine normale und ein kondensierte Komponente vor. | | Bei zweikomponentigen Gasen liegt eine normale und ein kondensierte Komponente vor. |
| Dann wird der Druck nur durch die normale Komponente alleine bestimmt ! | | Dann wird der Druck nur durch die normale Komponente alleine bestimmt! |
| Vergleiche dazu auch: Dampfdruck über einer Flüssigkeit ! | | Vergleiche dazu auch: Dampfdruck über einer Flüssigkeit! |
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| Phasenübegang bei <math>{{T}_{C}}</math> | | Phasenübegang bei <math>{{T}_{C}}</math>: |
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| normale Phase - >Kondensierte Phase | | normale Phase - >Kondensierte Phase |
| Vorgang der Bose- Einstein- Kondensation | | Vorgang der Bose- Einstein- Kondensation |
| è ein makroskopisches Quantenphänomen ! | | è ein makroskopisches Quantenphänomen! |
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| Anwendung: | | Anwendung: |
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| Die suprafluide Phase von <math>^{4}He</math> | | Die suprafluide Phase von <math>^{4}He</math> |
| bei tiefen Temperaturen ähnelt einer 2- komponentigen Flüssigkeit aus normaler und kondensierter Komponente ! | | bei tiefen Temperaturen ähnelt einer 2- komponentigen Flüssigkeit aus normaler und kondensierter Komponente! |
Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Das ideale Bosegas basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 3) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Rechnung geht analog zum Fermigas, nur dass die Besetzungszahlen Nj bis unendlich laufen können:
Die geometrische Reihe konvergiert genau dann, wenn , also wenn
à Bose - Einstein- Kondensation erfolgt bereits, wenn Ej=µ!
Somit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, die Besetzungszahlen N1, N2,.... der Einteilchenzustände E1, E2,.... zu finden:
Mittlere Besetzungszahl im Zustand Ej:
Bose- Verteilung
Die Bose- Verteilung folgt auch explizit aus
Die Verteilung divergiert für Ej → µ. Das heißt: Die Zustandssumme Yj divergiert für Ej→µ
Vergleich aller drei Verteilungen:
mit k=-1 → Fermi - Dirac- Statistik
k=0 → Maxwell- Boltzmann
k= + 1 → Bose - Einstein!
Übergang zum Quasikontinuum der Zustände:
Fugazität:
somit folgt:
also identisch zum fermigas! (S. 131)
Verdünntes Bosegas
(quasiklassischer, nicht entarteter Grenzfall)
Nebenbemerkung: Entartetetes Bosegas hoher Dichte kann nicht wie im Fermifall behandelt werden, da die Zustandssumme für Ej < µ divergiert!
Entwicklung nach Potenzen von
also:
Gesamte Teilchenzahl:
Wobei wieder die thermische Wellenlänge eingesetzt wurde.
Auch hier:
als Quantenkorrektur
Elimination von
durch
0. Näherung:
1. Näherung:
Innere Energie:
Also folgt als kalorische Zustandsgleichung:
Mit der Quantenkorrektur
thermische Zustandsgleichung
Hier wird der Druck um die Quantenkorrektur
verringert.
Dies ist die sogenannte Bose- Anziehung! → Bildung von Bose - Einstein- Kondensaten!
Bose- Einstein- Kondensation
Grundzustand des Bosegases: Eo=0 (Verschiebung der Achse geeignet)
Somit:
Fugazität
Die mittlere Besetzungszahl dieses Quantenzustandes kann makroskopisch groß werden für
(alle Teilchen kondensieren im grundzustand)
Allgemein:
1) Normale Phase:
ist vernachlässigbar! → verdünntes Bosegas, siehe oben, S. 140 ff.
2) kondensierte Phase
unabhängig von !
Kontinuierlicher Fall:
Vergl. S. 141
Dabei ist dies der nicht kondensierte Anteil, eine normale Komponente, die sich wie verdünntes Bosegas verhält!
Die kritische Temperatur ist definiert durch
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Somit ergibt sich der Bruchteil der Kondensierten Teilchen:
Das markierte Gebiet ist das Gebiet der Bose- Einstein-Kondensation!
Bei zweikomponentigen Gasen liegt eine normale und ein kondensierte Komponente vor.
Dann wird der Druck nur durch die normale Komponente alleine bestimmt!
Vergleiche dazu auch: Dampfdruck über einer Flüssigkeit!
Phasenübegang bei :
normale Phase - >Kondensierte Phase
Vorgang der Bose- Einstein- Kondensation
è ein makroskopisches Quantenphänomen!
Anwendung:
Die suprafluide Phase von
bei tiefen Temperaturen ähnelt einer 2- komponentigen Flüssigkeit aus normaler und kondensierter Komponente!