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| In einem rotationssymmetrischen Potenzial haben wir als Dirac- Hamiltonian: | | In einem rotationssymmetrischen Potenzial haben wir als Dirac- Hamiltonian: |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & H=\left( c\bar{\alpha }\bar{p}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta +V(r) \right) \\ | | & H=\left( c\bar{\alpha }\bar{p}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta +V(r) \right) \\ |
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| Man kann den Hamilton- Operator schreiben als: | | Man kann den Hamilton- Operator schreiben als: |
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| <math>H=\left( c{{\alpha }_{r}}{{p}_{r}}+\frac{ic}{r}{{\alpha }_{r}}\beta \hbar Q+{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta +V(r) \right)</math> | | :<math>H=\left( c{{\alpha }_{r}}{{p}_{r}}+\frac{ic}{r}{{\alpha }_{r}}\beta \hbar Q+{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta +V(r) \right)</math> |
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| Beweis: | | Beweis: |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & {{\alpha }_{r}}{{p}_{r}}+\frac{i}{r}{{\alpha }_{r}}\beta \hbar Q={{\alpha }_{r}}\left[ \frac{1}{r}\left( \bar{r}\bar{p}-i\hbar \right)+\frac{i}{r}{{\beta }^{2}}\left( \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L}+\hbar \right) \right] \\ | | & {{\alpha }_{r}}{{p}_{r}}+\frac{i}{r}{{\alpha }_{r}}\beta \hbar Q={{\alpha }_{r}}\left[ \frac{1}{r}\left( \bar{r}\bar{p}-i\hbar \right)+\frac{i}{r}{{\beta }^{2}}\left( \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L}+\hbar \right) \right] \\ |
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| Es gilt weiter: | | Es gilt weiter: |
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| <math>\left[ \hbar Q,H \right]=0</math> | | :<math>\left[ \hbar Q,H \right]=0</math> |
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| . Somit existieren gemeinsame Eigenzustände zu <math>H</math> | | . Somit existieren gemeinsame Eigenzustände zu <math>H</math> |
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| : | | : |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & {{\left( \hbar Q \right)}^{2}}=\beta \left( \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L}+\hbar \right)\beta \left( \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L}+\hbar \right)={{\beta }^{2}}{{\left( \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L}+\hbar \right)}^{2}} \\ | | & {{\left( \hbar Q \right)}^{2}}=\beta \left( \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L}+\hbar \right)\beta \left( \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L}+\hbar \right)={{\beta }^{2}}{{\left( \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L}+\hbar \right)}^{2}} \\ |
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| Somit: | | Somit: |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & {{\left( \hbar Q \right)}^{2}}={{L}^{2}}+\hbar \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L}+{{\hbar }^{2}}={{\left( \bar{L}+\frac{\hbar }{2}\tilde{\bar{\sigma }} \right)}^{2}}+\frac{{{\hbar }^{2}}}{4} \\ | | & {{\left( \hbar Q \right)}^{2}}={{L}^{2}}+\hbar \tilde{\bar{\sigma }}\bar{L}+{{\hbar }^{2}}={{\left( \bar{L}+\frac{\hbar }{2}\tilde{\bar{\sigma }} \right)}^{2}}+\frac{{{\hbar }^{2}}}{4} \\ |
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| Schließlich also | | Schließlich also |
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| <math>{{\left( \hbar Q \right)}^{2}}={{\bar{J}}^{2}}+\frac{{{\hbar }^{2}}}{4}</math> | | :<math>{{\left( \hbar Q \right)}^{2}}={{\bar{J}}^{2}}+\frac{{{\hbar }^{2}}}{4}</math> |
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| Die Eigenwerte von <math>{{\bar{J}}^{2}}</math> | | Die Eigenwerte von <math>{{\bar{J}}^{2}}</math> |
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| mit <math>j=l\pm s=\frac{1}{2},\frac{3}{2},...</math> | | mit <math>j=l\pm s=\frac{1}{2},\frac{3}{2},...</math> |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & {{\left( \hbar Q \right)}^{2}}\left| j \right\rangle =\left( {{\hbar }^{2}}j(j+1)+\frac{{{\hbar }^{2}}}{4} \right)\left| j \right\rangle ={{\hbar }^{2}}{{(j+\frac{1}{2})}^{2}}\left| j \right\rangle \\ | | & {{\left( \hbar Q \right)}^{2}}\left| j \right\rangle =\left( {{\hbar }^{2}}j(j+1)+\frac{{{\hbar }^{2}}}{4} \right)\left| j \right\rangle ={{\hbar }^{2}}{{(j+\frac{1}{2})}^{2}}\left| j \right\rangle \\ |
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| Somit: | | Somit: |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & \left( \hbar Q \right)\left| j \right\rangle =\left( \hbar q \right)\left| j \right\rangle \\ | | & \left( \hbar Q \right)\left| j \right\rangle =\left( \hbar q \right)\left| j \right\rangle \\ |
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| Es bleibt das radiale Eigenwertproblem für | | Es bleibt das radiale Eigenwertproblem für |
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| <math>H=\left( c{{\alpha }_{r}}{{p}_{r}}+\frac{ic}{r}{{\alpha }_{r}}\beta \hbar Q+{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta +V(r) \right)</math> | | :<math>H=\left( c{{\alpha }_{r}}{{p}_{r}}+\frac{ic}{r}{{\alpha }_{r}}\beta \hbar Q+{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta +V(r) \right)</math> |
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| '''Geeignete Darstellung für '''<math>{{\alpha }_{r}}</math> | | '''Geeignete Darstellung für '''<math>{{\alpha }_{r}}</math> |
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| : | | : |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & {{\left( {{\alpha }_{r}} \right)}^{2}}=\frac{1}{{{r}^{2}}}\left( \bar{\alpha }\bar{r} \right)\left( \bar{\alpha }\bar{r} \right)=\frac{1}{{{r}^{2}}}{{\alpha }^{\mu }}{{\alpha }^{\nu }}{{x}^{\mu }}{{x}^{\nu }}=\frac{1}{2{{r}^{2}}}\left( {{\alpha }^{\mu }}{{\alpha }^{\nu }}+{{\alpha }^{\nu }}{{\alpha }^{\mu }} \right){{x}^{\mu }}{{x}^{\nu }} \\ | | & {{\left( {{\alpha }_{r}} \right)}^{2}}=\frac{1}{{{r}^{2}}}\left( \bar{\alpha }\bar{r} \right)\left( \bar{\alpha }\bar{r} \right)=\frac{1}{{{r}^{2}}}{{\alpha }^{\mu }}{{\alpha }^{\nu }}{{x}^{\mu }}{{x}^{\nu }}=\frac{1}{2{{r}^{2}}}\left( {{\alpha }^{\mu }}{{\alpha }^{\nu }}+{{\alpha }^{\nu }}{{\alpha }^{\mu }} \right){{x}^{\mu }}{{x}^{\nu }} \\ |
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| Für | | Für |
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| <math>\beta =\left( \begin{matrix} | | :<math>\beta =\left( \begin{matrix} |
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| 1 & 0 \\ | | 1 & 0 \\ |
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| erfüllt werden: | | erfüllt werden: |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & {{\alpha }_{r}}\beta =\left( \begin{matrix} | | & {{\alpha }_{r}}\beta =\left( \begin{matrix} |
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Zeile 183: |
| Es gilt: | | Es gilt: |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & {{p}_{r}}=\frac{1}{r}\left( \bar{r}\bar{p}-i\hbar \right) \\ | | & {{p}_{r}}=\frac{1}{r}\left( \bar{r}\bar{p}-i\hbar \right) \\ |
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| Also | | Also |
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| <math>H=\hbar c\left( \begin{matrix} | | :<math>H=\hbar c\left( \begin{matrix} |
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| 0 & -1 \\ | | 0 & -1 \\ |
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Zeile 223: |
| Ansatz für den Radialanteil | | Ansatz für den Radialanteil |
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| <math>\left( \begin{matrix} | | :<math>\left( \begin{matrix} |
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| {{\phi }_{a}} \\ | | {{\phi }_{a}} \\ |
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| Eingesetzt in die Eigenwertgleichung für H: | | Eingesetzt in die Eigenwertgleichung für H: |
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| <math>\left( \begin{matrix} | | :<math>\left( \begin{matrix} |
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| {{\phi }_{a}} \\ | | {{\phi }_{a}} \\ |
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Zeile 255: |
| folgt: | | folgt: |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & -\frac{\hbar c}{r}\frac{dG}{dr}-\frac{c\hbar q}{{{r}^{2}}}G+\frac{{{m}_{0}}{{c}^{2}}}{r}F+\frac{V}{r}F=E\frac{F}{r} \\ | | & -\frac{\hbar c}{r}\frac{dG}{dr}-\frac{c\hbar q}{{{r}^{2}}}G+\frac{{{m}_{0}}{{c}^{2}}}{r}F+\frac{V}{r}F=E\frac{F}{r} \\ |
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Zeile 267: |
| Also: | | Also: |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & \left( E-{{m}_{0}}{{c}^{2}}-V \right)F+\hbar c\frac{dG}{dr}+\frac{c\hbar q}{r}G=0 \\ | | & \left( E-{{m}_{0}}{{c}^{2}}-V \right)F+\hbar c\frac{dG}{dr}+\frac{c\hbar q}{r}G=0 \\ |
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Zeile 278: |
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| ====Skalentransformation:==== | | ====Skalentransformation:==== |
| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & {{a}_{1}}=\frac{{{m}_{0}}{{c}^{2}}+E}{\hbar c} \\ | | & {{a}_{1}}=\frac{{{m}_{0}}{{c}^{2}}+E}{\hbar c} \\ |
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Zeile 290: |
| Führt man des weiteren ein: | | Führt man des weiteren ein: |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & \rho :=ar \\ | | & \rho :=ar \\ |
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| wodurch sich auch das Potenzial vereinfacht zu: | | wodurch sich auch das Potenzial vereinfacht zu: |
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| <math>\frac{V}{\hbar ca}=-\frac{\gamma }{\rho }</math> | | :<math>\frac{V}{\hbar ca}=-\frac{\gamma }{\rho }</math> |
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| : | | : |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & \left( \frac{d}{d\rho }+\frac{q}{\rho } \right)G-\left( \frac{{{a}_{2}}}{a}-\frac{\gamma }{\rho } \right)F=0 \\ | | & \left( \frac{d}{d\rho }+\frac{q}{\rho } \right)G-\left( \frac{{{a}_{2}}}{a}-\frac{\gamma }{\rho } \right)F=0 \\ |
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| <u>'''Randbedingung:'''</u> | | <u>'''Randbedingung:'''</u> |
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| <math>F(\rho ),G(\rho )</math> | | :<math>F(\rho ),G(\rho )</math> |
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| regulär bei <math>\rho \to 0</math> | | regulär bei <math>\rho \to 0</math> |
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| <math>F(\rho ),G(\rho )\to 0</math> | | :<math>F(\rho ),G(\rho )\to 0</math> |
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|
| für <math>\rho \to \infty </math> | | für <math>\rho \to \infty </math> |
Zeile 336: |
Zeile 336: |
| '''Asymptotisches Verhalten:''' | | '''Asymptotisches Verhalten:''' |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & \rho \to \infty \\ | | & \rho \to \infty \\ |
Zeile 352: |
Zeile 352: |
| divergiert ! | | divergiert ! |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & \rho \to 0 \\ | | & \rho \to 0 \\ |
Zeile 364: |
Zeile 364: |
| Ansatz: | | Ansatz: |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & F(\rho )={{f}_{0}}{{\rho }^{\lambda }} \\ | | & F(\rho )={{f}_{0}}{{\rho }^{\lambda }} \\ |
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Zeile 386: |
| Ansatz: | | Ansatz: |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & F(\rho )={{\rho }^{\lambda }}{{e}^{-\rho }}f\left( \rho \right) \\ | | & F(\rho )={{\rho }^{\lambda }}{{e}^{-\rho }}f\left( \rho \right) \\ |
Zeile 400: |
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| Die Lösung erfolgt über einen Potenzreihenansatz: | | Die Lösung erfolgt über einen Potenzreihenansatz: |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & f(\rho )=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{{{f}_{k}}{{\rho }^{k}}}\Rightarrow f\acute{\ }(\rho )=\sum\limits_{k=1}^{\infty }{k{{f}_{k}}{{\rho }^{k-1}}}=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{(k+1){{f}_{k+1}}{{\rho }^{k}}} \\ | | & f(\rho )=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{{{f}_{k}}{{\rho }^{k}}}\Rightarrow f\acute{\ }(\rho )=\sum\limits_{k=1}^{\infty }{k{{f}_{k}}{{\rho }^{k-1}}}=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{(k+1){{f}_{k+1}}{{\rho }^{k}}} \\ |
Zeile 416: |
Zeile 416: |
| Koeffizientenvergleich liefert: | | Koeffizientenvergleich liefert: |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & O\left( \frac{1}{\rho } \right):\left( \lambda +q \right){{g}_{0}}+\gamma {{f}_{0}}=0\quad \quad \left( \lambda -q \right){{f}_{0}}-\gamma {{g}_{0}}=0 \\ | | & O\left( \frac{1}{\rho } \right):\left( \lambda +q \right){{g}_{0}}+\gamma {{f}_{0}}=0\quad \quad \left( \lambda -q \right){{f}_{0}}-\gamma {{g}_{0}}=0 \\ |
Zeile 426: |
Zeile 426: |
| bis auf Normfaktor | | bis auf Normfaktor |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & O\left( {{\rho }^{k}} \right):\left( \lambda +q+k+1 \right){{g}_{k+1}}-{{g}_{k}}+\gamma {{f}_{k+1}}-\frac{{{a}_{2}}}{a}{{f}_{k}}=0 \\ | | & O\left( {{\rho }^{k}} \right):\left( \lambda +q+k+1 \right){{g}_{k+1}}-{{g}_{k}}+\gamma {{f}_{k+1}}-\frac{{{a}_{2}}}{a}{{f}_{k}}=0 \\ |
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| k=0,1,2,.... Rekursionsformel !! | | k=0,1,2,.... Rekursionsformel !! |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & a\left[ \left( \lambda +q+k+1 \right){{g}_{k+1}}-{{g}_{k}}+\gamma {{f}_{k+1}}-\frac{{{a}_{2}}}{a}{{f}_{k}} \right]-{{a}_{2}}\left[ \left( \lambda -q+k+1 \right){{f}_{k+1}}-{{f}_{k}}+\gamma {{g}_{k+1}}-\frac{{{a}_{1}}}{a}{{g}_{k}} \right]=0 \\ | | & a\left[ \left( \lambda +q+k+1 \right){{g}_{k+1}}-{{g}_{k}}+\gamma {{f}_{k+1}}-\frac{{{a}_{2}}}{a}{{f}_{k}} \right]-{{a}_{2}}\left[ \left( \lambda -q+k+1 \right){{f}_{k+1}}-{{f}_{k}}+\gamma {{g}_{k+1}}-\frac{{{a}_{1}}}{a}{{g}_{k}} \right]=0 \\ |
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| '''Verhalten für große k:''' | | '''Verhalten für große k:''' |
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| <math>ak{{g}_{k+1}}\approx {{a}_{2}}k{{f}_{k+1}}\Rightarrow {{f}_{k}}\approx \frac{a}{{{a}_{2}}}{{g}_{k}}</math> | | :<math>ak{{g}_{k+1}}\approx {{a}_{2}}k{{f}_{k+1}}\Rightarrow {{f}_{k}}\approx \frac{a}{{{a}_{2}}}{{g}_{k}}</math> |
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| Dies kann man einsetzen in | | Dies kann man einsetzen in |
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| <math>\left( \lambda +q+k+1 \right){{g}_{k+1}}-{{g}_{k}}+\gamma {{f}_{k+1}}-\frac{{{a}_{2}}}{a}{{f}_{k}}=0</math> | | :<math>\left( \lambda +q+k+1 \right){{g}_{k+1}}-{{g}_{k}}+\gamma {{f}_{k+1}}-\frac{{{a}_{2}}}{a}{{f}_{k}}=0</math> |
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| und es folgt: | | und es folgt: |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & \left( k+1 \right){{g}_{k+1}}\approx 2{{g}_{k}} \\ | | & \left( k+1 \right){{g}_{k+1}}\approx 2{{g}_{k}} \\ |
Zeile 468: |
Zeile 468: |
| Falls die Potenzreihen | | Falls die Potenzreihen |
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| <math>f(\rho )=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{{{f}_{k}}{{\rho }^{k}}},g(\rho )=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{{{g}_{k}}{{\rho }^{k}}}</math> | | :<math>f(\rho )=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{{{f}_{k}}{{\rho }^{k}}},g(\rho )=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{{{g}_{k}}{{\rho }^{k}}}</math> |
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| |
|
| nicht abbrechen, so divergiert <math>\begin{align} | | nicht abbrechen, so divergiert <math>\begin{align} |
Zeile 486: |
Zeile 486: |
| geben: | | geben: |
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| <math>{{f}_{n\acute{\ }+1}}={{g}_{n\acute{\ }+1}}=0</math> | | :<math>{{f}_{n\acute{\ }+1}}={{g}_{n\acute{\ }+1}}=0</math> |
|
| |
|
| Setzt man dies in die Rekursionsformel ein, so folgt: | | Setzt man dies in die Rekursionsformel ein, so folgt: |
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|
| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
|
| |
|
| & -{{g}_{n\acute{\ }}}-\frac{{{a}_{2}}}{a}{{f}_{n\acute{\ }}}=0\Rightarrow {{a}_{2}}{{f}_{n\acute{\ }}}=-a{{g}_{n\acute{\ }}} \\ | | & -{{g}_{n\acute{\ }}}-\frac{{{a}_{2}}}{a}{{f}_{n\acute{\ }}}=0\Rightarrow {{a}_{2}}{{f}_{n\acute{\ }}}=-a{{g}_{n\acute{\ }}} \\ |
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| Diese beiden Gleichungen stimmen jedoch für alle f,g überein, da | | Diese beiden Gleichungen stimmen jedoch für alle f,g überein, da |
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| |
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| <math>\frac{{{a}_{2}}}{a}=\frac{a}{{{a}_{1}}}</math> | | :<math>\frac{{{a}_{2}}}{a}=\frac{a}{{{a}_{1}}}</math> |
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| |
|
| Setzt man <math>{{a}_{2}}{{f}_{n\acute{\ }}}=-a{{g}_{n\acute{\ }}}</math> | | Setzt man <math>{{a}_{2}}{{f}_{n\acute{\ }}}=-a{{g}_{n\acute{\ }}}</math> |
Zeile 510: |
Zeile 510: |
| : | | : |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & \frac{a\left( \lambda +q+n\acute{\ } \right)+{{a}_{2}}\gamma }{a}=-\frac{\left[ {{a}_{2}}\left( \lambda -q+n\acute{\ } \right)-a\gamma \right]}{{{a}_{2}}} \\ | | & \frac{a\left( \lambda +q+n\acute{\ } \right)+{{a}_{2}}\gamma }{a}=-\frac{\left[ {{a}_{2}}\left( \lambda -q+n\acute{\ } \right)-a\gamma \right]}{{{a}_{2}}} \\ |
Zeile 526: |
Zeile 526: |
| Weiter gilt: | | Weiter gilt: |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & {{a}^{2}}=\frac{{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{E}^{2}}}{{{\hbar }^{2}}{{c}^{2}}} \\ | | & {{a}^{2}}=\frac{{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{E}^{2}}}{{{\hbar }^{2}}{{c}^{2}}} \\ |
Zeile 536: |
Zeile 536: |
| Löst man dies nach den exakten Energieeigenwerten, die sich damit ergeben, also nach E auf, so erhält man die Feinstrukturformel: | | Löst man dies nach den exakten Energieeigenwerten, die sich damit ergeben, also nach E auf, so erhält man die Feinstrukturformel: |
|
| |
|
| <math>E=\frac{{{m}_{0}}{{c}^{2}}}{\sqrt{1+{{\left( \frac{\gamma }{\lambda +n\acute{\ }} \right)}^{2}}}}</math> | | :<math>E=\frac{{{m}_{0}}{{c}^{2}}}{\sqrt{1+{{\left( \frac{\gamma }{\lambda +n\acute{\ }} \right)}^{2}}}}</math> |
|
| |
|
| Mit der Feinstrukturkonstanten | | Mit der Feinstrukturkonstanten |
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| <math>\gamma \approx \frac{1}{137}</math> | | :<math>\gamma \approx \frac{1}{137}</math> |
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|
| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & \lambda =\sqrt{q} \\ | | & \lambda =\sqrt{q} \\ |
Zeile 552: |
Zeile 552: |
| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| |
|
| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & \lambda =\sqrt{{{q}^{2}}-{{\gamma }^{2}}}=\sqrt{{{\left( j+\frac{1}{2} \right)}^{2}}-{{\gamma }^{2}}} \\ | | & \lambda =\sqrt{{{q}^{2}}-{{\gamma }^{2}}}=\sqrt{{{\left( j+\frac{1}{2} \right)}^{2}}-{{\gamma }^{2}}} \\ |
Zeile 566: |
Zeile 566: |
| , so folgt: | | , so folgt: |
|
| |
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| <math>E={{m}_{0}}{{c}^{2}}\left[ 1-\frac{1}{2}{{\left( \frac{\gamma }{\lambda +n\acute{\ }} \right)}^{2}}+\frac{3}{8}{{\left( \frac{\gamma }{\lambda +n\acute{\ }} \right)}^{4}}+O\left( {{\gamma }^{6}} \right) \right]</math> | | :<math>E={{m}_{0}}{{c}^{2}}\left[ 1-\frac{1}{2}{{\left( \frac{\gamma }{\lambda +n\acute{\ }} \right)}^{2}}+\frac{3}{8}{{\left( \frac{\gamma }{\lambda +n\acute{\ }} \right)}^{4}}+O\left( {{\gamma }^{6}} \right) \right]</math> |
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| |
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| mit | | mit |
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| <math>\lambda \left( \gamma \right)=|q|\sqrt{1-{{\left( \frac{\gamma }{q} \right)}^{2}}}=|q|\left[ 1-\frac{1}{2}{{\left( \frac{\gamma }{q} \right)}^{2}} \right]+O\left( {{\gamma }^{4}} \right)</math> | | :<math>\lambda \left( \gamma \right)=|q|\sqrt{1-{{\left( \frac{\gamma }{q} \right)}^{2}}}=|q|\left[ 1-\frac{1}{2}{{\left( \frac{\gamma }{q} \right)}^{2}} \right]+O\left( {{\gamma }^{4}} \right)</math> |
|
| |
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| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| & {{\left( \frac{1}{\lambda +n\acute{\ }} \right)}^{2}}=\frac{1}{{{\left[ n\acute{\ }+|q|-\frac{1}{2}\left( \frac{{{\gamma }^{2}}}{\left| q \right|} \right) \right]}^{2}}}+O\left( {{\gamma }^{4}} \right) \\ | | & {{\left( \frac{1}{\lambda +n\acute{\ }} \right)}^{2}}=\frac{1}{{{\left[ n\acute{\ }+|q|-\frac{1}{2}\left( \frac{{{\gamma }^{2}}}{\left| q \right|} \right) \right]}^{2}}}+O\left( {{\gamma }^{4}} \right) \\ |
Zeile 583: |
Zeile 583: |
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| |
|
| Setzt man dies in die exakten Energieeigenwerte E ein , so folgt: | | Setzt man dies in die exakten Energieeigenwerte E ein , so folgt: |
| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
| & E={{m}_{0}}{{c}^{2}}\left[ 1-\left( \frac{{{\gamma }^{2}}}{2{{n}^{2}}} \right)-\left( \frac{{{\gamma }^{4}}}{2{{n}^{3}}} \right)\left( \frac{1}{j+\frac{1}{2}}-\frac{3}{4n} \right)+O\left( {{\gamma }^{6}} \right) \right] \\ | | & E={{m}_{0}}{{c}^{2}}\left[ 1-\left( \frac{{{\gamma }^{2}}}{2{{n}^{2}}} \right)-\left( \frac{{{\gamma }^{4}}}{2{{n}^{3}}} \right)\left( \frac{1}{j+\frac{1}{2}}-\frac{3}{4n} \right)+O\left( {{\gamma }^{6}} \right) \right] \\ |
| & n=1,2,3 \\ | | & n=1,2,3 \\ |
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| <u>'''Diskussion'''</u> | | <u>'''Diskussion'''</u> |
| <math>O\left( {{\gamma }^{0}} \right):E={{m}_{0}}{{c}^{2}}</math> | | :<math>O\left( {{\gamma }^{0}} \right):E={{m}_{0}}{{c}^{2}}</math> |
| Ruheenergie | | Ruheenergie |
| <math>O\left( {{\gamma }^{2}} \right):\Delta {{E}^{(2)}}=-{{m}_{0}}{{c}^{2}}\left( \frac{{{\gamma }^{2}}}{2{{n}^{2}}} \right)=-\frac{{{R}_{H}}}{{{n}^{2}}}</math> | | :<math>O\left( {{\gamma }^{2}} \right):\Delta {{E}^{(2)}}=-{{m}_{0}}{{c}^{2}}\left( \frac{{{\gamma }^{2}}}{2{{n}^{2}}} \right)=-\frac{{{R}_{H}}}{{{n}^{2}}}</math> |
| nicht relativistisches, entartetes Energiespektrum | | nicht relativistisches, entartetes Energiespektrum |
| <math>O\left( {{\gamma }^{4}} \right):\Delta {{E}^{(4)}}=-{{m}_{0}}{{c}^{2}}\left( \frac{{{\gamma }^{4}}}{2{{n}^{3}}} \right)\left( \frac{1}{j+\frac{1}{2}}-\frac{3}{4n} \right)</math> | | :<math>O\left( {{\gamma }^{4}} \right):\Delta {{E}^{(4)}}=-{{m}_{0}}{{c}^{2}}\left( \frac{{{\gamma }^{4}}}{2{{n}^{3}}} \right)\left( \frac{1}{j+\frac{1}{2}}-\frac{3}{4n} \right)</math> |
| Feinstruktur- Aufspaltung. Eine Aufhebung der j-Entartung durch Spin- Bahn- Kopplung. | | Feinstruktur- Aufspaltung. Eine Aufhebung der j-Entartung durch Spin- Bahn- Kopplung. |
| Dabei bleibt die Freiheit der Ausrichtung der Achse des magnetischen Moments, also die <math>2(2j+1)</math> | | Dabei bleibt die Freiheit der Ausrichtung der Achse des magnetischen Moments, also die <math>2(2j+1)</math> |
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| - Entartung+ Parität ! | | - Entartung+ Parität ! |
| ====Spektroskopische Beziehung der Feinstrukturterme: <math>n{{l}_{j}}</math>==== | | ====Spektroskopische Beziehung der Feinstrukturterme: <math>n{{l}_{j}}</math>==== |
| <math>n=1:\quad j=\frac{1}{2}:\ 1{{s}_{\frac{1}{2}}}</math> | | :<math>n=1:\quad j=\frac{1}{2}:\ 1{{s}_{\frac{1}{2}}}</math> |
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| <math>\begin{array}{*{35}{l}} | | :<math>\begin{array}{*{35}{l}} |
| {} & n=2:\quad j=\frac{1}{2}:\ 2{{s}_{\frac{1}{2}}}\quad 2{{p}_{\frac{1}{2}}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad n\overset{\acute{\ }}{\mathop{\ }}\,=1 \\ | | {} & n=2:\quad j=\frac{1}{2}:\ 2{{s}_{\frac{1}{2}}}\quad 2{{p}_{\frac{1}{2}}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad n\overset{\acute{\ }}{\mathop{\ }}\,=1 \\ |
| {} & \quad \quad \quad \,j=\frac{3}{2}:\quad \quad \quad 2{{p}_{\frac{3}{2}}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad n\overset{\acute{\ }}{\mathop{\ }}\,=0 \\ | | {} & \quad \quad \quad \,j=\frac{3}{2}:\quad \quad \quad 2{{p}_{\frac{3}{2}}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad n\overset{\acute{\ }}{\mathop{\ }}\,=0 \\ |
Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Das Wasserstoffatom (relativistsich) basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 7.Kapitels (Abschnitt 5) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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In einem rotationssymmetrischen Potenzial haben wir als Dirac- Hamiltonian:
Dabei sind
hermitesche Operatoren
Man kann den Hamilton- Operator schreiben als:
Beweis:
Es gilt weiter:
. Somit existieren gemeinsame Eigenzustände zu
und
Eigenwerte von
Somit:
Schließlich also
Die Eigenwerte von
sind jedoch bekannt, nämlich
mit
Somit:
Es bleibt das radiale Eigenwertproblem für
Geeignete Darstellung für
Für
kann dies durch die Darstellung
mit
erfüllt werden:
Es gilt:
Also
Ansatz für den Radialanteil
Eingesetzt in die Eigenwertgleichung für H:
folgt:
Also:
Skalentransformation:
Führt man des weiteren ein:
Also einen skalierten Radius und die Feinstrukturkonstante,
wodurch sich auch das Potenzial vereinfacht zu:
Randbedingung:
regulär bei
für
Betrachte
also gebundene Zustände
Asymptotisches Verhalten:
Weil
divergiert !
Ansatz:
Es existieren nichttriviale Lösungen
, falls
Also
und regulär bei
Ansatz:
Die Lösung erfolgt über einen Potenzreihenansatz:
usw... wird dies ebenfalls für
aufgestellt
Koeffizientenvergleich liefert:
bis auf Normfaktor
k=0,1,2,.... Rekursionsformel !!
Verhalten für große k:
Dies kann man einsetzen in
und es folgt:
Falls die Potenzreihen
nicht abbrechen, so divergiert
exponentiell für
Dies ist jedoch ein Widerspruch zu den gesetzten Randbedingungen !
Also muss es einen Abbruch bei
geben:
Setzt man dies in die Rekursionsformel ein, so folgt:
Diese beiden Gleichungen stimmen jedoch für alle f,g überein, da
Setzt man
in
ein, so folgt mit
Weiter gilt:
Löst man dies nach den exakten Energieeigenwerten, die sich damit ergeben, also nach E auf, so erhält man die Feinstrukturformel:
Mit der Feinstrukturkonstanten
entwickelt man die Energieeigenwerte nach der Feinstrukturkonstanten bis
, so folgt:
mit
Setzt man dies in die exakten Energieeigenwerte E ein , so folgt:
Diskussion
Ruheenergie
nicht relativistisches, entartetes Energiespektrum
Feinstruktur- Aufspaltung. Eine Aufhebung der j-Entartung durch Spin- Bahn- Kopplung.
Dabei bleibt die Freiheit der Ausrichtung der Achse des magnetischen Moments, also die
- fache
- Entartung+ Parität !
Spektroskopische Beziehung der Feinstrukturterme:
n´=0
..