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| :<math>\left[ \hbar Q,H \right]=0</math> | | :<math>\left[ \hbar Q,H \right]=0</math> |
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| . Somit existieren gemeinsame Eigenzustände zu <math>H</math>
| | Somit existieren gemeinsame Eigenzustände zu <math>H</math> |
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| und <math>\hbar Q</math> | | und <math>\hbar Q</math> |
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| Weil <math>{{e}^{+\rho }}</math> | | Weil <math>{{e}^{+\rho }}</math> |
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| divergiert ! | | divergiert! |
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| :<math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| Es existieren nichttriviale Lösungen <math>{{f}_{0}},{{g}_{0}}</math> | | Es existieren nichttriviale Lösungen <math>{{f}_{0}},{{g}_{0}}</math> |
| | | , |
| , falls <math>\left( \lambda +q \right)\left( \lambda -q \right)+{{\gamma }^{2}}={{\lambda }^{2}}-{{q}^{2}}+{{\gamma }^{2}}=0</math>
| | falls <math>\left( \lambda +q \right)\left( \lambda -q \right)+{{\gamma }^{2}}={{\lambda }^{2}}-{{q}^{2}}+{{\gamma }^{2}}=0</math> |
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| Also <math>\lambda =\pm \sqrt{{{q}^{2}}-{{\gamma }^{2}}}>0</math> | | Also <math>\lambda =\pm \sqrt{{{q}^{2}}-{{\gamma }^{2}}}>0</math> |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| k=0,1,2,.... Rekursionsformel !! | | k=0,1,2,.... Rekursionsformel!! |
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| :<math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| exponentiell für <math>\rho \to \infty \Rightarrow F(\rho ),G(\rho )\tilde{\ }{{e}^{\rho }}</math> | | exponentiell für <math>\rho \to \infty \Rightarrow F(\rho ),G(\rho )\tilde{\ }{{e}^{\rho }}</math> |
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| Dies ist jedoch ein Widerspruch zu den gesetzten Randbedingungen ! | | Dies ist jedoch ein Widerspruch zu den gesetzten Randbedingungen! |
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| Also muss es einen Abbruch bei <math>k=n\acute{\ }\in N</math> | | Also muss es einen Abbruch bei <math>k=n\acute{\ }\in N</math> |
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| entwickelt man die Energieeigenwerte nach der Feinstrukturkonstanten bis <math>O\left( {{\gamma }^{4}} \right)</math> | | entwickelt man die Energieeigenwerte nach der Feinstrukturkonstanten bis <math>O\left( {{\gamma }^{4}} \right)</math> |
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| , so folgt:
| | so folgt: |
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| :<math>E={{m}_{0}}{{c}^{2}}\left[ 1-\frac{1}{2}{{\left( \frac{\gamma }{\lambda +n\acute{\ }} \right)}^{2}}+\frac{3}{8}{{\left( \frac{\gamma }{\lambda +n\acute{\ }} \right)}^{4}}+O\left( {{\gamma }^{6}} \right) \right]</math> | | :<math>E={{m}_{0}}{{c}^{2}}\left[ 1-\frac{1}{2}{{\left( \frac{\gamma }{\lambda +n\acute{\ }} \right)}^{2}}+\frac{3}{8}{{\left( \frac{\gamma }{\lambda +n\acute{\ }} \right)}^{4}}+O\left( {{\gamma }^{6}} \right) \right]</math> |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| Setzt man dies in die exakten Energieeigenwerte E ein , so folgt: | | Setzt man dies in die exakten Energieeigenwerte E ein, so folgt: |
| :<math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
| & E={{m}_{0}}{{c}^{2}}\left[ 1-\left( \frac{{{\gamma }^{2}}}{2{{n}^{2}}} \right)-\left( \frac{{{\gamma }^{4}}}{2{{n}^{3}}} \right)\left( \frac{1}{j+\frac{1}{2}}-\frac{3}{4n} \right)+O\left( {{\gamma }^{6}} \right) \right] \\ | | & E={{m}_{0}}{{c}^{2}}\left[ 1-\left( \frac{{{\gamma }^{2}}}{2{{n}^{2}}} \right)-\left( \frac{{{\gamma }^{4}}}{2{{n}^{3}}} \right)\left( \frac{1}{j+\frac{1}{2}}-\frac{3}{4n} \right)+O\left( {{\gamma }^{6}} \right) \right] \\ |
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| Dabei bleibt die Freiheit der Ausrichtung der Achse des magnetischen Moments, also die <math>2(2j+1)</math> | | Dabei bleibt die Freiheit der Ausrichtung der Achse des magnetischen Moments, also die <math>2(2j+1)</math> |
| - fache <math>{{m}_{j}}</math> | | - fache <math>{{m}_{j}}</math> |
| - Entartung+ Parität ! | | - Entartung+ Parität! |
| ====Spektroskopische Beziehung der Feinstrukturterme: <math>n{{l}_{j}}</math>==== | | ====Spektroskopische Beziehung der Feinstrukturterme: <math>n{{l}_{j}}</math>==== |
| :<math>n=1:\quad j=\frac{1}{2}:\ 1{{s}_{\frac{1}{2}}}</math> | | :<math>n=1:\quad j=\frac{1}{2}:\ 1{{s}_{\frac{1}{2}}}</math> |
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| \end{array}</math> | | \end{array}</math> |
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| n´=0 | | n´=0. |
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Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Das Wasserstoffatom (relativistsich) basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 7.Kapitels (Abschnitt 5) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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In einem rotationssymmetrischen Potenzial haben wir als Dirac- Hamiltonian:
Dabei sind
hermitesche Operatoren
Man kann den Hamilton- Operator schreiben als:
Beweis:
Es gilt weiter:
.
Somit existieren gemeinsame Eigenzustände zu
und
Eigenwerte von
Somit:
Schließlich also
Die Eigenwerte von
sind jedoch bekannt, nämlich
mit
Somit:
Es bleibt das radiale Eigenwertproblem für
Geeignete Darstellung für
Für
kann dies durch die Darstellung
mit
erfüllt werden:
Es gilt:
Also
Ansatz für den Radialanteil
Eingesetzt in die Eigenwertgleichung für H:
folgt:
Also:
Skalentransformation:
Führt man des weiteren ein:
Also einen skalierten Radius und die Feinstrukturkonstante,
wodurch sich auch das Potenzial vereinfacht zu:
Randbedingung:
regulär bei
für
Betrachte
also gebundene Zustände
Asymptotisches Verhalten:
Weil
divergiert!
Ansatz:
Es existieren nichttriviale Lösungen
,
falls
Also
und regulär bei
Ansatz:
Die Lösung erfolgt über einen Potenzreihenansatz:
usw... wird dies ebenfalls für
aufgestellt
Koeffizientenvergleich liefert:
bis auf Normfaktor
k=0,1,2,.... Rekursionsformel!!
Verhalten für große k:
Dies kann man einsetzen in
und es folgt:
Falls die Potenzreihen
nicht abbrechen, so divergiert
exponentiell für
Dies ist jedoch ein Widerspruch zu den gesetzten Randbedingungen!
Also muss es einen Abbruch bei
geben:
Setzt man dies in die Rekursionsformel ein, so folgt:
Diese beiden Gleichungen stimmen jedoch für alle f,g überein, da
Setzt man
in
ein, so folgt mit
Weiter gilt:
Löst man dies nach den exakten Energieeigenwerten, die sich damit ergeben, also nach E auf, so erhält man die Feinstrukturformel:
Mit der Feinstrukturkonstanten
entwickelt man die Energieeigenwerte nach der Feinstrukturkonstanten bis
,
so folgt:
mit
Setzt man dies in die exakten Energieeigenwerte E ein, so folgt:
Diskussion
Ruheenergie
nicht relativistisches, entartetes Energiespektrum
Feinstruktur- Aufspaltung. Eine Aufhebung der j-Entartung durch Spin- Bahn- Kopplung.
Dabei bleibt die Freiheit der Ausrichtung der Achse des magnetischen Moments, also die
- fache
- Entartung+ Parität!
Spektroskopische Beziehung der Feinstrukturterme:
n´=0.
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