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| & {{{\bar{E}}}_{0}}{{{\bar{B}}}_{0}}=0 \\ | | & {{{\bar{E}}}_{0}}{{{\bar{B}}}_{0}}=0 \\ |
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| & \bar{q}{{{\bar{E}}}_{0}}=\bar{q}{{{\bar{B}}}_{0}}= \\ | | & \bar{q}{{{\bar{E}}}_{0}}=\bar{q}{{{\bar{B}}}_{0}}= 0\\ |
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| & \omega (q)=c\left| {\bar{q}} \right| \\ | | & \omega (q)=c\left| {\bar{q}} \right| \\ |
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| Also: E- Feld, B- Feld und Ausbreitungsrichtung stehen senkrecht aufeinander ! | | Also: E- Feld, B- Feld und Ausbreitungsrichtung stehen senkrecht aufeinander ! |
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| ====Quantisierung des elektromagnetischen Feldes:====
| | '''Quantisierung des elektromagnetischen Feldes:''' |
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| betrachte elektromagnetisches Feld als Feld von Oszillatoren mit Frequenz <math>\omega (q)=c\left| {\bar{q}} \right|</math> | | betrachte elektromagnetisches Feld als Feld von Oszillatoren mit Frequenz <math>\omega (q)=c\left| {\bar{q}} \right|</math> |
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| & {{E}_{q}}=\hbar \omega (q)\left( {{n}_{q}}+\frac{1}{2} \right) \\ | | & {{E}_{q}}=\hbar \omega (q)\left( {{n}_{q}}+\frac{1}{2} \right) \\ |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| Interpretation von nq als Zahl der Schwingungsquanten ! und Photonen mit der Energie <math>\hbar \omega (q).</math> | | Interpretation von n<sub>q</sub> als Zahl der {{FB|Schwingungsquanten}} oder {{FB|Photonen}} mit der Energie <math>\hbar \omega (q).</math> und mit dem Impuls <math>\hbar \bar{q}</math>! |
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| und mit dem Impuls <math>\hbar \bar{q}</math> | |
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| ! | |
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| Photonen sind Bosonen ( da nq=0,1,2,3,4,5,.... möglich !) | | Photonen sind Bosonen (da n<sub>q</sub>=0,1,2,3,4,5,.... möglich!) |
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| mit Spin S=1 | | mit Spin S=1. |
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| <u>'''Aber:'''</u> | | <u>'''Aber:'''</u> |
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| :<math>\bar{S}\uparrow \uparrow \bar{q}</math> | | :<math>\bar{S}\uparrow \uparrow \bar{q}</math> |
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| Die dritte Einstellmöglichkeit tritt nicht auf, da es keine " longitudinalen" Photonen gibt ! ( longitudinale Wellen !) | | Die dritte Einstellmöglichkeit tritt nicht auf, da es '''keine "longitudinalen" Photonen''' gibt ! ( longitudinale Wellen !) |
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| * Lichtgeschwindigkeit ist c, da m0=0 ( Ruhemasse)=0
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| Im thermischen Gleichgewciht des Photonengases mit den Wänden ( "Hohlraumstrahlung")
| | Lichtgeschwindigkeit ist c, da m0=0 ( Ruhemasse)=0 |
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| werden ständig Photonen emittiert und absorbiert ! | | Im thermischen Gleichgewciht des Photonengases mit den Wänden ( "{{FB|Hohlraumstrahlung}}") werden ständig Photonen emittiert und absorbiert ! |
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| Ihre Anzahl <math>\bar{N}</math> | | Ihre Anzahl <math>\bar{N}</math> ist deshalb bereits durch T und V festgelegt und daher keine unabhängige Nebenbedingung ! |
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| ist deshalb bereits durch T und V festgelegt und daher keine unabhängige Nebenbedingung !
| | -> kanonisches Ensemble ! |
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| * kanonisches Ensemble !
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| Setze <math>\mu =0</math> | | Setze <math>\mu =0</math> in der Boseverteilung ( {{FB|chemisches Potenzial}} verschwindet) |
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| in der Boseverteilung ( '''chemisches Potenzial '''verschwindet) | |
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| Dabei ist die Energie ein mit dem Volumen skalierter Wert einer spektralen Energiedichte, die über alle Frequenzen integriert wird. | | Dabei ist die Energie ein mit dem Volumen skalierter Wert einer spektralen Energiedichte, die über alle Frequenzen integriert wird. |
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| Dem entsprechend ist der Wert der spektralen Energiedichte, die | | Dem entsprechend ist der Wert der {{FB|spektralen Energiedichte}}, die |
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| '''Plancksche Strahlungsformel''' | | {{Gln|'''Plancksche Strahlungsformel''' |
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| :<math>u\left( \nu ,T \right):=\frac{1}{V}D\left( \nu \right)h\nu \left\langle {{N}_{\nu }} \right\rangle =\frac{8\pi h}{{{c}^{3}}}\frac{{{\nu }^{3}}}{{{e}^{\frac{h\nu }{kT}}}-1}</math> | | :<math>u\left( \nu ,T \right):=\frac{1}{V}D\left( \nu \right)h\nu \left\langle {{N}_{\nu }} \right\rangle =\frac{8\pi h}{{{c}^{3}}}\frac{{{\nu }^{3}}}{{{e}^{\frac{h\nu }{kT}}}-1}</math>|Plancksche Strahlungsformel}} |
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| <u>'''Grenzfälle'''</u> | | <u>'''Grenzfälle'''</u> |
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| W. Wien: empirisches Resultat für <math>\nu \to \infty </math> | | W. Wien: empirisches Resultat für <math>\nu \to \infty </math>! |
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| für irdische Lichtquellen, versagt jedoch für Sonne und Fixsterne ! | | für irdische Lichtquellen, versagt jedoch für Sonne und Fixsterne ! |
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| kann auf Elektronensysteme im NICHTgleichgewicht geschehen ! | | kann auf Elektronensysteme im NICHTgleichgewicht geschehen ! |
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| * Wie bei Photonen nur mit effektivem chemischem Potenzial <math>\mu \ne 0</math>
| | Wie bei Photonen nur mit effektivem chemischem Potenzial <math>\mu \ne 0</math> |
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| * Anwendung: Laser !
| | Anwendung: Laser ! |
Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Das Photonengas im Strahlungshohlraum basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 4) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Betrachte: elektromagnetische Strahlung in einem ladungs- und stromfreien Hohlraum im thermischen Gleichgewicht:
Ebene Wellen als Lösung der Maxwell- Gleichung !
Mit:
Also: E- Feld, B- Feld und Ausbreitungsrichtung stehen senkrecht aufeinander !
Quantisierung des elektromagnetischen Feldes:
betrachte elektromagnetisches Feld als Feld von Oszillatoren mit Frequenz
- →
Interpretation von nq als Zahl der Schwingungsquanten oder Photonen mit der Energie und mit dem Impuls !
Photonen sind Bosonen (da nq=0,1,2,3,4,5,.... möglich!)
mit Spin S=1.
Aber:
Entartungsgrad nur 2: 2 Spinzustände !, entsprechend 2 Polarisationsrichtungen:
linkszirkular und rechtszirkulare Polarisation ! der klassischen elektromagnetischen Welle !
Bei linkszirkularer Polarisation gilt:
Bei rechtszirkularer Polarisation gilt:
Die dritte Einstellmöglichkeit tritt nicht auf, da es keine "longitudinalen" Photonen gibt ! ( longitudinale Wellen !)
Lichtgeschwindigkeit ist c, da m0=0 ( Ruhemasse)=0
Im thermischen Gleichgewciht des Photonengases mit den Wänden ( "Hohlraumstrahlung") werden ständig Photonen emittiert und absorbiert !
Ihre Anzahl ist deshalb bereits durch T und V festgelegt und daher keine unabhängige Nebenbedingung !
-> kanonisches Ensemble !
Formal:
Setze in der Boseverteilung ( chemisches Potenzial verschwindet)
Dabei kommt der Vorfaktor 2 wegen den beiden möglichen Polarisationsrichtungen !
Übergang zum Quasi- Kontinuum !
Zustandsdichte der Photonen
Somit folgt die Zustandsdichte der Photonen als:
Dabei ist die Energie ein mit dem Volumen skalierter Wert einer spektralen Energiedichte, die über alle Frequenzen integriert wird.
Dem entsprechend ist der Wert der spektralen Energiedichte, die
Plancksche Strahlungsformel
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Grenzfälle
klassisches Resultat, Rayleigh- Jeans- Gesetz richtig für
, aber: Infrarot- Katastrophe !
W. Wien: empirisches Resultat für !
für irdische Lichtquellen, versagt jedoch für Sonne und Fixsterne !
Plancksche Ableitung der Strahlungsformel ( 1900):
Postulat:
Strahlungsenergie gequantelt gemäß
in Zustandssumme !
Damit konnte M. Planck erstmals die Strahlung schwarzer Körper ( also vollständig absorbierender Strahlungshohlräume im thermodynamischen Gleichgewicht) erklären !
Er konnte damit auch zwischen Rayleigh- Jeans und Wien interpolieren !
- historischer Ausgangspunkt der Quantenmechanik !!
Maximum der spektralen Energiedichte für
Wiensches Verschiebungsgesetz
Hier sieht man den Verlauf für T=100, 200, 300, 400 K:
Gesamtenergie
Gewinnt man durch Integration über alle Frequenzen:
Also das Integral unter den obigen Kurven mal das Volumen des Hohlraums !
Auch für einen Strahlungshohlraum lassen sich Wärmekapazität, Druck etc.. angeben:
Wärmekapazität:
Strahlungsdruck im Hohlraum
Aus
folgt mit der kanonischen Zustandssumme Z:
Dies ist keineswegs Null, denn: mit dem Volumen V ändert sich die Frequenz einer stehenden Welle:
Der Strahlungsdruck !
Also:
Das heißt: In einem Hohlraum steigt der Strahlungsdruck mit der vierten Potenz der Temperatur !
Betrachtet man dies in N/ m², so ergibt sich:
Im Zentrum der Sonne allerdings herrschen
bar Strahlungsdruck !:
Einsteinsche Ableitung der Planckschen Strahlungsformel
( 1917)
Einstein hatte den begriff "Photon" im Zusammenhang mit dem Photoeffekt entwickelt !. Im Strahlungshohlraum seien 2 Niveau- Atome, die zwischen den Energien E1 und E2 mit Entartungsgrade g1 und g2 Strahlungsübergänge machen können , indem sie Photonen der Energie
absorbieren oder emittieren !
Im thermodynamischen Gleichgewicht gilt für die mittleren Besetzungszahlen der elektronischen Atomniveaus ( Fermionen):
Dabei gilt für die Besetzungswahrscheinlichkeiten:
Im thermischen Gleichgewicht werden im Mittel so viele Photonen emittiert wie absorbiert:
Ansatz für die Raten ( = Anzahl der Übergänge pro Zeit und Volumen)_
1) Absorption:
mit der Photonenzahl u:
Absorptionsrate:
2) Spontane Emission:
Emissionsrate:
Man erhält als mittlere Lebensdauer eines Anregungszustandes:
3) Induzierte Emission:
Emissionsrate:
Diese wurde von Einstein neu eingeführt !
- Grundlage der Maser ( 1954) und Laser ( 1961)
Vergleichsweise zum chemischen Massenwirkungsgesetz ( Kapitel 4.5) gewinnt man schließlich eine Bilanzgleichung mit den "Einstein- Koeffizienten" B12, A21 und B21:
Auf das richtige Plancksche Strahlungsgesetz kommt man über 2 zusätzliche Postulate:
Damit muss man das Strahlungsgesetz in der Form
schreiben können. Die Bose- Einstein- Verteilung ist also bereits herausgekommen !
das heißt: für hohe Temperaturen sollte das Strahlungsgesetz in das Rayleigh- Jeans- Gesetz übergehen !
Damit gewinnt man den Faktor a !
Verallgemeinerung
kann auf Elektronensysteme im NICHTgleichgewicht geschehen !
Wie bei Photonen nur mit effektivem chemischem Potenzial
Anwendung: Laser !