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| ** für reine Zustände <math>\left\langle {{{\hat{M}}}_{\alpha }} \right\rangle =\left\langle \psi \left| {{M}_{\alpha }} \right|\psi \right\rangle =\operatorname{Tr}\left( \hat{\rho }\hat{M} \right)</math> mit <math>\hat{\rho }=\left| \psi \right\rangle \left\langle \psi \right|</math> | | ** für reine Zustände <math>\left\langle {{{\hat{M}}}_{\alpha }} \right\rangle =\left\langle \psi \left| {{M}_{\alpha }} \right|\psi \right\rangle =\operatorname{Tr}\left( \hat{\rho }\hat{M} \right)</math> mit <math>\hat{\rho }=\left| \psi \right\rangle \left\langle \psi \right|</math> |
| ** für gemischte Zustände <math>\left\langle {{{\hat{M}}}_{\alpha }} \right\rangle =\sum{{{P}_{i}}\left\langle \psi \left| {{M}_{\alpha }} \right|\psi \right\rangle }=\operatorname{Tr}\left( \hat{\rho }{{{\hat{M}}}_{\alpha }} \right)</math> mit <math>\hat{\rho }=\sum{{{P}_{i}}\left| \psi \right\rangle \left\langle \psi \right|}</math> | | ** für gemischte Zustände <math>\left\langle {{{\hat{M}}}_{\alpha }} \right\rangle =\sum{{{P}_{i}}\left\langle \psi \left| {{M}_{\alpha }} \right|\psi \right\rangle }=\operatorname{Tr}\left( \hat{\rho }{{{\hat{M}}}_{\alpha }} \right)</math> mit <math>\hat{\rho }=\sum{{{P}_{i}}\left| \psi \right\rangle \left\langle \psi \right|}</math> |
| | *vorurteilsfreie Schätzung <math>\left| \alpha \right\rangle </math> durch Maximalmessung |
| | *<math>\operatorname{Tr}\hat{\rho }=1</math> |
| | *<math>\operatorname{Tr}\left( \hat{\rho }{{{\hat{M}}}^{\nu }} \right)=\left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle </math> |
| | *<math>\Rightarrow \hat{\rho }=\exp \left( \psi -{{\lambda }_{\nu }}{{M}^{\nu }} \right)</math> |
| | ==Phänomenologische Thermodynamik== |
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| [[Kategorie:Thermodynamik]] | | [[Kategorie:Thermodynamik]] |
Version vom 20. Juli 2009, 13:59 Uhr
klassische Mechanik
- Prinzip der Vorurteilsfreien Schätzung in der klassischen Mechanik
--> gleiche a –priori Wahrscheinlichkeiten
- Hamiltonfunktion mit Hamiltongleichungen
- Lösungen Trajektorien im Phasenraum
Satz von Liouville
Das Phasenraumvolumen ist invariant unter Zeitentwicklung
--> gleiche Phasenvolumina ^= gleiche a-priori Wahrscheinlichkeit bleibt bestehen
--> Informationsmaß über Microzustand kann mit der zeit nicht zunehmen mit
Zustand
(thermodynamischer Zustand durch Mittelwerte der Phasenraumfunktionen
mit
Shannon-Information
- Information: Welches Ereignis tritt ein?
- Wie viel weiß ich von meinem System?
- Maximum --> schafte Verteilung
minimum
- Maximum des Nichtwissens entspricht minimaler Shannon-Information -- > Variation der um
mit 1 Nebendbedingung führt unter Verwendung eines Lagrange-Parameters zu
die Variation, also
lässt keine freien Parameter zu also erhält man N Gleichungen
so erhält man wegen der Normierung () die
Gleichverteilung
Nebenbedingungen
- führt zum Informationstheoretischen Prinzip nach Jaynes
- Wahrscheinlichkeitsverteilung die die minimale Information enthält bei Erfüllung aller bekannten Nebenbedingungen
- Variationsverfahren mit Nebenbedingungen
- Shannon-Information soll minimal werden
- Es gibt m+1 Nebenbedingungen:
- Gesamtwahrscheinlichkeiten sind 1:
- Kenntnis von Mittelwerten makroskopischer Observabelen
- also mit Lagrange Multiplikatoren:
- führt zur Variation
- daraus erhält man die verallgemeinerte kanonische Verteilung
- die m+1 Lagrange-Multiplikatoren sind also eindeutig bestimmt
- , da
Fundamentalbeziehung
- durch eine Legenderetransformation
- extensive Parameter
- intensive Parameter
Beziehungen
- Verknüpfung mit phänomenologischer Statistik
- Entropie = fehlende Kenntnis
- da Shannoninformation (I) nach letzer Messung nicht zunehmen kann, --> kann Entropie (S) nicht abnehmen
- pähnomenologische Definition der intensiven Variabelen
- Gibbssche Fundamentalgleichung
Kullback-Information
- Informationsgewinn
- Minium Variation mit NB:
- (kein Gewinn)
- Informationsgewinn ^= Änderung der Shannon Information
- Mit Dichtematrix
- Für Druckensemble und nicht im Gleichgewichtszustand folgt
- mit Energie
- der Informationsgewinn kann nur abnehmen mit
- --> die Entropieproduktion ist ststs
Situation in der QM
- Microzustände
- Microobservablen (durch Maximalmessung (Satz von vertauschbaren Observabelen)) Operator
- Messert Eigenwert zum Eingenzustand
- Erwartungwert
- für reine Zustände mit
- für gemischte Zustände mit
- vorurteilsfreie Schätzung durch Maximalmessung
Phänomenologische Thermodynamik