Grundbegriffe der Mechanik
Theorie: Mechanik
Klassische Mechanik im Gegensatz von Relativität, Quantenmechanik und statistischer Mechanik :
- beschreibt die Bewegung von Körpern
- ist deterministisch ( aus AnfBed berechenbar)
- ist kausal ( durch Kräfte verursacht)
Mechanik leistet
- einen Überblick über die physikalischen Grundbegriffe
liefert das Paradigma einer physikalischen Theorie ( als mathematisch- geometrische Struktur der Dynamik)
Die Mechanik soll nicht dargestellt sein als Mechanik von mechanischen Systemen aus Massepunkten mit Näherungen und Vernachlässigungen, die zu exakt lösbaren Problemen führen.
Mechanik soll heute den formalen Rahmen betonen
- Symmetrien und Invarianzprinzipien
- geometrische Strukturen
- Nichtlineare Theorie
- Grundlagen für andere Theorien
Die Mechanik soll verallgemeiner, kanonisch formuliert werden
- Lagrangeformalismus: Feldtheorien ( E-Dynamik, Relativität)
- Hamiltonformalismus ( Quantenmechanik und Statistische Mechanik)
Inhalt:
- Extremalprinzipien
- Differenzialprinzip: dÁlembertsches prinzip
- Integralprinzip: Hamiltonsches Prinzip
- Hamiltonsche Gleichungen
- Mechanik des starren Körpers
- Dynamische Systeme und deterministisches Chaos
Grundbegriffe
Kinematik und Dynamik von Systemen von Massepunkten ohne Zwangsbedingungen: Newtonsche Mechanik
Axiome Newtons
- kräftefrei = geradlinig und gleichförmig
- Beschleunigung:
- actio = reactio
- lineares Superpositionsprinzip ( lineare Superposition von Kräften)
Bemerkungen
Körper = Massepunkt ( empirisch motiviert)
Kraft = mechanische Auswirkung einer nicht näher zu spezifizierenden Wechselwirkung ( Gravitation, schwach, elektromagnetisch, stark)
Theorie der Kraft ist Feldtheorie und damit nicht Gegenstand der Mechanik
Erledigt: Edynamik. Ziel: GUT
Die Definition von geradlinig und gleichförmig ist operativ. Geradlinig bestimmt den starren Maßstab und gleichförmig die absolute zeit.( Uhr).
Dadurch werden Struktur von Raum und Zeit bestimmt.
Experimentell zeigte sich:
- Der Raum ist homogen und isotrop ( 3dimensioal und euklidisch)
- Zeit ist universell ( unendlich schnelle Signalgeschwindigkeit)
Ereignis:
Dynamische Variable: ist Bahnkurve, ist Tangentialvektor
- Newtonsches Axiom:
Es existiert ein Inertialsystem ( operativ durch kräftefreie Bewegung definiert).
Galilei- Transformation leistet die generelle Trafo zwischen 2 Inertialsystemen
Bewege sich ein gestrichenes System mit vo nach rechts und lagen die Ursprünge zur Zeit t aufeinander, so gilt für die allgemeine Trafo zwischen 2 Inertialsystemen:
Dabei bezeichnet
den Koordinatenursprung des ungestrichenen Systems.
Sind die Koordinatensysteme gleichzeitig noch gegeneinander verdreht, so gilt:
wobei
die Drehmatrix bezeichnet.
Gegen diese Form der Transformation ist die Newtonsche Mechanik forminvariant: Galilei- Invarianz
- Newtonsches Axiom
, dabei existiert ein skalarer Faktor m, die träge Masse
man gewinnt die Bewegungsgleichung:
Dies ergibt 3 gekoppelte, nichtlineare Differenzialgleichungen
Es existiert jedoch eine eindeutige Lösung zu den Anfangsbedintgungen
Diese Lösung heißt Bahn oder auch Trajektorie oder Orbit.
- Newtonsches AXiom
Beispiel
Man betrachte 2 Massepunkte in einem Inertialsystem ( ohne äußere Kräfte)
Aus Actio = Reactio folgt sofort die Impulserhaltung: ( die erste Kraft wird von 2 auf 1 ausgeübt!)
- Newtonsches Axiom
Kräfte haben Vektorcharakter. Damit sind sie superpositionierbar.
Kräfte entsprechen Feldern. Die entstehenden Theorien sind damit dann lineare Feldtheorien.
Jedoch ist die Bewegungsgleichung
im Allgemeinen nichtlinear ( im Ort, in der Bahnkurve r)
Die einzige Ausnahme bildet der harmonische Oszi
Das Newtonsche Gravitationsgesetz ( empirisch)
Dabei ist die schwere Masse stets größer Null und gleich der trägen Masse ( alle Körper fallen gleich schnell).
Die schwere Masse ist Maß für die Kopplungsstärke der gravitativen Wechselwirkung. Die Träge Masse ist Maß für die Fähigkeit eines Körpers, sich dem Einfluss einer Kraft zu widersetzen, also maß für die Kopplungsstärke der Bewegung mit der wirkenden Kraft. Dass schwere und träge Masse gleich sind ist nur experimentelle Erfahrung
Wählt man schwere und träge Masse gleich