Kinetische Energie und Trägheitstensor: Unterschied zwischen den Versionen
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<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|6|2}}</noinclude> | |||
Betrachten wir eine infinitesimale Verrückung | |||
:<math>\begin{align} | |||
& d\bar{r}=d{{{\bar{r}}}_{S}}+d\bar{x}=d{{{\bar{r}}}_{S}}+d\bar{\phi }\times \bar{x} \\ | |||
& d\bar{\phi }:=\bar{n}d\phi \\ | |||
\end{align}</math> | |||
In Kapitel 3.3 haben wir bereits mit infinitesimalen Drehungen gearbeitet. Dort handelte es sich um passive Drehungen. Hier haben wir es nun mit aktiven Drehungen zu tun → anderes Vorzeichen. | |||
:<math>\bar{V}:=\frac{d{{{\bar{r}}}_{s}}}{dt}</math> Schwerpunktsgeschwindigkeit | |||
:<math>\bar{\omega }:=\frac{d\bar{\phi }}{dt}</math> Winkelgeschwindigkeit | |||
Damit ergibt sich die Geschwindigkeit eines beliebigen Aufpunktes des starren Körpers: | |||
:<math>\bar{v}=\bar{V}+\bar{\omega }\times \bar{x}</math> | |||
Nebenbemerkungen: | |||
:<math>\bar{\omega }</math> hängt von der Wahl von S ab. | |||
Falls S der Schwerpunkt ist, so gilt: | |||
:<math>\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}}=0</math> | |||
nach Def. A) des starren Körpers | |||
:<math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\bar{x}\rho (\bar{x})}=0</math> | |||
Definition B) → Schwerpunktsvektor im körperfesten System | |||
:<math>\bar{K}</math> | |||
: | |||
====Kinetische Energie:==== | |||
#<math>\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}{{v}^{(i)}}^{2}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}{{\left( V+\omega \times {{x}^{(i)}} \right)}^{2}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}{{V}^{2}}+V\cdot \sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}\left( \omega \times {{x}^{(i)}} \right)+\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}{{\left( \omega \times {{x}^{(i)}} \right)}^{2}}</math> | |||
Mit den Beziehungen | |||
:<math>\begin{align} | |||
& \sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}=M \\ | |||
& \bar{V}\cdot \sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}\left( \bar{\omega }\times {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right)=\left( \bar{V}\times \bar{\omega } \right)\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}=0,da\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}=0 \\ | |||
& {{\left( \bar{\omega }\times {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right)}^{2}}={{\omega }^{2}}{{x}^{2}}{{\sin }^{2}}\alpha ={{\omega }^{2}}{{x}^{2}}(1-{{\cos }^{2}}\alpha )={{\omega }^{2}}{{x}^{2}}-{{\left( \bar{\omega }\cdot \bar{x} \right)}^{2}}=\sum\limits_{m=1}^{3}{\sum\limits_{n=1}^{3}{{}}{{\omega }^{m}}\left[ {{x}^{2}}{{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}{{x}_{n}} \right]}{{\omega }^{n}} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Somit folgt: | |||
:<math>T=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}{{{v}}^{(i)}}^{2}}=\frac{1}{2}M{{V}^{2}}+\frac{1}{2}\sum\limits_{m=1}^{3}{\sum\limits_{n=1}^{3}{{}}{{\omega }^{m}}{{J}_{mn}}}{{\omega }^{n}}</math> | |||
mit dem Trägheitstensor | |||
:<math>{{J}_{mn}}:=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}\left[ {{{{x}}}^{(i)}}^{2}{{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}^{(i)}{{x}_{n}}^{(i)} \right]</math> | |||
Der Trägheitstensor ist also durch die Massenverteilung bestimmt | |||
Im Sinne der Definition B) dagegen gilt: | |||
:<math>\begin{align} | |||
& T=\frac{1}{2}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x}){{\left( \bar{V}+\bar{\omega }\times \bar{x} \right)}^{2}}}=\frac{1}{2}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x}){{V}^{2}}+\left( \bar{V}\times \bar{\omega } \right)\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\bar{x}+\frac{1}{2}\sum\limits_{m=1}^{3}{\sum\limits_{n=1}^{3}{{}}{{\omega }^{m}}{{J}_{mn}}}{{\omega }^{n}}}} \\ | |||
& mit\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\bar{x}=0} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
und dem Trägheitstensor | |||
:<math>{{J}_{mn}}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\left[ {{x}^{2}}{{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}{{x}_{n}} \right]}</math> | |||
Also gilt die Zerlegung der kinetischen Energie: | |||
:<math>\begin{align} | |||
& T=\frac{1}{2}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x}){{\left( \bar{V}+\bar{\omega }\times \bar{x} \right)}^{2}}}=\frac{1}{2}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x}){{V}^{2}}+\frac{1}{2}\sum\limits_{m=1}^{3}{\sum\limits_{n=1}^{3}{{}}{{\omega }^{m}}{{J}_{mn}}}{{\omega }^{n}}} \\ | |||
& \\ | |||
\end{align}</math> | |||
:<math>\begin{align} | |||
& T=\frac{1}{2}M{{V}^{2}}+\frac{1}{2}\bar{\omega }\bar{\bar{J}}\bar{\omega } \\ | |||
& \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Dabei ist | |||
:<math>{{T}_{trans}}=\frac{1}{2}M{{V}^{2}}</math> | |||
kinetische Energie der translatorischen Bewegung | |||
:<math>{{T}_{rot}}=\frac{1}{2}\bar{\omega }\bar{\bar{J}}\bar{\omega }</math> | |||
kinetische Energie der Rotationsbewegung | |||
====Eigenschaften des Trägheitstensors==== | |||
:<math>\bar{\bar{J}}</math> | |||
ist ein Tensor zweiter Stufe. Das heißt unter Drehungen | |||
:<math>R\in SO(3)</math> | |||
transformiert er sich wie folgt: | |||
R kennzeichnet dabei die Drehmatrizen im | |||
:<math>{{R}^{3}}</math> | |||
mit Orthogonalitätseigenschaft: | |||
:<math>R{{R}^{T}}=1,\det R=1</math> | |||
Nun, er transformiert sich unter Drehungen wie folgt: | |||
Wenn | |||
:<math>{{x}_{m}}\to {{x}_{m}}\acute{\ }=\sum\limits_{n=1}^{3}{{{R}_{mn}}{{x}_{n}}}</math> | |||
Dann: | |||
:<math>{{J}_{mn}}\to {{J}_{mn}}\acute{\ }=\sum\limits_{l=1}^{3}{\sum\limits_{s=1}^{3}{{}}{{R}_{ml}}{{R}_{ns}}{{J}_{ls}}}</math> | |||
Kompakt: | |||
:<math>\begin{align} | |||
& \bar{x}\to \bar{x}\acute{\ }=R\bar{x} \\ | |||
& \bar{\bar{J}}\to \bar{\bar{J}}\acute{\ }=R\bar{\bar{J}}{{R}^{T}} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Dabei bemerken wir: Matrizen sind einfach Zahlenschemata mit Zeilen und Spalten. Aber erst das Transformationsverhalten definiert einen Tenor (Im Gegensatz zu einer Matrix). | |||
Tensor 1. Stufe: | |||
:<math>{{x}_{m}}\acute{\ }=\sum\limits_{n=1}^{3}{{{R}_{mn}}{{x}_{n}}}</math> | |||
= Vektor | |||
Tensor 2. Stufe | |||
:<math>{{J}_{mn}}\acute{\ }=\sum\limits_{l=1}^{3}{\sum\limits_{s=1}^{3}{{}}{{R}_{ml}}{{R}_{ns}}{{J}_{ls}}}</math> | |||
Tensor n-ter STufe: | |||
:<math>{{A}_{mn....x}}\acute{\ }=\sum\limits_{l,s,...,t=1}^{3}{{{R}_{ml}}{{R}_{ns}}...{{R}_{xt}}{{A}_{ls...t}}}</math> | |||
wobei links n Indices stehen und rechts n mal die Drehmatrix angewendet wird (und jeweils von 1-3 summiert!) | |||
====Beweis des Transformationsverhaltens für==== | |||
:<math>{{J}_{mn}}:=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}\left[ \left( \sum\limits_{t}{{{x}_{t}}{{^{(i)}}^{2}}} \right){{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}^{(i)}{{x}_{n}}^{(i)} \right]</math> | |||
Zunächst zum Skalarprodukt: | |||
:<math>\begin{align} | |||
& {{x}_{m}}\acute{\ }=\sum\limits_{n=1}^{3}{{{R}_{mn}}{{x}_{n}}} \\ | |||
& \Rightarrow \sum\limits_{t}{{{x}_{t}}{{\acute{\ }}^{2}}}=\sum\limits_{t}{\sum\limits_{l}{\sum\limits_{s}{{{R}_{tl}}{{R}_{ts}}{{x}_{l}}{{x}_{s}}}=}\sum\limits_{l}{\sum\limits_{s}{\left( \sum\limits_{t}{{}}{{R}_{lt}}^{T}{{R}_{ts}} \right){{x}_{l}}{{x}_{s}}}=\sum\limits_{l}{\sum\limits_{s}{{{\delta }_{ls}}{{x}_{l}}{{x}_{s}}}=\sum\limits_{l}{{{x}_{l}}^{2}}}}} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
das Skalarprodukt ist also invariant | |||
Aber auch das Delta- Element ist invariant: | |||
:<math>\sum\limits_{l}{\sum\limits_{s}{{{R}_{ml}}{{R}_{ns}}{{\delta }_{ls}}}=}\sum\limits_{l}{{{R}_{ml}}{{R}_{nl}}=}\sum\limits_{l}{{{R}_{ml}}{{R}_{\ln }}^{T}={{\delta }_{mn}}}</math> | |||
Kompakt: | |||
:<math>R1{{R}^{T}}=R{{R}^{T}}=1</math> | |||
Also: | |||
:<math>\begin{align} | |||
& {{J}_{mn}}\acute{\ }=\sum\limits_{l=1}^{3}{\sum\limits_{s=1}^{3}{{}}{{R}_{ml}}{{R}_{ns}}{{J}_{ls}}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}\sum\limits_{l=1}^{3}{\sum\limits_{s=1}^{3}{{}}{{R}_{ml}}{{R}_{ns}}\left[ \left( \sum\limits_{t}{{{x}_{t}}{{^{(i)}}^{2}}} \right){{\delta }_{ls}}-{{x}_{l}}^{(i)}{{x}_{s}}^{(i)} \right]} \\ | |||
& {{J}_{mn}}\acute{\ }=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{m}_{i}}}\left[ \left( \sum\limits_{t}{{{x}_{t}}^{(i)}{{\acute{\ }}^{2}}} \right){{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}^{(i)}\acute{\ }{{x}_{n}}^{(i)}\acute{\ } \right] \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Der Trägheitstensor J´ in den neuen Koordinaten ist also gleich dem alten, was Transformationsverhalten eines Tensors zweiter Stufe belegt: | |||
Dabei gilt: | |||
:<math>\left( \sum\limits_{t}{{{x}_{t}}^{(i)}{{\acute{\ }}^{2}}} \right){{\delta }_{mn}}</math> | |||
ist der invariante Anteil | |||
:<math>{{x}_{m}}^{(i)}\acute{\ }{{x}_{n}}^{(i)}\acute{\ }</math> | |||
hängt von der Wahl des körperfesten koordinatensystems ab. | |||
<u>'''Weitere Eigenschaften'''</u> | |||
# | |||
:<math>{{J}_{mn}}</math> | |||
enthält einen kugelsymmetrischen, also rotationsinvarianten Anteil | |||
:<math>\left( \sum\limits_{t}{{{x}_{t}}{{^{(i)}}^{2}}} \right){{\delta }_{mn}}</math> | |||
# | |||
:<math>{{J}_{mn}}</math> | |||
ist linear in der Massendichte. Der Trägheitstensor ist also additiv beim Zusammenfügen zweier starrer Körper | |||
# | |||
:<math>{{J}_{mn}}</math> | |||
ist ein reeller, symmetrischer Tensor, dargestellt durch die reelle, symmetrisch Matrix | |||
:<math>\bar{\bar{J}}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\left( \begin{matrix} | |||
{{x}_{2}}^{2}+{{x}_{3}}^{2} & -{{x}_{1}}{{x}_{2}} & -{{x}_{1}}{{x}_{3}} \\ | |||
-{{x}_{1}}{{x}_{2}} & {{x}_{3}}^{2}+{{x}_{1}}^{2} & -{{x}_{2}}{{x}_{3}} \\ | |||
-{{x}_{1}}{{x}_{3}} & -{{x}_{2}}{{x}_{3}} & {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2} \\ | |||
\end{matrix} \right)}</math> | |||
Der Tensor ist diagonalisierbar durch die orthogonale Transformation | |||
:<math>{{R}_{0}}\in SO(3):</math> | |||
:<math>\bar{\bar{J}}\acute{\ }={{R}_{0}}\bar{\bar{J}}{{R}_{0}}^{T}=\left( \begin{matrix} | |||
{{J}_{1}} & 0 & 0 \\ | |||
0 & {{J}_{2}} & 0 \\ | |||
0 & 0 & {{J}_{3}} \\ | |||
\end{matrix} \right)</math> | |||
Das heißt: Es existiert ein gedrehtes, körperfestes Koordinatensystem (y1,y2,y3) in Richtung der '''Hauptträgheitsachsen:''' | |||
:<math>\bar{\bar{J}}\acute{\ }=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}y\rho (\bar{y})\left( \begin{matrix} | |||
{{y}_{2}}^{2}+{{y}_{3}}^{2} & 0 & 0 \\ | |||
0 & {{y}_{3}}^{2}+{{y}_{1}}^{2} & 0 \\ | |||
0 & 0 & {{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2} \\ | |||
\end{matrix} \right)}</math> | |||
Also: | |||
:<math>{{J}_{i}}\ge 0</math> | |||
i=1,..,3, Matrix positiv semidefinit. | |||
Die Diagonalisierung führt auf das Eigenwertproblem: | |||
:<math>\bar{\bar{J}}{{\hat{\bar{w}}}^{(i)}}={{J}_{i}}{{\hat{\bar{w}}}^{(i)}}</math> | |||
mit Eigenvektoren | |||
:<math>{{\hat{\bar{w}}}^{(i)}}</math> | |||
und Eigenwerten Ji. Ein homogenes, lineares Gleichungssystem | |||
Ziel ist es nun, die Hauptachsenrichtung | |||
:<math>{{\hat{\bar{w}}}^{(i)}}</math> | |||
so zu suchen, dass | |||
:<math>\bar{\bar{J}}</math> | |||
diagonal wird: | |||
:<math>\Leftrightarrow \det \left( \bar{\bar{J}}-{{J}_{i}}1 \right)=0</math> | |||
Somit ergeben sich 3 reelle, positiv semidefinite Eigenwerte Ji | |||
====Das Trägheitsmoment==== | |||
<u>'''Trägheitsmoment bezüglich Achse '''</u> | |||
:<math>\bar{n}:J(\bar{n}):=\bar{n}\bar{\bar{J}}\bar{n}</math> | |||
Diese quadratische Form ist positiv semidefinit. | |||
:<math>\bar{\omega }=\bar{n}\omega \Rightarrow T=\frac{1}{2}{{\omega }^{2}}J(\bar{n})</math> | |||
<u>'''Trägheitsellipsoid'''</u> | |||
Die Normierung des Trägheitsmomentes liefert eine Ellipsoidgleichung: | |||
:<math>\bar{n}\bar{\bar{J}}\bar{n}=1</math>. | |||
Die Lage des Ellipsoids sind ist durch die Eigenvektoren | |||
:<math>{{\hat{\bar{w}}}^{(i)}}</math>, | |||
die Maße folgen aus den Ji derart, dass die zu | |||
:<math>{{\hat{\bar{w}}}^{(i)}}</math> | |||
gehörige Achse die Länge | |||
:<math>\frac{1}{\sqrt{{{J}_{i}}}}</math> | |||
trägt: | |||
# Die Ji heißen Hauptträgheitsmomente (Trägheitsmomente entlang der Eigenvektoren= Hauptachsen) | |||
Es gilt: | |||
:<math>{{J}_{1}}\ne {{J}_{2}}\ne {{J}_{3}}</math> | |||
unsymmetrischer Kreisel | |||
:<math>{{J}_{1}}={{J}_{2}}\ne {{J}_{3}}</math> | |||
symmetrischer Kreisel (axialsymmetrisch) | |||
:<math>{{J}_{1}}={{J}_{2}}={{J}_{3}}</math> | |||
kugelsymmetrischer Kreisel (nicht notwendigerweise Kugelform) | |||
====Satz von Steiner==== | |||
Sei''' ''' | |||
:<math>{{J}_{mn}}</math> | |||
der Trägheitstensor in einem körperfesten System | |||
:<math>\bar{K}</math>, | |||
welches im Schwerpunkt S zentriert ist. Sei nun | |||
:<math>\bar{K}\acute{\ }</math> | |||
ein zu | |||
:<math>\bar{K}</math> | |||
achsparalleles, um den Vektor | |||
:<math>\bar{a}</math> | |||
verschobenes System. Dann ist | |||
:<math>{{J}_{mn}}\acute{\ }</math> in <math>\bar{K}\acute{\ }</math> | |||
gegeben durch | |||
:<math>{{J}_{mn}}\acute{\ }={{J}_{mn}}+M\left[ {{a}^{2}}{{\delta }_{mn}}-{{a}_{m}}{{a}_{n}} \right]</math> | |||
Die beiden Koordinatensystem dürfen dabei nur durch die Translation um | |||
:<math>\bar{a}</math> | |||
unterschiedlich sein. Wesentlich ist vor allem, dass bei roationsvarianten Systemen keine Verdrehung der Achsen erfolgt! | |||
Beweis: | |||
:<math>{{J}_{mn}}\acute{\ }=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\acute{\ }}\rho \acute{\ }(\bar{x}\acute{\ })\left[ \left( \sum\limits_{t}{{{x}_{t}}{{\acute{\ }}^{2}}} \right){{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}\acute{\ }{{x}_{n}}\acute{\ } \right]</math> | |||
Bei uns: | |||
:<math>\bar{x}\acute{\ }=\bar{x}+\bar{a}</math> | |||
:<math>\begin{align} | |||
& {{J}_{mn}}\acute{\ }=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x}\rho (\bar{x})\left[ \left( \sum\limits_{t}{{{\left( {{x}_{t}}+{{a}_{t}} \right)}^{2}}} \right){{\delta }_{mn}}-\left( {{x}_{m}}+{{a}_{m}} \right)\left( {{x}_{n}}+{{a}_{n}} \right) \right] \\ | |||
& {{J}_{mn}}\acute{\ }=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x}\rho (\bar{x})\left[ \left( \sum\limits_{t}{\left[ {{\left( {{x}_{t}} \right)}^{2}}+2\left( {{a}_{t}}{{x}_{t}} \right)+{{a}_{t}}^{2} \right]} \right){{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}{{x}_{n}}-{{x}_{m}}{{a}_{n}}-{{x}_{n}}{{a}_{m}}-{{a}_{m}}{{a}_{n}} \right] \\ | |||
& \int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x}\rho (\bar{x})\sum\limits_{t}{\left( {{a}_{t}}{{x}_{t}} \right)}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x}\rho (\bar{x})\left( {{x}_{m}}{{a}_{n}}+{{x}_{n}}{{a}_{m}} \right)=0\quad wegen\ \int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x}\rho (\bar{x})\bar{x}=0 \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Somit: | |||
:<math>\begin{align} | |||
& {{J}_{mn}}\acute{\ }=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x}\rho (\bar{x})\left[ \left( \sum\limits_{t}{\left( {{x}_{t}}^{2}+{{a}_{t}}^{2} \right)} \right){{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}{{x}_{n}}-{{a}_{m}}{{a}_{n}} \right] \\ | |||
& {{J}_{mn}}\acute{\ }={{J}_{mn}}+\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x}\rho (\bar{x})\left[ \left( \sum\limits_{t}{\left( {{a}_{t}}^{2} \right)} \right){{\delta }_{mn}}-{{a}_{m}}{{a}_{n}} \right]={{J}_{mn}}+M\left[ {{a}^{2}}{{\delta }_{mn}}-{{a}_{m}}{{a}_{n}} \right] \\ | |||
\end{align}</math> | |||
'''Speziell im Hauptachsensystem:''' | |||
keine Außerdiagonalelemente: m=n:=i | |||
:<math>{{J}_{i}}\acute{\ }={{J}_{i}}+M({{a}^{2}}-{{a}_{i}}^{2})\quad i=1,..,3</math> mit <math>({{a}^{2}}-{{a}_{i}}^{2})</math> | |||
als Quadrat des Abstandes der beiden Drehachsen. | |||
Dabei wird bei einer Verschiebung um | |||
:<math>\bar{a}</math> | |||
nur der Abstand der Drehachsen berücksichtigt. das heißt, die Komponente der Verschiebung in Richtung der Drehachse wird wieder quadratisch subtrahiert: | |||
<u>'''Beispiele'''</u> | |||
1. Kugelsymmetrische Massendichte: | |||
:<math>\begin{align} | |||
& \rho (\bar{x})=\rho (r) \\ | |||
& {{J}_{1}}={{J}_{2}}={{J}_{3}}=:J \\ | |||
& 3J={{J}_{1}}+{{J}_{2}}+{{J}_{3}}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x}\rho (r)\left[ \left( {{x}_{2}}^{2}+{{x}_{3}}^{2} \right)+\left( {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{3}}^{2} \right)+\left( {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2} \right) \right]=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x}\rho (r)2{{r}^{2}} \\ | |||
& 3J=2\cdot 4\pi \int_{0}^{R}{dr{{r}^{4}}\rho (r)} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Bei homogener Massenverteilung: | |||
:<math>M=\frac{4\pi }{3}{{R}^{3}}</math> | |||
bezüglich Schwerpunkt S | |||
folgt: | |||
:<math>\begin{align} | |||
& J=\frac{8}{3}\pi \int_{0}^{R}{dr{{r}^{4}}\rho (r)}=\frac{2M}{{{R}^{3}}}\int_{0}^{R}{dr{{r}^{4}}} \\ | |||
& J=\frac{2}{5}M{{R}^{2}} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
2. Abrollende Kugel: Momentaner Auflagepunkt ist A | |||
Das Trägheitsmoment bezüglich der momentanen Drehachse durch den Auflagepunkt A: | |||
:<math>{{J}_{A}}=J+M{{R}^{2}}=\frac{2}{5}M{{R}^{2}}+M{{R}^{2}}=\frac{7}{5}M{{R}^{2}}</math> |
Aktuelle Version vom 9. August 2011, 13:12 Uhr
Der Artikel Kinetische Energie und Trägheitstensor basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 6.Kapitels (Abschnitt 2) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
|}}
Betrachten wir eine infinitesimale Verrückung
In Kapitel 3.3 haben wir bereits mit infinitesimalen Drehungen gearbeitet. Dort handelte es sich um passive Drehungen. Hier haben wir es nun mit aktiven Drehungen zu tun → anderes Vorzeichen.
Damit ergibt sich die Geschwindigkeit eines beliebigen Aufpunktes des starren Körpers:
Nebenbemerkungen:
Falls S der Schwerpunkt ist, so gilt:
nach Def. A) des starren Körpers
Definition B) → Schwerpunktsvektor im körperfesten System
Kinetische Energie:
Mit den Beziehungen
Somit folgt:
mit dem Trägheitstensor
Der Trägheitstensor ist also durch die Massenverteilung bestimmt
Im Sinne der Definition B) dagegen gilt:
und dem Trägheitstensor
Also gilt die Zerlegung der kinetischen Energie:
Dabei ist
kinetische Energie der translatorischen Bewegung
kinetische Energie der Rotationsbewegung
Eigenschaften des Trägheitstensors
ist ein Tensor zweiter Stufe. Das heißt unter Drehungen
transformiert er sich wie folgt:
R kennzeichnet dabei die Drehmatrizen im
mit Orthogonalitätseigenschaft:
Nun, er transformiert sich unter Drehungen wie folgt:
Wenn
Dann:
Kompakt:
Dabei bemerken wir: Matrizen sind einfach Zahlenschemata mit Zeilen und Spalten. Aber erst das Transformationsverhalten definiert einen Tenor (Im Gegensatz zu einer Matrix).
Tensor 1. Stufe:
= Vektor
Tensor 2. Stufe
Tensor n-ter STufe:
wobei links n Indices stehen und rechts n mal die Drehmatrix angewendet wird (und jeweils von 1-3 summiert!)
Beweis des Transformationsverhaltens für
Zunächst zum Skalarprodukt:
das Skalarprodukt ist also invariant
Aber auch das Delta- Element ist invariant:
Kompakt:
Also:
Der Trägheitstensor J´ in den neuen Koordinaten ist also gleich dem alten, was Transformationsverhalten eines Tensors zweiter Stufe belegt:
Dabei gilt:
ist der invariante Anteil
hängt von der Wahl des körperfesten koordinatensystems ab.
Weitere Eigenschaften
enthält einen kugelsymmetrischen, also rotationsinvarianten Anteil
ist linear in der Massendichte. Der Trägheitstensor ist also additiv beim Zusammenfügen zweier starrer Körper
ist ein reeller, symmetrischer Tensor, dargestellt durch die reelle, symmetrisch Matrix
Der Tensor ist diagonalisierbar durch die orthogonale Transformation
Das heißt: Es existiert ein gedrehtes, körperfestes Koordinatensystem (y1,y2,y3) in Richtung der Hauptträgheitsachsen:
Also:
i=1,..,3, Matrix positiv semidefinit.
Die Diagonalisierung führt auf das Eigenwertproblem:
mit Eigenvektoren
und Eigenwerten Ji. Ein homogenes, lineares Gleichungssystem
Ziel ist es nun, die Hauptachsenrichtung
so zu suchen, dass
diagonal wird:
Somit ergeben sich 3 reelle, positiv semidefinite Eigenwerte Ji
Das Trägheitsmoment
Trägheitsmoment bezüglich Achse
Diese quadratische Form ist positiv semidefinit.
Trägheitsellipsoid
Die Normierung des Trägheitsmomentes liefert eine Ellipsoidgleichung:
Die Lage des Ellipsoids sind ist durch die Eigenvektoren
die Maße folgen aus den Ji derart, dass die zu
gehörige Achse die Länge
trägt:
- Die Ji heißen Hauptträgheitsmomente (Trägheitsmomente entlang der Eigenvektoren= Hauptachsen)
Es gilt:
unsymmetrischer Kreisel
symmetrischer Kreisel (axialsymmetrisch)
kugelsymmetrischer Kreisel (nicht notwendigerweise Kugelform)
Satz von Steiner
Sei
der Trägheitstensor in einem körperfesten System
welches im Schwerpunkt S zentriert ist. Sei nun
ein zu
achsparalleles, um den Vektor
verschobenes System. Dann ist
gegeben durch
Die beiden Koordinatensystem dürfen dabei nur durch die Translation um
unterschiedlich sein. Wesentlich ist vor allem, dass bei roationsvarianten Systemen keine Verdrehung der Achsen erfolgt!
Beweis:
Bei uns:
Somit:
Speziell im Hauptachsensystem:
keine Außerdiagonalelemente: m=n:=i
als Quadrat des Abstandes der beiden Drehachsen.
Dabei wird bei einer Verschiebung um
nur der Abstand der Drehachsen berücksichtigt. das heißt, die Komponente der Verschiebung in Richtung der Drehachse wird wieder quadratisch subtrahiert:
Beispiele
1. Kugelsymmetrische Massendichte:
Bei homogener Massenverteilung:
bezüglich Schwerpunkt S
folgt:
2. Abrollende Kugel: Momentaner Auflagepunkt ist A
Das Trägheitsmoment bezüglich der momentanen Drehachse durch den Auflagepunkt A: