Kernkräfte: Unterschied zwischen den Versionen

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===Berechnung des Wirkungsquerschnitts:===
===Berechnung des Wirkungsquerschnitts:===
Zunächst Entwicklung der einlaufenden ebenen Welle nach Kugelwellen.
Zunächst Entwicklung der einlaufenden ebenen Welle nach Kugelwellen.


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:<math>j_l(kr)</math> sphärische Besselfunktionen
:<math>j_l(kr)</math> sphärische Besselfunktionen


 
Sinn: Bei niedrigen Energien (<math>E_n \le 10 \rm MeV</math>) kann wegen der kurzen
Sinn: Bei niedrigen Energien (<math>E_n \le 10 MeV</math>) kann wegen der kurzen
Reichweite der Kernkräfte nur der <math>1 = O</math>-Anteil (S-Wellen) gestreut
Reichweite der Kernkräfte nur der <math>1 = O</math>-Anteil (S-Wellen) gestreut
werden. Teilchen mit <math>1 \neq 0</math> kommen bei diesen Energien nicht nahe
werden. Teilchen mit <math>1 \neq 0</math> kommen bei diesen Energien nicht nahe
genug heran.
genug heran.
Quantitativ:
Quantitativ:


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Der S-Wellenanteil der einlaufenden ebenen Welle lautet mit <math>j_0(kr)</math>:
Der S-Wellenanteil der einlaufenden ebenen Welle lautet mit <math>j_0(kr)</math>:


:(S-Wellenanteil) <math>=\frac{\sin kr}{kr}\equiv \frac{e^{ikr}-e^{-ikr}}{2ikr}</math> <math>e^{ikr}</math> auslaufende Kugelwelle <math>e^{-ikr}</math> einlaufende Kugelwelle
:(S-Wellenanteil) <math>=\frac{\sin kr}{kr}\equiv \frac{e^{ikr}-e^{-ikr}}{2ikr}</math>, <math>e^{ikr}</math> auslaufende Kugelwelle, <math>e^{-ikr}</math> einlaufende Kugelwelle


Nach dem "Durchlaufen" des Zentralpotentials <math>V = V(r)</math> bleiben der
Nach dem "Durchlaufen" des Zentralpotentials <math>V = V(r)</math> bleiben der
S-Wellencharakter, der Wellenvektor k und die Teilchenzahl erhalten.
S-Wellencharakter, der Wellenvektor <math>k</math> und die Teilchenzahl erhalten.
Deshalb kann es nur eine '''Phasenänderung''' in der '''auslaufenden
Deshalb kann es nur eine '''Phasenänderung''' in der '''auslaufenden Kugelwelle''' geben.
Kugelwelle''' geben.


S-Wellenanteil nach Durchlaufen des Streupotentials:
S-Wellenanteil nach Durchlaufen des Streupotentials:
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!Innenbereich I !! Außenbereich 11
!Innenbereich I !! Außenbereich II
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| <math>\left[\frac{h^2}{2\mu}\frac{d^2}{dr^2}+V_0\right] u = E u</math>  || <math>\left[\frac{h^2}{2\mu}\frac{d^2}{dr^2}+0\right] u = E u</math>  
| <math>\left[\frac{h^2}{2\mu}\frac{d^2}{dr^2}+V_0\right] u = E u</math>  || <math>\left[\frac{h^2}{2\mu}\frac{d^2}{dr^2}+0\right] u = E u</math>  
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Stetige Anpassung für u und du/dr bei <math>r = r_0</math> ergibt
Stetige Anpassung für <math>u</math> und <math>du/dr</math> bei <math>r = r_0</math> ergibt
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
A_1 \sin Kr_0 &= A_2 \sin (k r_0 +\delta_0) &=A_2 k (r_0-a)\\
A_1 \sin Kr_0 &= A_2 \sin (k r_0 +\delta_0) &=A_2 k (r_0-a)\\
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\end{align}</math>
\end{align}</math>


Im niederenergetischen Bereich mit <math>k \le K</math> kann man die Sinusfunktion
Im niederenergetischen Bereich mit <math>k \ll K</math> kann man die Sinusfunktion
im Außenbereich durch eine Gerade ersetzen
im Außenbereich durch eine Gerade ersetzen
:<math>u \approx A_2 (kr+\delta_0) = A_2 k(r-a)</math> mit <math>\delta_0 = -ka</math>.
:<math>u \simeq A_2 (kr+\delta_0) = A_2 k(r-a)</math> mit <math>\delta_0 = -ka</math>.


 
Die sogenannte {{FB|Streulänge}} <math>a</math> ist der Schnittpunkt dieser Geraden mit der r-Achse. Je nachdem (<math>V_0,r_0</math>) für <math>E \approx 0</math> bindend oder nichtbindend ist, ist a positiv oder negativ. Sehr große Werte für die
Die sogenannte Streulänge a ist der Schnittpunkt dieser Geraden
mit der r-Achse. Je nachdem (<math>V_0,r_0</math>) für <math>E \approx 0</math> bindend oder nichtbindend
ist, ist a positiv oder negativ. Sehr große Werte für die
Streulänge erhält man, wenn das Potential gerade noch (<math>V_T</math>) oder
Streulänge erhält man, wenn das Potential gerade noch (<math>V_T</math>) oder
gerade nicht mehr bindend (<math>V_s</math>) ist.
gerade nicht mehr bindend (<math>V_S</math>) ist.




[[Datei:8.7.Wirkungsquerschnitt.Kasten.QM.png]]
[[Datei:8.7.Wirkungsquerschnitt.Kasten.QM.png|miniatur|zentriert|hochkant=2|Wellefunktion fürStreulänge für Singulett, Triplett etc]]


Wirkungsquerschnitt <math>\sigma = 4\pi|f(\theta)|^2 = 4\pi \frac{\sin^2 \delta_0 }{k^2} = 4 \pi a^2</math>
Wirkungsquerschnitt <math>\sigma = 4\pi|f(\theta)|^2 = 4\pi \frac{\sin^2 \delta_0 }{k^2} = 4 \pi a^2</math>
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Experimentell:
Experimentell:


[[Datei:8.8.Wirkungsquerschnitt.Experimentell.png]]
[[Datei:8.8.Wirkungsquerschnitt.Experimentell.png|miniatur|zentriert|hochkant=2|Totaler Wirkungsquerschnitt als Funktion der Neutronenenergie]]


Grobe Abschätzung aus Deuteronproblem ergibt für das Triplettpotential
Grobe Abschätzung aus {{FB|Deuteronproblem}} ergibt für das {{FB|Triplettpotential}}
<math>a_T = 5,7\times 10^{-15}m</math> und damit <math>\sigma_T \approx 4,5\times 10^{-28}m^2</math> . Damit erhält man
:<math>a_T = 5,7\times 10^{-15}m</math> und damit <math>\sigma_T \approx 4,5\times 10^{-28}m^2</math>.
aus <math>\sigma \approx 20\times 10^{-28}m^2</math> für <math>\sigma_s \approx 68  \times 10^{-28}m^ 2</math> und <math>|a_s| = 23\times 10^{- 28}m^2</math>. Das negative Vorzeichen <math>a_s < 0</math> folgt aus Messungen der kohärenten
 
Damit erhält man aus <math>\sigma \approx 20\times 10^{-28}m^2</math> für <math>\sigma_S \approx 68  \times 10^{-28}m^ 2</math> und  
:<math>|a_S| = 23\times 10^{- 28}m^2</math>. Das negative Vorzeichen <math>a_S < 0</math> folgt aus Messungen der kohärenten
Streuung am Para-Wasserstoff-Molekül.
Streuung am Para-Wasserstoff-Molekül.




Während der Bereich bis ca. <math>10^4</math> eV vom Sinulett-Potential beherrscht
Während der Bereich bis ca.  
wird, tritt für den Bereich <math>10^4 - 10^7</math> eV immer mehr das
:<math>10^4</math> eV vom '''Singulett-Potential''' beherrscht wird, tritt für den Bereich  
Triplett-Potential in den Vordergrund. Ab <math>10^7</math> eV müssen verstärkt
:<math>10^4 - 10^7</math> eV immer mehr das '''Triplett-Potential''' in den Vordergrund. Ab  
höhere Bahndrehimpulsanteile berücksichtigt werden.
:<math>10^7</math> eV müssen verstärkt '''höhere Bahndrehimpulsanteile''' berücksichtigt werden.




Bei einer feldtheoretischen Behandlung in Analogie zur Quantenelektrodynamik
Bei einer feldtheoretischen Behandlung in Analogie zur Quantenelektrodynamik
versucht man die Kernkräfte durch Mesonen-Austauschprozesse
versucht man die Kernkräfte durch {{FB|Mesonen-Austauschprozesse}} zu beschreiben. Dabei wird der "langreichweitige"
zu beschreiben. Dabei wird der "langreichweitige"
Teil durch {{FB|Ein-Pion-Austauschprozess}}e (Yukawa-Ansatz 1935) und der Bereich mittlerer Reichweite durch {{FB|Zwei-Pion-Austauschprozess}}e beschrieben.
Teil durch Ein-Pion-Austauschprozesse (Yukawa-Ansatz 1935) und der
 
Bereich mittlerer Reichweite durch Zwei-Pion-Austauschprozesse beschrieben.
Der "kurzreichweitige" Teil mit einem stark abstoßenden Anteil (''hard core'') muß durch den Austausch mehrerer Mesonen behandelt
Der "kurzreichweitige" Teil mit einem stark abstoßenden
Anteil (hard core) muß durch den Austausch mehrerer Mesonen behandelt
werden. Dabei spielen nicht nur die <math>\omega</math>-Mesonen, sondern schwere
werden. Dabei spielen nicht nur die <math>\omega</math>-Mesonen, sondern schwere
Mesonen (z.B. das <math>\omega</math>-Meson mit <math>mc^2 = 783 MeV</math>) wegen ihrer
Mesonen (z.B. das <math>\omega</math>-Meson mit <math>mc^2 = 783 MeV</math>) wegen ihrer
kleinen Compton-Wellenlänge eine besondere Rolle. Da Nukleonen und
'''kleinen Compton-Wellenlänge''' eine besondere Rolle. Da Nukleonen und
Mesonen ihrerseits aus Quarks zusammengesetzt sind, die von
Mesonen ihrerseits aus {{FB|Quarks}} zusammengesetzt sind, die von {{FB|Gluonen}} zusammengehalten werden, muß eine genauere Feldtheorie der
Gluonen zusammengehalten werden, muß eine genauere Feldtheorie der
Kernkräfte auf diesen Teilchen aufbauen.
Kernkräfte auf diesen Teilchen aufbauen.



Aktuelle Version vom 28. August 2011, 14:32 Uhr

Die Abfrage enthält eine leere Bedingung.



Wegen B/Aconst Kräfte immer nur zwischen zwei Nukleonen. Einfachste Modellsysteme:

  • a) das Deuteron und
  • b) n-p Streuung


Deuteron

Das Deuteron als einfachstes gebundenes Nukleonensystem mit folgenden Eigenschaften

1) Bindungsenergie n+pd+2,2MeV
2) Kernspin I=1, magnetisches Kerndipolmoment μI=0,857...μK (μIμp+μn=0,879...μKI=12+12,3S1-Zustand) elektrisches Quadrupolmoment Q=+2,861031m2=2,7mb, d.h. sehr klein
3) es existiert kein angeregter Zustand, außerdem gibt es kein Diproton oder Dineutron.

Reduktion des Zweikörperproblems durch Relativkoordinate r=rrn und red. Masse μ=mpmnmp+mn12mp

Schrödingergleichung [22μ2+V]Ψ=EΨ

Problem E=2,2MeV bekannt, V unbekannt.

Annahme: V=V(r) Zentralpotential. Separationsansatz von Radial- und Winkelteil Ψnlm=Rnl(r)Ylm(θ,ϕ)

Radialteil [22μd2dr2+V(r)+l(l+1)22μr2](rRnl)=Enl(rRnl) mit l(l+1)22μr2 Zentrifugalpotential

Zentrifugalpotential abstoßend --> Grundzustand 1 = 0 (wird durch I = 1 und μIμn+μp unterstützt). (rRnl)=(rRl0)=u

Erste (grobe) Annahme von V(r): Kastenpotential (V0,r0 )

Trennung der Radialgleichung in Innen(I)- und Außen (II)-Bereich

Innen (I): rr0d2udr2+2μ2(EV0)u=0 , K=2μ(EV0)2

Lösung u=AsinKr+CcosKrRB:u=AsinKr RB: u=0 für r0 wegen u/r endlich C = 0


Außen (II): rr0d2udr2+2μ2(E)u=0 , k=2μE2=[4,31015m]1

Lösung u=Bekr+Dekr=Bek(rr0) RB: u = A \sin Kr</math> RB: u0 für r D=0


Stetiger Anlschluß von u und dudr bei r=r0:

AsinKr0=BKAcosKr0=B(k)KctgKr0=k

Damit werden die beiden Parameter (V0,r0) des Kastenpotentials miteinander verknüpft, z.B. mögliche Wertepaare

r0=1,4×1015m,2×1015mV0=50MeV,30MeV

Da für I=12+12 nur I = 1 existiert, sind die Kernkräfte spinabhängig, wobei nur das Triplettpotential bindend ist. Erklärt auch die Nichtexistenz von p2 und n2 durch das Pauli-Prinzip.



Grobe Abschätzung für Singulett-Potential:

Falls Vs gerade nicht mehr bindend sinKr01 senkrecht auf Potentialwand, so daß man keine abnehmende Exponentialfunktion im Außenraum anfügen kann.

Kr0π2 bedeutet in Zahlenwerten |V0|r02100,V0[MeV],r0[1015m]


Die Existenz des (sehr kleinen) Quadrupolmoments bedeutet einen sehr kleinen Beitrag einer nichtzentralen Kraft, die eine 3D1-Zumischung ermöglicht.

n-p Streuung

Wirkungsquerschnitt σ[m2]

Wikungsquerschnitt für Protonen Neutronen Streuung

σ als "Trefferfläche" , z.B. σ(geom.)=πR210291028m2(1028m2=1b). Festkörpertarget N1022 Kerne/cm³, σ1028m3, Targetlänge z.B. 1=102mσNl103102 , d.h. "dünnes" Target mit I=I0(lσNl).


Kinematik: mpmn, "Billardproblem"

Protonen Neutronen Streuung in verschiedenen Bezugssystemen

21 Körperproblem: Stoß zweier Teilchen gleicher Masse im CM-System ist äquivalent dem Stoß eines Teilchens mit reduzierter Masse μ=m/2 und E=ELAB/2 an einem festen Streuzentrum bei r=rprp0.

Quantenmechanische Formulierung des Streuproblems

Quantenmechanische Formulierung für Protonen Neutronen Streuung


differentieller Wirkungsquerschnitt dσ/dΩ in Raumwinkel dΩ:

dσdn= Fluss der gestreuten Teilchen in Raumwinkel dΩ(Detektor)Fluss der einlaufenden Teilchen pro Einheitsflaeche


Fluß der einfallenden Teilchen
|eikz|2v, |eikz|2 1 Teilchen pro Raumeinheit
Fluß der gestreuten Teilchen in dΩ:|eikrf(θ)|2r2v
dσdΩ=|f(θ)|2 Quadrat der Streuamplitude f(θ)


Speziell für isotrope Streuung (f(σ)=const.) ist dann der (Gesamt)-Wirkungsquerschnitt

σ=4π|f|2 .


Berechnung des Wirkungsquerschnitts:

Zunächst Entwicklung der einlaufenden ebenen Welle nach Kugelwellen.

eikz=eikrcosθ=1il(2l+1)jl(kr)P1(cosθ)
jl(kr) sphärische Besselfunktionen

Sinn: Bei niedrigen Energien (En10MeV) kann wegen der kurzen Reichweite der Kernkräfte nur der 1=O-Anteil (S-Wellen) gestreut werden. Teilchen mit 10 kommen bei diesen Energien nicht nahe genug heran.

Quantitativ:

Wegen k=2μE2=0,1512ELAB[MeV]1015ml und r0=1015m ist für ELABMeV die Bedingung kr01 erfüllt.

Der S-Wellenanteil der einlaufenden ebenen Welle lautet mit j0(kr):

(S-Wellenanteil) =sinkrkreikreikr2ikr, eikr auslaufende Kugelwelle, eikr einlaufende Kugelwelle

Nach dem "Durchlaufen" des Zentralpotentials V=V(r) bleiben der S-Wellencharakter, der Wellenvektor k und die Teilchenzahl erhalten. Deshalb kann es nur eine Phasenänderung in der auslaufenden Kugelwelle geben.

S-Wellenanteil nach Durchlaufen des Streupotentials:

ei(kr+2δ0)eikr2ikreiδ0sin(kr+δ0)kr

Die Differenz des S-Wellenanteils vor und nach der Streuung charakterisiert die qestreuten Teilchen, also die gestreute auslaufende Kugelwelle eikrrf(θ):

ei(kr+2δ0eikr2ikrei(kr+δ0)rsinδ0k

Damit gilt für den diff. Wirkungsquerschnitt in Abhängigkeit von der Streuphase δ0

dσdΩ=|f(θ)|2=sin2δ0k2

Berechnung der Streuphase mit einem Kastenpotential (V0,r0) über die Schrödingergleichung analog zum Deuteronproblem, jedoch E>O.

Innenbereich I Außenbereich II
[h22μd2dr2+V0]u=Eu [h22μd2dr2+0]u=Eu
u=A1sinKr u=A1sin(kr+δ0)
K=2μ(EV0)2 k=2μ(E)2 (siehe eiδ0sin(kr+δ0)kr und Ψur

Stetige Anpassung für u und du/dr bei r=r0 ergibt

A1sinKr0=A2sin(kr0+δ0)=A2k(r0a)KA1cosKr0=kA2cos(kr0+δ0)=A2kKcotKr0=cot(kr0+δ0)=(r0a)1kK

Im niederenergetischen Bereich mit kK kann man die Sinusfunktion im Außenbereich durch eine Gerade ersetzen

uA2(kr+δ0)=A2k(ra) mit δ0=ka.

Die sogenannte Streulänge a ist der Schnittpunkt dieser Geraden mit der r-Achse. Je nachdem (V0,r0) für E0 bindend oder nichtbindend ist, ist a positiv oder negativ. Sehr große Werte für die Streulänge erhält man, wenn das Potential gerade noch (VT) oder gerade nicht mehr bindend (VS) ist.


Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Die Miniaturansicht konnte nicht am vorgesehenen Ort gespeichert werden
Wellefunktion fürStreulänge für Singulett, Triplett etc

Wirkungsquerschnitt σ=4π|f(θ)|2=4πsin2δ0k2=4πa2 unabhängig von E für den Bereich kK mit δ0=ka und a=r01KtgKr0. In der Streu1änge a sind wieder die beiden Parameter des Kastenpotentials (V0,r0) miteinander verknüpft.


Experimentell:

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Die Miniaturansicht konnte nicht am vorgesehenen Ort gespeichert werden
Totaler Wirkungsquerschnitt als Funktion der Neutronenenergie

Grobe Abschätzung aus Deuteronproblem ergibt für das Triplettpotential

aT=5,7×1015m und damit σT4,5×1028m2.

Damit erhält man aus σ20×1028m2 für σS68×1028m2 und

|aS|=23×1028m2. Das negative Vorzeichen aS<0 folgt aus Messungen der kohärenten

Streuung am Para-Wasserstoff-Molekül.


Während der Bereich bis ca.

104 eV vom Singulett-Potential beherrscht wird, tritt für den Bereich
104107 eV immer mehr das Triplett-Potential in den Vordergrund. Ab
107 eV müssen verstärkt höhere Bahndrehimpulsanteile berücksichtigt werden.


Bei einer feldtheoretischen Behandlung in Analogie zur Quantenelektrodynamik versucht man die Kernkräfte durch Mesonen-Austauschprozesse zu beschreiben. Dabei wird der "langreichweitige" Teil durch Ein-Pion-Austauschprozesse (Yukawa-Ansatz 1935) und der Bereich mittlerer Reichweite durch Zwei-Pion-Austauschprozesse beschrieben.

Der "kurzreichweitige" Teil mit einem stark abstoßenden Anteil (hard core) muß durch den Austausch mehrerer Mesonen behandelt werden. Dabei spielen nicht nur die ω-Mesonen, sondern schwere Mesonen (z.B. das ω-Meson mit mc2=783MeV) wegen ihrer kleinen Compton-Wellenlänge eine besondere Rolle. Da Nukleonen und Mesonen ihrerseits aus Quarks zusammengesetzt sind, die von Gluonen zusammengehalten werden, muß eine genauere Feldtheorie der Kernkräfte auf diesen Teilchen aufbauen.

Ergänzende Informationen

(gehört nicht zum Skript)

Prüfungsfragen

  • Was ist das besondere der starken und schwachen WW? -> sehr kurze Reichweite
  • Analogie QCD -> \pi , QED -> \gamma (Quarks als Grundbaustein der Hadronen mit Gluonen als Austauschteilehen und Pionen als Austauschteilehen der Hadronen im Atomkern (Yukawa Potential), nur erwähnt, Quarks und Leptonen (speziell Elektronen) sind Punkteilchen)