Kernkräfte: Unterschied zwischen den Versionen
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===Berechnung des Wirkungsquerschnitts:=== | ===Berechnung des Wirkungsquerschnitts:=== | ||
Zunächst Entwicklung der einlaufenden ebenen Welle nach Kugelwellen. | Zunächst Entwicklung der einlaufenden ebenen Welle nach Kugelwellen. | ||
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:<math>j_l(kr)</math> sphärische Besselfunktionen | :<math>j_l(kr)</math> sphärische Besselfunktionen | ||
Sinn: Bei niedrigen Energien (<math>E_n \le 10 \rm MeV</math>) kann wegen der kurzen | |||
Sinn: Bei niedrigen Energien (<math>E_n \le 10 MeV</math>) kann wegen der kurzen | |||
Reichweite der Kernkräfte nur der <math>1 = O</math>-Anteil (S-Wellen) gestreut | Reichweite der Kernkräfte nur der <math>1 = O</math>-Anteil (S-Wellen) gestreut | ||
werden. Teilchen mit <math>1 \neq 0</math> kommen bei diesen Energien nicht nahe | werden. Teilchen mit <math>1 \neq 0</math> kommen bei diesen Energien nicht nahe | ||
genug heran. | genug heran. | ||
Quantitativ: | Quantitativ: | ||
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Der S-Wellenanteil der einlaufenden ebenen Welle lautet mit <math>j_0(kr)</math>: | Der S-Wellenanteil der einlaufenden ebenen Welle lautet mit <math>j_0(kr)</math>: | ||
:(S-Wellenanteil) <math>=\frac{\sin kr}{kr}\equiv \frac{e^{ikr}-e^{-ikr}}{2ikr}</math> <math>e^{ikr}</math> auslaufende Kugelwelle <math>e^{-ikr}</math> einlaufende Kugelwelle | :(S-Wellenanteil) <math>=\frac{\sin kr}{kr}\equiv \frac{e^{ikr}-e^{-ikr}}{2ikr}</math>, <math>e^{ikr}</math> auslaufende Kugelwelle, <math>e^{-ikr}</math> einlaufende Kugelwelle | ||
Nach dem "Durchlaufen" des Zentralpotentials <math>V = V(r)</math> bleiben der | Nach dem "Durchlaufen" des Zentralpotentials <math>V = V(r)</math> bleiben der | ||
S-Wellencharakter, der Wellenvektor k und die Teilchenzahl erhalten. | S-Wellencharakter, der Wellenvektor <math>k</math> und die Teilchenzahl erhalten. | ||
Deshalb kann es nur eine '''Phasenänderung''' in der '''auslaufenden | Deshalb kann es nur eine '''Phasenänderung''' in der '''auslaufenden Kugelwelle''' geben. | ||
Kugelwelle''' geben. | |||
S-Wellenanteil nach Durchlaufen des Streupotentials: | S-Wellenanteil nach Durchlaufen des Streupotentials: | ||
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!Innenbereich I !! Außenbereich | !Innenbereich I !! Außenbereich II | ||
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| <math>\left[\frac{h^2}{2\mu}\frac{d^2}{dr^2}+V_0\right] u = E u</math> || <math>\left[\frac{h^2}{2\mu}\frac{d^2}{dr^2}+0\right] u = E u</math> | | <math>\left[\frac{h^2}{2\mu}\frac{d^2}{dr^2}+V_0\right] u = E u</math> || <math>\left[\frac{h^2}{2\mu}\frac{d^2}{dr^2}+0\right] u = E u</math> | ||
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Stetige Anpassung für u und du/dr bei <math>r = r_0</math> ergibt | Stetige Anpassung für <math>u</math> und <math>du/dr</math> bei <math>r = r_0</math> ergibt | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
A_1 \sin Kr_0 &= A_2 \sin (k r_0 +\delta_0) &=A_2 k (r_0-a)\\ | A_1 \sin Kr_0 &= A_2 \sin (k r_0 +\delta_0) &=A_2 k (r_0-a)\\ | ||
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\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Im niederenergetischen Bereich mit <math>k \ | Im niederenergetischen Bereich mit <math>k \ll K</math> kann man die Sinusfunktion | ||
im Außenbereich durch eine Gerade ersetzen | im Außenbereich durch eine Gerade ersetzen | ||
:<math>u \ | :<math>u \simeq A_2 (kr+\delta_0) = A_2 k(r-a)</math> mit <math>\delta_0 = -ka</math>. | ||
Die sogenannte {{FB|Streulänge}} <math>a</math> ist der Schnittpunkt dieser Geraden mit der r-Achse. Je nachdem (<math>V_0,r_0</math>) für <math>E \approx 0</math> bindend oder nichtbindend ist, ist a positiv oder negativ. Sehr große Werte für die | |||
Die sogenannte Streulänge a ist der Schnittpunkt dieser Geraden | |||
mit der r-Achse. Je nachdem (<math>V_0,r_0</math>) für <math>E \approx 0</math> bindend oder nichtbindend | |||
ist, ist a positiv oder negativ. Sehr große Werte für die | |||
Streulänge erhält man, wenn das Potential gerade noch (<math>V_T</math>) oder | Streulänge erhält man, wenn das Potential gerade noch (<math>V_T</math>) oder | ||
gerade nicht mehr bindend (<math> | gerade nicht mehr bindend (<math>V_S</math>) ist. | ||
[[Datei:8.7.Wirkungsquerschnitt.Kasten.QM.png]] | [[Datei:8.7.Wirkungsquerschnitt.Kasten.QM.png|miniatur|zentriert|hochkant=2|Wellefunktion fürStreulänge für Singulett, Triplett etc]] | ||
Wirkungsquerschnitt <math>\sigma = 4\pi|f(\theta)|^2 = 4\pi \frac{\sin^2 \delta_0 }{k^2} = 4 \pi a^2</math> | Wirkungsquerschnitt <math>\sigma = 4\pi|f(\theta)|^2 = 4\pi \frac{\sin^2 \delta_0 }{k^2} = 4 \pi a^2</math> | ||
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Experimentell: | Experimentell: | ||
[[Datei:8.8.Wirkungsquerschnitt.Experimentell.png]] | [[Datei:8.8.Wirkungsquerschnitt.Experimentell.png|miniatur|zentriert|hochkant=2|Totaler Wirkungsquerschnitt als Funktion der Neutronenenergie]] | ||
Grobe Abschätzung aus Deuteronproblem ergibt für das Triplettpotential | Grobe Abschätzung aus {{FB|Deuteronproblem}} ergibt für das {{FB|Triplettpotential}} | ||
<math>a_T = 5,7\times 10^{-15}m</math> und damit <math>\sigma_T \approx 4,5\times 10^{-28}m^2</math> . Damit erhält man | :<math>a_T = 5,7\times 10^{-15}m</math> und damit <math>\sigma_T \approx 4,5\times 10^{-28}m^2</math>. | ||
aus <math>\sigma \approx 20\times 10^{-28}m^2</math> für <math>\ | |||
Damit erhält man aus <math>\sigma \approx 20\times 10^{-28}m^2</math> für <math>\sigma_S \approx 68 \times 10^{-28}m^ 2</math> und | |||
:<math>|a_S| = 23\times 10^{- 28}m^2</math>. Das negative Vorzeichen <math>a_S < 0</math> folgt aus Messungen der kohärenten | |||
Streuung am Para-Wasserstoff-Molekül. | Streuung am Para-Wasserstoff-Molekül. | ||
Während der Bereich bis ca. <math>10^4</math> eV vom | Während der Bereich bis ca. | ||
wird, tritt für den Bereich <math>10^4 - 10^7</math> eV immer mehr das | :<math>10^4</math> eV vom '''Singulett-Potential''' beherrscht wird, tritt für den Bereich | ||
Triplett-Potential in den Vordergrund. Ab <math>10^7</math> eV müssen verstärkt | :<math>10^4 - 10^7</math> eV immer mehr das '''Triplett-Potential''' in den Vordergrund. Ab | ||
höhere Bahndrehimpulsanteile berücksichtigt werden. | :<math>10^7</math> eV müssen verstärkt '''höhere Bahndrehimpulsanteile''' berücksichtigt werden. | ||
Bei einer feldtheoretischen Behandlung in Analogie zur Quantenelektrodynamik | Bei einer feldtheoretischen Behandlung in Analogie zur Quantenelektrodynamik | ||
versucht man die Kernkräfte durch Mesonen-Austauschprozesse | versucht man die Kernkräfte durch {{FB|Mesonen-Austauschprozesse}} zu beschreiben. Dabei wird der "langreichweitige" | ||
zu beschreiben. Dabei wird der "langreichweitige" | Teil durch {{FB|Ein-Pion-Austauschprozess}}e (Yukawa-Ansatz 1935) und der Bereich mittlerer Reichweite durch {{FB|Zwei-Pion-Austauschprozess}}e beschrieben. | ||
Teil durch Ein-Pion- | |||
Bereich mittlerer Reichweite durch Zwei-Pion- | Der "kurzreichweitige" Teil mit einem stark abstoßenden Anteil (''hard core'') muß durch den Austausch mehrerer Mesonen behandelt | ||
Der "kurzreichweitige" Teil mit einem stark abstoßenden | |||
Anteil (hard core) muß durch den Austausch mehrerer Mesonen behandelt | |||
werden. Dabei spielen nicht nur die <math>\omega</math>-Mesonen, sondern schwere | werden. Dabei spielen nicht nur die <math>\omega</math>-Mesonen, sondern schwere | ||
Mesonen (z.B. das <math>\omega</math>-Meson mit <math>mc^2 = 783 MeV</math>) wegen ihrer | Mesonen (z.B. das <math>\omega</math>-Meson mit <math>mc^2 = 783 MeV</math>) wegen ihrer | ||
kleinen Compton-Wellenlänge eine besondere Rolle. Da Nukleonen und | '''kleinen Compton-Wellenlänge''' eine besondere Rolle. Da Nukleonen und | ||
Mesonen ihrerseits aus Quarks zusammengesetzt sind, die von | Mesonen ihrerseits aus {{FB|Quarks}} zusammengesetzt sind, die von {{FB|Gluonen}} zusammengehalten werden, muß eine genauere Feldtheorie der | ||
Gluonen zusammengehalten werden, muß eine genauere Feldtheorie der | |||
Kernkräfte auf diesen Teilchen aufbauen. | Kernkräfte auf diesen Teilchen aufbauen. | ||
Aktuelle Version vom 28. August 2011, 14:32 Uhr
Der Artikel Kernkräfte basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 8.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann. |
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Die Abfrage enthält eine leere Bedingung.
Wegen Kräfte immer nur zwischen zwei Nukleonen. Einfachste
Modellsysteme:
- a) das Deuteron und
- b) n-p Streuung
Deuteron
Das Deuteron als einfachstes gebundenes Nukleonensystem mit folgenden Eigenschaften
- 1) Bindungsenergie
- 2) Kernspin , magnetisches Kerndipolmoment (-Zustand) elektrisches Quadrupolmoment , d.h. sehr klein
- 3) es existiert kein angeregter Zustand, außerdem gibt es kein Diproton oder Dineutron.
Reduktion des Zweikörperproblems durch Relativkoordinate und red. Masse
Annahme: Zentralpotential. Separationsansatz von Radial- und Winkelteil
Radialteil mit Zentrifugalpotential
Zentrifugalpotential abstoßend --> Grundzustand 1 = 0 (wird durch I = 1 und unterstützt).
Erste (grobe) Annahme von V(r): Kastenpotential ( )
Lösung RB: für wegen u/r endlich C = 0
Lösung RB: u = A \sin Kr</math> RB: für D=0
Stetiger Anlschluß von u und bei :
Damit werden die beiden Parameter () des Kastenpotentials miteinander verknüpft, z.B. mögliche Wertepaare
Da für nur I = 1 existiert, sind die Kernkräfte spinabhängig, wobei nur das Triplettpotential bindend ist. Erklärt auch die Nichtexistenz von und durch das Pauli-Prinzip.
Grobe Abschätzung für Singulett-Potential:
Falls gerade nicht mehr bindend senkrecht auf Potentialwand, so daß man keine abnehmende Exponentialfunktion im Außenraum anfügen kann.
Die Existenz des (sehr kleinen) Quadrupolmoments bedeutet einen sehr kleinen Beitrag einer nichtzentralen Kraft,
die eine -Zumischung ermöglicht.
n-p Streuung
als "Trefferfläche" , z.B. . Festkörpertarget Kerne/cm³, , Targetlänge z.B. , d.h. "dünnes" Target mit .
Körperproblem: Stoß zweier Teilchen gleicher Masse im CM-System ist äquivalent dem Stoß eines Teilchens mit reduzierter Masse und an einem festen Streuzentrum bei .
Quantenmechanische Formulierung des Streuproblems
differentieller Wirkungsquerschnitt in Raumwinkel :
Speziell für isotrope Streuung ist dann der (Gesamt)-Wirkungsquerschnitt
Berechnung des Wirkungsquerschnitts:
Zunächst Entwicklung der einlaufenden ebenen Welle nach Kugelwellen.
Sinn: Bei niedrigen Energien () kann wegen der kurzen Reichweite der Kernkräfte nur der -Anteil (S-Wellen) gestreut werden. Teilchen mit kommen bei diesen Energien nicht nahe genug heran.
Quantitativ:
Wegen und m ist für die Bedingung erfüllt.
Der S-Wellenanteil der einlaufenden ebenen Welle lautet mit :
Nach dem "Durchlaufen" des Zentralpotentials bleiben der S-Wellencharakter, der Wellenvektor und die Teilchenzahl erhalten. Deshalb kann es nur eine Phasenänderung in der auslaufenden Kugelwelle geben.
S-Wellenanteil nach Durchlaufen des Streupotentials:
Die Differenz des S-Wellenanteils vor und nach der Streuung charakterisiert die qestreuten Teilchen, also die gestreute auslaufende Kugelwelle :
Damit gilt für den diff. Wirkungsquerschnitt in Abhängigkeit von der Streuphase
Berechnung der Streuphase mit einem Kastenpotential () über die Schrödingergleichung analog zum Deuteronproblem, jedoch .
Innenbereich I | Außenbereich II |
---|---|
(siehe und |
Stetige Anpassung für und bei ergibt
Im niederenergetischen Bereich mit kann man die Sinusfunktion im Außenbereich durch eine Gerade ersetzen
Die sogenannte Streulänge ist der Schnittpunkt dieser Geraden mit der r-Achse. Je nachdem () für bindend oder nichtbindend ist, ist a positiv oder negativ. Sehr große Werte für die Streulänge erhält man, wenn das Potential gerade noch () oder gerade nicht mehr bindend () ist.
Wirkungsquerschnitt unabhängig von E für den Bereich mit und . In der Streu1änge a sind wieder die beiden Parameter des Kastenpotentials () miteinander verknüpft.
Experimentell:
Grobe Abschätzung aus Deuteronproblem ergibt für das Triplettpotential
Streuung am Para-Wasserstoff-Molekül.
Während der Bereich bis ca.
- eV vom Singulett-Potential beherrscht wird, tritt für den Bereich
- eV immer mehr das Triplett-Potential in den Vordergrund. Ab
- eV müssen verstärkt höhere Bahndrehimpulsanteile berücksichtigt werden.
Bei einer feldtheoretischen Behandlung in Analogie zur Quantenelektrodynamik
versucht man die Kernkräfte durch Mesonen-Austauschprozesse zu beschreiben. Dabei wird der "langreichweitige"
Teil durch Ein-Pion-Austauschprozesse (Yukawa-Ansatz 1935) und der Bereich mittlerer Reichweite durch Zwei-Pion-Austauschprozesse beschrieben.
Der "kurzreichweitige" Teil mit einem stark abstoßenden Anteil (hard core) muß durch den Austausch mehrerer Mesonen behandelt werden. Dabei spielen nicht nur die -Mesonen, sondern schwere Mesonen (z.B. das -Meson mit ) wegen ihrer kleinen Compton-Wellenlänge eine besondere Rolle. Da Nukleonen und Mesonen ihrerseits aus Quarks zusammengesetzt sind, die von Gluonen zusammengehalten werden, muß eine genauere Feldtheorie der Kernkräfte auf diesen Teilchen aufbauen.
Ergänzende Informationen
(gehört nicht zum Skript)
Prüfungsfragen
- Was ist das besondere der starken und schwachen WW? -> sehr kurze Reichweite
- Analogie QCD -> \pi , QED -> \gamma (Quarks als Grundbaustein der Hadronen mit Gluonen als Austauschteilehen und Pionen als Austauschteilehen der Hadronen im Atomkern (Yukawa Potential), nur erwähnt, Quarks und Leptonen (speziell Elektronen) sind Punkteilchen)