Zustände mit Bahn- und Spinvariablen - Versionsgeschichte

Schubotz am 7. April 2012 um 15:00 Uhr

2012-04-07T15:00:12Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. April 2012, 17:00 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:

	: <math>\begin{align}		: <math>\begin{align}

	& \left\| nlm{{m}_{s}} \right\rangle =\left\| nlm \right\rangle \left\| {{m}_{s}} \right\rangle \in {{H}_{B}}\times {{H}_{S}} \\		& \left\| nlm{{m}_{s}} \right\rangle =\left\| nlm \right\rangle \left\| {{m}_{s}} \right\rangle \in {{H}_{B}}\times {{H}_{S}} \\

	& \left\| nlm \right\rangle \in {{H}_{B}} \\		& \left\| nlm \right\rangle \in {{H}_{B}} \\

	& \left\| {{m}_{s}} \right\rangle \in {{H}_{S}} \\		& \left\| {{m}_{s}} \right\rangle \in {{H}_{S}} \\

	\end{align}</math>		\end{align}</math>

Zeile 139:		Zeile 135:
	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \left( \begin{matrix}		& \left( \begin{matrix}

	{{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}+\hbar {{\omega }_{l}} & 0 \\		{{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}+\hbar {{\omega }_{l}} & 0 \\
	0 & {{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}-\hbar {{\omega }_{l}} \\		0 & {{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}-\hbar {{\omega }_{l}} \\
	\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}		\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}

	{{\left\| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\		{{\left\| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\

	{{\left\| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\		{{\left\| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\
	\end{matrix} \right)=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left( \begin{matrix}		\end{matrix} \right)=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left( \begin{matrix}

	{{\left\| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\		{{\left\| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\

	{{\left\| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\		{{\left\| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\
	\end{matrix} \right) \\		\end{matrix} \right) \\
Zeile 166:		Zeile 157:

	: <math>\begin{align}		: <math>\begin{align}

	& \hat{H}={{{\hat{H}}}_{B}}\times 1+{{H}_{S}}=\left[\frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r) \right]\times 1-\frac{\left\| e \right\|\hbar B}{2{{m}_{0}}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\		& \hat{H}={{{\hat{H}}}_{B}}\times 1+{{H}_{S}}=\left[\frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r) \right]\times 1-\frac{\left\| e \right\|\hbar B}{2{{m}_{0}}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\
	& \hat{H}\cong \left[\frac{{{{\bar{p}}}^{2}}}{2{{m}_{0}}}+V(r) \right]\times 1-\frac{\left\| e \right\|B}{2{{m}_{0}}}\left( {{{\hat{L}}}_{3}}\times 1+\hbar {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right) \\		& \hat{H}\cong \left[\frac{{{{\bar{p}}}^{2}}}{2{{m}_{0}}}+V(r) \right]\times 1-\frac{\left\| e \right\|B}{2{{m}_{0}}}\left( {{{\hat{L}}}_{3}}\times 1+\hbar {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right) \\

>SchuBot: / Pauli Gleichung */Interpunktion, replaced: ! → ! (6), ( → ( (3)

2010-09-12T22:47:36Z

Pauli Gleichung: Interpunktion, replaced: ! → ! (6), ( → ( (3)

← Nächstältere Version		Version vom 13. September 2010, 00:47 Uhr
Zeile 159:		Zeile 159:
	== Pauli Gleichung ==		== Pauli Gleichung ==

	'''Anwendung: '''- einfacher Zeeman- Effekt mit Spin. 1 Elektron im kugelsymmetrischen Potenzial ( Kern (H)oder Atomrumpf(Na)) und homogenen Magnetfeld <math>\bar{B}=B{{\bar{e}}_{3}}</math>		'''Anwendung: '''- einfacher Zeeman- Effekt mit Spin. 1 Elektron im kugelsymmetrischen Potenzial (Kern (H)oder Atomrumpf(Na)) und homogenen Magnetfeld <math>\bar{B}=B{{\bar{e}}_{3}}</math>

	: <math>\hat{H}={{\hat{H}}_{B}}\times 1+{{H}_{S}}=\left[\frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r) \right]\times 1-\frac{\left\| e \right\|\hbar B}{2{{m}_{0}}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}</math>		: <math>\hat{H}={{\hat{H}}_{B}}\times 1+{{H}_{S}}=\left[\frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r) \right]\times 1-\frac{\left\| e \right\|\hbar B}{2{{m}_{0}}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}</math>
Zeile 189:		Zeile 189:

	Das bedeutet:		Das bedeutet:
	teilweise Aufhebung der <math>2(2l+1)</math>- fachen Entartung (sogenannter {{FB\|Anomaler Zeemann-Effekt}} !)		teilweise Aufhebung der <math>2(2l+1)</math>- fachen Entartung (sogenannter {{FB\|Anomaler Zeemann-Effekt}}!)

	{{Gln\| <math>E={{E}_{nl}}-{{\mu }_{B}}B\left( m+2{{m}_{s}} \right)</math>}}		{{Gln\| <math>E={{E}_{nl}}-{{\mu }_{B}}B\left( m+2{{m}_{s}} \right)</math>}}
Zeile 195:		Zeile 195:
	Dies gilt für '''paramagnetische''' Atome mit magnetischem Moment <math>{{\mu }_{3}}={{\mu }_{B}}\left( m+2{{m}_{s}} \right)</math>.		Dies gilt für '''paramagnetische''' Atome mit magnetischem Moment <math>{{\mu }_{3}}={{\mu }_{B}}\left( m+2{{m}_{s}} \right)</math>.

	Dabei entspricht <math>2</math> vor ms dem gyromagnetischen Verhältnis, kommt also wegen dem Landé- Faktor g=2, auch wenn dieser leicht von 2 verschieden ist ! ( Siehe oben).		Dabei entspricht <math>2</math> vor ms dem gyromagnetischen Verhältnis, kommt also wegen dem Landé- Faktor g=2, auch wenn dieser leicht von 2 verschieden ist! (Siehe oben).
	Für dieses Beispiel wird die Energieverschiebung linear zu B am besten in Einheiten von <math>{{\mu }_{B}}</math>		Für dieses Beispiel wird die Energieverschiebung linear zu B am besten in Einheiten von <math>{{\mu }_{B}}</math>
	angegeben. s und p - Orbital lassen sich folgendermaßen in einem sogenannten Termschema skizzieren ( für den anomalen Zeemann- Effekt ):		angegeben. s und p - Orbital lassen sich folgendermaßen in einem sogenannten Termschema skizzieren (für den anomalen Zeemann- Effekt):
	Das heißt: die m- Entartung, die ohne Spin vollständig aufgehoben wurde, ist jetzt nur noch teilweise aufgehoben!		Das heißt: die m- Entartung, die ohne Spin vollständig aufgehoben wurde, ist jetzt nur noch teilweise aufgehoben!
	Da die Aufhebung der Spin- Entartung die Energiezustände wieder so "weiterrückt", dass vorher getrennte wieder zusammenfallen!		Da die Aufhebung der Spin- Entartung die Energiezustände wieder so "weiterrückt", dass vorher getrennte wieder zusammenfallen!
Zeile 203:		Zeile 203:
	{\|		{\|
	\|+Tabelle: Landé- Faktoren		\|+Tabelle: Landé- Faktoren
	!Teilchen !! s !! g !! Q		!Teilchen!! s!! g!! Q
	\|-		\|-
	\|'''Elektron''' \|\|'''1/2''' \|\|'''2'''\|\| '''-e'''		\|'''Elektron''' \|\|'''1/2''' \|\|'''2'''\|\| '''-e'''

*>SchuBot: Pfeile einfügen, replaced: -> → → (2)

2010-09-12T20:10:11Z

Pfeile einfügen, replaced: -> → → (2)

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 22:10 Uhr
Zeile 125:		Zeile 125:
	Dabei		Dabei
	:<math>1</math>		:<math>1</math>
	= Einsoperator im Spinraum -> Spin bleibt unberücksichtigt. Einheitsmatrix für beliebigen Vorgang im Spinraum: <math>1=\left( \begin{matrix}		= Einsoperator im Spinraum → Spin bleibt unberücksichtigt. Einheitsmatrix für beliebigen Vorgang im Spinraum: <math>1=\left( \begin{matrix}
	1 & 0 \\		1 & 0 \\
	0 & 1 \\		0 & 1 \\
Zeile 175:		Zeile 175:
	Wie man sieht bekommt man durch den Korrekturterm <math>\frac{\left\| e \right\|B}{2{{m}_{0}}}\left( {{{\hat{L}}}_{3}}\times 1+\hbar {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right)</math>		Wie man sieht bekommt man durch den Korrekturterm <math>\frac{\left\| e \right\|B}{2{{m}_{0}}}\left( {{{\hat{L}}}_{3}}\times 1+\hbar {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right)</math>
	eine Korrektur an die Energie.		eine Korrektur an die Energie.
	'''Für B=0 -> Eigenzustände mit Spin'''		'''Für B=0 → Eigenzustände mit Spin'''
	:<math>\left( {{H}_{0}}\times 1 \right)\left\| nlm{{m}_{s}} \right\rangle ={{E}_{nl}}\left\| nlm{{m}_{s}} \right\rangle </math>		:<math>\left( {{H}_{0}}\times 1 \right)\left\| nlm{{m}_{s}} \right\rangle ={{E}_{nl}}\left\| nlm{{m}_{s}} \right\rangle </math>

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T14:49:28Z

Einrückungen Mathematik

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 16:49 Uhr
Zeile 92:		Zeile 92:

	Hamilton- Operator für Bahn:		Hamilton- Operator für Bahn:
	<math>{{\hat{H}}_{B}}=\frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r)</math>		:<math>{{\hat{H}}_{B}}=\frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r)</math>
	Elektron mit Ladung e{{H}_{B}}</math>		Elektron mit Ladung e{{H}_{B}}</math>

	Hamilton- Operator für Spin:		Hamilton- Operator für Spin:
	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& {{{\hat{H}}}_{S}}=-\hbar {{\omega }_{l}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\		& {{{\hat{H}}}_{S}}=-\hbar {{\omega }_{l}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\
	& {{\omega }_{l}}=\frac{\left\| e \right\|B}{2{{m}_{0}}} \\		& {{\omega }_{l}}=\frac{\left\| e \right\|B}{2{{m}_{0}}} \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	<math>{{\hat{H}}_{S}}</math>		:<math>{{\hat{H}}_{S}}</math>
	wirkt dabei nur im Hilbertraum <math>{{H}_{S}}</math>		wirkt dabei nur im Hilbertraum <math>{{H}_{S}}</math>

Zeile 108:		Zeile 108:
	:		:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& {{{\hat{H}}}_{B}}{{\left\| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left\| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}} \\		& {{{\hat{H}}}_{B}}{{\left\| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left\| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}} \\
	& \alpha =1,2 \\		& \alpha =1,2 \\
Zeile 118:		Zeile 118:

	Es gilt (äquivalente Darstellung):		Es gilt (äquivalente Darstellung):
	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& {{{\hat{H}}}_{B}}{{\left\| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left\| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}\Leftrightarrow \left( {{{\hat{H}}}_{B}}\times 1 \right){{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}} \\		& {{{\hat{H}}}_{B}}{{\left\| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left\| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}\Leftrightarrow \left( {{{\hat{H}}}_{B}}\times 1 \right){{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}} \\
	& \alpha =1,2 \\		& \alpha =1,2 \\
Zeile 124:		Zeile 124:

	Dabei		Dabei
	<math>1</math>		:<math>1</math>
	= Einsoperator im Spinraum -> Spin bleibt unberücksichtigt. Einheitsmatrix für beliebigen Vorgang im Spinraum: <math>1=\left( \begin{matrix}		= Einsoperator im Spinraum -> Spin bleibt unberücksichtigt. Einheitsmatrix für beliebigen Vorgang im Spinraum: <math>1=\left( \begin{matrix}
	1 & 0 \\		1 & 0 \\
Zeile 134:		Zeile 134:
	:		:

	<math>\left( {{{\hat{H}}}_{B}}\times 1+{{{\hat{H}}}_{S}} \right){{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}</math>		:<math>\left( {{{\hat{H}}}_{B}}\times 1+{{{\hat{H}}}_{S}} \right){{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left\| \Psi \right\rangle }_{t}}</math>

	In Matrix- Darstellung:		In Matrix- Darstellung:
	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \left( \begin{matrix}		& \left( \begin{matrix}

Zeile 176:		Zeile 176:
	eine Korrektur an die Energie.		eine Korrektur an die Energie.
	'''Für B=0 -> Eigenzustände mit Spin'''		'''Für B=0 -> Eigenzustände mit Spin'''
	<math>\left( {{H}_{0}}\times 1 \right)\left\| nlm{{m}_{s}} \right\rangle ={{E}_{nl}}\left\| nlm{{m}_{s}} \right\rangle </math>		:<math>\left( {{H}_{0}}\times 1 \right)\left\| nlm{{m}_{s}} \right\rangle ={{E}_{nl}}\left\| nlm{{m}_{s}} \right\rangle </math>

	Insgesamt <math>2\left( 2l+1 \right)</math> fach entartet. Beim H- Atom: zusätzliche l- Entartung		Insgesamt <math>2\left( 2l+1 \right)</math> fach entartet. Beim H- Atom: zusätzliche l- Entartung
	<math>B\ne 0</math>		:<math>B\ne 0</math>

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \hat{H}\left\| nlm{{m}_{s}} \right\rangle ={{H}_{0}}\left\| nlm \right\rangle \left\| {{m}_{s}} \right\rangle -\frac{\left\| e \right\|B}{2{{m}_{0}}}\left\{ \left( {{{\hat{L}}}_{3}}\left\| nlm \right\rangle \right)\left\| {{m}_{s}} \right\rangle +\hbar \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}\left\| {{m}_{s}} \right\rangle \right)\left\| nlm \right\rangle \right\} \\		& \hat{H}\left\| nlm{{m}_{s}} \right\rangle ={{H}_{0}}\left\| nlm \right\rangle \left\| {{m}_{s}} \right\rangle -\frac{\left\| e \right\|B}{2{{m}_{0}}}\left\{ \left( {{{\hat{L}}}_{3}}\left\| nlm \right\rangle \right)\left\| {{m}_{s}} \right\rangle +\hbar \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}\left\| {{m}_{s}} \right\rangle \right)\left\| nlm \right\rangle \right\} \\
	& {{{\hat{L}}}_{3}}\left\| nlm \right\rangle =\hbar m\left\| nlm \right\rangle \\		& {{{\hat{L}}}_{3}}\left\| nlm \right\rangle =\hbar m\left\| nlm \right\rangle \\

*>SchuBot am 11. September 2010 um 17:18 Uhr

2010-09-11T17:18:30Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. September 2010, 19:18 Uhr
Zeile 19:		Zeile 19:
	(äquivalente Sprechweise):		(äquivalente Sprechweise):

	: <math>\left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}} ~~\right\|\left~~\| {{n}_{1}}{{n}_{2}} \right\rangle =\left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}} ~~\right\|\left~~\| {{n}_{1}} \right\rangle \left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}} ~~\right\|\left~~\| {{n}_{2}} \right\rangle =\left\langle {{m}_{1}} ~~\right\|\left~~\| {{n}_{1}} \right\rangle \left\langle {{m}_{2}} ~~\right\|\left~~\| {{n}_{2}} \right\rangle </math>		: <math>\left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}} \| {{n}_{1}}{{n}_{2}} \right\rangle =\left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}} \| {{n}_{1}} \right\rangle \left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}} \| {{n}_{2}} \right\rangle =\left\langle {{m}_{1}} \| {{n}_{1}} \right\rangle \left\langle {{m}_{2}} \| {{n}_{2}} \right\rangle </math>

	Ein beliebiger Zustand kann nach Spin- Basis Zuständen <math>\left\| \uparrow \right\rangle ,\left\| \downarrow \right\rangle </math>		Ein beliebiger Zustand kann nach Spin- Basis Zuständen <math>\left\| \uparrow \right\rangle ,\left\| \downarrow \right\rangle </math>

Schubotz: /* Pauli Gleichung */

2010-09-10T15:37:51Z

Pauli Gleichung

← Nächstältere Version		Version vom 10. September 2010, 17:37 Uhr
Zeile 178:		Zeile 178:
	<math>\left( {{H}_{0}}\times 1 \right)\left\| nlm{{m}_{s}} \right\rangle ={{E}_{nl}}\left\| nlm{{m}_{s}} \right\rangle </math>		<math>\left( {{H}_{0}}\times 1 \right)\left\| nlm{{m}_{s}} \right\rangle ={{E}_{nl}}\left\| nlm{{m}_{s}} \right\rangle </math>

	Insgesamt <math>2\left( 2l+1 \right)</math>		Insgesamt <math>2\left( 2l+1 \right)</math> fach entartet. Beim H- Atom: zusätzliche l- Entartung
	fach entartet. Beim H- Atom: zusätzliche l- Entartung
	<math>B\ne 0</math>		<math>B\ne 0</math>

Zeile 190:		Zeile 189:

	Das bedeutet:		Das bedeutet:
	teilweise Aufhebung der <math>2(2l+1)</math>- fachen Entartung (sogenannter Anomaler Zeemann- Effekt !)		teilweise Aufhebung der <math>2(2l+1)</math>- fachen Entartung (sogenannter {{FB\|Anomaler Zeemann-Effekt}} !)

	: <math>E={{E}_{nl}}-{{\mu }_{B}}B\left( m+2{{m}_{s}} \right)</math>		{{Gln\| <math>E={{E}_{nl}}-{{\mu }_{B}}B\left( m+2{{m}_{s}} \right)</math>}}

	Dies gilt für ~~PARAMAGNETISCHE~~ Atome mit magnetischem Moment		Dies gilt für '''paramagnetische''' Atome mit magnetischem Moment <math>{{\mu }_{3}}={{\mu }_{B}}\left( m+2{{m}_{s}} \right)</math>.
	<math>{{\mu }_{3}}={{\mu }_{B}}\left( m+2{{m}_{s}} \right)</math>

	Dabei entspricht		Dabei entspricht <math>2</math> vor ms dem gyromagnetischen Verhältnis, kommt also wegen dem Landé- Faktor g=2, auch wenn dieser leicht von 2 verschieden ist ! ( Siehe oben).
	<math>2</math>
	vor ms dem gyromagnetischen Verhältnis, kommt also wegen dem Landé- Faktor g=2, auch wenn dieser leicht von 2 verschieden ist ! ( Siehe oben).
	Für dieses Beispiel wird die Energieverschiebung linear zu B am besten in Einheiten von <math>{{\mu }_{B}}</math>		Für dieses Beispiel wird die Energieverschiebung linear zu B am besten in Einheiten von <math>{{\mu }_{B}}</math>
	angegeben. s und p - Orbital lassen sich folgendermaßen in einem sogenannten Termschema skizzieren ( für den anomalen Zeemann- Effekt ):		angegeben. s und p - Orbital lassen sich folgendermaßen in einem sogenannten Termschema skizzieren ( für den anomalen Zeemann- Effekt ):

Schubotz am 10. September 2010 um 15:28 Uhr

2010-09-10T15:28:13Z

Änderungen zeigen

Schubotz am 9. September 2010 um 14:35 Uhr

2010-09-09T14:35:14Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. September 2010, 16:35 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|4\|3}}		<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|4\|3}}</noinclude>

	Sei nun <math>\left\| nlm{{m}_{s}} \right\rangle </math>		Sei nun <math>\left\| nlm{{m}_{s}} \right\rangle </math>

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|4|3}} Sei nun $\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle$ ein Zustand, der Bahn- und Spinfreiheitsgrade beschreibt: $\…“$

2010-08-24T17:09:28Z

Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|4|3}} Sei nun <math>\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle </math> ein Zustand, der Bahn- und Spinfreiheitsgrade beschreibt: <math>\…“

Neue Seite

{{Scripthinweis|Quantenmechanik|4|3}}

Sei nun <math>\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle </math>

ein Zustand, der Bahn- und Spinfreiheitsgrade beschreibt:

<math>\begin{align}

& \left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle =\left| nlm \right\rangle \left| {{m}_{s}} \right\rangle \in {{H}_{B}}\times {{H}_{S}} \\

& \left| nlm \right\rangle \in {{H}_{B}} \\

& \left| {{m}_{s}} \right\rangle \in {{H}_{S}} \\

\end{align}</math>

Der Bahnzustand ist Element des Bahn- Hilbertraumes und der Spinzustand Element des Spin- Hilbertraumes. Der Gesamtzustand erfordert einen Raum, der sich als DIREKTES PRODUKT der beiden Hilberträume zeigt.

Allgemein gilt für separable oder Produktzustände <math>\left| {{n}_{1}}{{n}_{2}} \right\rangle =\left| {{n}_{1}} \right\rangle \left| {{n}_{2}} \right\rangle </math>

( äquivalente Sprechweise):

<math>\left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}} \right|\left| {{n}_{1}}{{n}_{2}} \right\rangle =\left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}} \right|\left| {{n}_{1}} \right\rangle \left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}} \right|\left| {{n}_{2}} \right\rangle =\left\langle {{m}_{1}} \right|\left| {{n}_{1}} \right\rangle \left\langle {{m}_{2}} \right|\left| {{n}_{2}} \right\rangle </math>

Ein beliebiger Zustand kann nach Spin- Basis Zuständen <math>\left| \uparrow \right\rangle ,\left| \downarrow \right\rangle </math>

zerlegt werden:

<math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}={{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}}\left| \uparrow \right\rangle +{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}}\left| \downarrow \right\rangle </math>

mit

<math>{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left| {\bar{r}} \right\rangle \left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}</math>

In der Ortsraum- Basis mit dem Bahn- Zustand <math>\alpha =1,2</math>

In der Matrix- Darstellung des Spinraumes ergibt dies:

<math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\left( \begin{matrix}

{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\

{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\

\end{matrix} \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left| {\bar{r}} \right\rangle \left( \begin{matrix}

\left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\

\left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\

\end{matrix} \right)</math>

Mit

<math>\left( \begin{matrix}

{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\

{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\

\end{matrix} \right)</math>

entsprechend 2 Spinkomponenten, also entsprechend <math>\left| \uparrow \right\rangle ,\left| \downarrow \right\rangle </math>

Die Vollständigkeit der Zustände <math>\left| \bar{r}\uparrow \right\rangle =\left| {\bar{r}} \right\rangle \left| \uparrow \right\rangle ,\left| \bar{r}\downarrow \right\rangle =\left| {\bar{r}} \right\rangle \left| \downarrow \right\rangle </math>

folgt aus:

<math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\{ \left| \bar{r}\uparrow \right\rangle \left\langle \bar{r}\uparrow \right|+\left| \bar{r}\downarrow \right\rangle \left\langle \bar{r}\downarrow \right| \right\}}=1\quad \in {{H}_{B}}\times {{H}_{S}}</math>

Weiter:

<math>\begin{align}

& \left\langle \bar{r}\uparrow \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\

& \left\langle \bar{r}\downarrow \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\

\end{align}</math>

Also die Komponenten von <math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}</math>

am Ort <math>\bar{r}</math>

, einmal die Komponente mit Spin <math>\uparrow </math>

und einmal die Komponente mit Spin <math>\downarrow </math>

. Dabei gilt:

<math>\begin{align}

& {{\left| \left\langle \bar{r}\uparrow \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| \left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}} \\
& {{\left| \left\langle \bar{r}\downarrow \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| \left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}} \\
\end{align}</math>
entspricht der Wahrscheinlichkeit, das Elektron zur Zeit t bei <math>\bar{r}</math>
mit Spin <math>\uparrow </math>
bzw. Spin <math>\downarrow </math>
zu finden.
====Schrödingergleichung im Spin- Bahn- Raum====
Hamilton- Operator für Bahn:
<math>{{\hat{H}}_{B}}=\frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r)</math>
Elektron mit Ladung e<0
Wirkt alleine im Hilbertraum <math>{{H}_{B}}</math>

Hamilton- Operator für Spin:
<math>\begin{align}
& {{{\hat{H}}}_{S}}=-\hbar {{\omega }_{l}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\
& {{\omega }_{l}}=\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}} \\
\end{align}</math>

<math>{{\hat{H}}_{S}}</math>
wirkt dabei nur im Hilbertraum <math>{{H}_{S}}</math>

Ohne Berücksichtigung von <math>{{\hat{H}}_{S}}</math>
:
<math>\begin{align}
& {{{\hat{H}}}_{B}}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}} \\
& \alpha =1,2 \\
\end{align}</math>

Also haben wir je nach Spinzustand schon 2 Schrödingergleichungen in <math>{{H}_{B}}</math>
:
Es gilt (äquivalente Darstellung):
<math>\begin{align}
& {{{\hat{H}}}_{B}}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}\Leftrightarrow \left( {{{\hat{H}}}_{B}}\times 1 \right){{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \\
& \alpha =1,2 \\
\end{align}</math>

Dabei
<math>1</math>
= Einsoperator im Spinraum -> Spin bleibt unberücksichtigt. Einheitsmatrix für beliebigen Vorgang im Spinraum: <math>1=\left( \begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{matrix} \right)</math>

MIT Berücksichtigung von <math>{{\hat{H}}_{S}}</math>
:
<math>\left( {{{\hat{H}}}_{B}}\times 1+{{{\hat{H}}}_{S}} \right){{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}</math>

In Matrix- Darstellung:
<math>\begin{align}
& \left( \begin{matrix}
{{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}+\hbar {{\omega }_{l}} & 0 \\
0 & {{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}-\hbar {{\omega }_{l}} \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\
{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\
\end{matrix} \right)=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left( \begin{matrix}
{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\
{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\
\end{matrix} \right) \\
& \Leftrightarrow \left( {{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}+\hbar {{\omega }_{l}} \right){{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\
& \left( {{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}-\hbar {{\omega }_{l}} \right){{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\
\end{align}</math>
PAULI- GLEICHUNG
====Anwendung====
- einfacher Zeeman- Effekt mit Spin. 1 Elektron im kugelsymmetrischen Potenzial ( Kern (H)oder Atomrumpf(Na)) und homogenen Magnetfeld <math>\bar{B}=B{{\bar{e}}_{3}}</math>

<math>\hat{H}={{\hat{H}}_{B}}\times 1+{{H}_{S}}=\left[ \frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r) \right]\times 1-\frac{\left| e \right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}</math>

Dabei wird durch <math>{{\hat{H}}_{B}}\times 1</math>
der Bahndrehimpuls Hamiltonian durch den Spinraum erweitert.
<math>\begin{align}
& \hat{H}={{{\hat{H}}}_{B}}\times 1+{{H}_{S}}=\left[ \frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r) \right]\times 1-\frac{\left| e \right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\
& \hat{H}\cong \left[ \frac{{{{\bar{p}}}^{2}}}{2{{m}_{0}}}+V(r) \right]\times 1-\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left( {{{\hat{L}}}_{3}}\times 1+\hbar {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right) \\
& \frac{{{{\bar{p}}}^{2}}}{2{{m}_{0}}}+V(r)={{H}_{0}} \\
& {{H}_{0}}\left| nlm \right\rangle ={{E}_{nl}}\left| nlm \right\rangle \\
\end{align}</math>

Wie man sieht bekommt man durch den Korrekturterm <math>\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left( {{{\hat{L}}}_{3}}\times 1+\hbar {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right)</math>
eine Korrektur an die Energie.
====Für B=0 -> Eigenzustände mit Spin====
<math>\left( {{H}_{0}}\times 1 \right)\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle ={{E}_{nl}}\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle </math>

Insgesamt <math>2\left( 2l+1 \right)</math>
fach entartet. Beim H- Atom: zusätzliche l- Entartung
<math>B\ne 0</math>

<math>\begin{align}
& \hat{H}\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle ={{H}_{0}}\left| nlm \right\rangle \left| {{m}_{s}} \right\rangle -\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left\{ \left( {{{\hat{L}}}_{3}}\left| nlm \right\rangle \right)\left| {{m}_{s}} \right\rangle +\hbar \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle \right)\left| nlm \right\rangle \right\} \\
& {{{\hat{L}}}_{3}}\left| nlm \right\rangle =\hbar m\left| nlm \right\rangle \\
& {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle =2{{m}_{S}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle \\
& {{H}_{0}}\left| nlm \right\rangle \left| {{m}_{s}} \right\rangle -\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left\{ \left( {{{\hat{L}}}_{3}}\left| nlm \right\rangle \right)\left| {{m}_{s}} \right\rangle +\hbar \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle \right)\left| nlm \right\rangle \right\}=\left[ {{E}_{nl}}-\frac{\left| e \right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}\left( m+2{{m}_{s}} \right) \right]\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle \\
\end{align}</math>

Das bedeutet:
teilweise Aufhebung der <math>2(2l+1)</math>
- fachen Entartung
( sogenannter Anomaler Zeemann- Effekt !)
<math>E={{E}_{nl}}-{{\mu }_{B}}B\left( m+2{{m}_{s}} \right)</math>

Dies gilt für PARAMAGNETISCHE Atome mit magnetischem Moment
<math>{{\mu }_{3}}={{\mu }_{B}}\left( m+2{{m}_{s}} \right)</math>

Dabei entspricht
<math>2</math>
vor ms dem gyromagnetischen Verhältnis, kommt also wegen dem Landé- Faktor g=2, auch wenn dieser leicht von 2 verschieden ist ! ( Siehe oben).
Für dieses Beispiel wird die Energieverschiebung linear zu B am besten in Einheiten von <math>{{\mu }_{B}}</math>
angegeben. s und p - Orbital lassen sich folgendermaßen in einem sogenannten Termschema skizzieren ( für den anomalen Zeemann- Effekt ):
Das heißt: die m- Entartung, die ohne Spin vollständig aufgehoben wurde, ist jetzt nur noch teilweise aufgehoben !
Da die Aufhebung der Spin- Entartung die Energiezustände wieder so " weiterrückt", dass vorher getrennte wieder zusammenfallen !
'''Tabelle: Landé- Faktoren'''
'''Teilchen''' '''s''' '''g''' '''Q'''
'''Elektron''' '''1/2''' '''2''' '''-e'''
'''Proton''' '''1/2''' '''5,59''' '''e'''
'''Neutron''' '''1/2''' '''-3,83''' '''0'''
'''Neutrino''' '''1/2''' '''0''' '''0'''
'''Photon''' '''1''' '''0''' '''0'''