Zeitunabhängige Störungsrechnung ohne Entartung - Versionsgeschichte

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (3), ( → ( (3)

2010-09-12T22:46:52Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (3), ( → ( (3)

← Nächstältere Version		Version vom 13. September 2010, 00:46 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|5\|3}}</noinclude>		<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|5\|3}}</noinclude>
	( Schrödinger)		(Schrödinger)

	Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung:		Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung:
Zeile 18:		Zeile 18:
	:<math>{{\hat{H}}_{1}}=\varepsilon \hat{V}</math>		:<math>{{\hat{H}}_{1}}=\varepsilon \hat{V}</math>

	( dabei soll die Störung zeitunabhängig sein !)		(dabei soll die Störung zeitunabhängig sein!)

	Das ungestörte Problem schreibt sich:		Das ungestörte Problem schreibt sich:
Zeile 38:		Zeile 38:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Merke: Die Eigenzustände und die Energieeigenwerte sollten sich entwickeln lassen !		Merke: Die Eigenzustände und die Energieeigenwerte sollten sich entwickeln lassen!

	Also:		Also:
Zeile 88:		Zeile 88:
	Skalarprodukt mit <math>\left\langle l \right\|\to \left\langle l \| n \right\rangle ={{\delta }_{\ln }}</math>		Skalarprodukt mit <math>\left\langle l \right\|\to \left\langle l \| n \right\rangle ={{\delta }_{\ln }}</math>

	"projiziert" wieder die Korrektur des l- ten Zustand ( seines Eigenwertes und seines zugehörigen Zustandes ) heraus:		"projiziert" wieder die Korrektur des l- ten Zustand (seines Eigenwertes und seines zugehörigen Zustandes) heraus:

	:<math>\left( {{E}_{l}}^{(0)}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left\langle l \| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right){{\delta }_{lk}}-\left\langle l \right\|\hat{V}\left\| k \right\rangle </math>		:<math>\left( {{E}_{l}}^{(0)}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left\langle l \| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right){{\delta }_{lk}}-\left\langle l \right\|\hat{V}\left\| k \right\rangle </math>
Zeile 157:		Zeile 157:

	in der Entwicklung <math>\left\| {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left\| k \right\rangle \left( 1+i\varepsilon \gamma \right)+\varepsilon \sum\limits_{n\ne k}{{}}\left\| n \right\rangle \left\langle n \| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +O({{\varepsilon }^{2}})</math>		in der Entwicklung <math>\left\| {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left\| k \right\rangle \left( 1+i\varepsilon \gamma \right)+\varepsilon \sum\limits_{n\ne k}{{}}\left\| n \right\rangle \left\langle n \| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +O({{\varepsilon }^{2}})</math>
			.

	.

	Die Festlegung erfolgt durch die Forderung :		Die Festlegung erfolgt durch die Forderung :

*>SchuBot: Pfeile einfügen, replaced: -> → →

2010-09-12T20:09:22Z

Pfeile einfügen, replaced: -> → →

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 22:09 Uhr
Zeile 64:		Zeile 64:
	:<math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left\| {{\Psi }_{k}}^{(2)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left\| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +{{E}_{k}}^{(2)}\left\| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle </math>		:<math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left\| {{\Psi }_{k}}^{(2)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left\| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +{{E}_{k}}^{(2)}\left\| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle </math>

	'''... -> Rekursionsformeln'''		'''... → Rekursionsformeln'''

	'''Die Bestimmung der Energieeigenwerte und Eigenzustände kann erfolgen....'''		'''Die Bestimmung der Energieeigenwerte und Eigenzustände kann erfolgen....'''

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T14:49:06Z

Einrückungen Mathematik

Änderungen zeigen

*>SchuBot am 11. September 2010 um 17:18 Uhr

2010-09-11T17:18:08Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. September 2010, 19:18 Uhr
Zeile 72:		Zeile 72:
	Aus '''f=1: Störungsrechnung erster Ordnung möglich:'''		Aus '''f=1: Störungsrechnung erster Ordnung möglich:'''

	Wir entwickeln nach der ungestörten Basis <math>\left\| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\sum\limits_{n}{{}}\left\| n \right\rangle \left\langle n ~~\right\|\left~~\| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle </math>		Wir entwickeln nach der ungestörten Basis <math>\left\| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\sum\limits_{n}{{}}\left\| n \right\rangle \left\langle n \| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle </math>

	und setzen dies in <math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left( \left\| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle \right)=\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left\| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle </math>		und setzen dies in <math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left( \left\| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle \right)=\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left\| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle </math>
Zeile 80:		Zeile 80:
	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}

	& \sum\limits_{n}{{}}\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left\| n \right\rangle \left\langle n ~~\right\|\left~~\| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left\| k \right\rangle \\		& \sum\limits_{n}{{}}\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left\| n \right\rangle \left\langle n \| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left\| k \right\rangle \\

	& \left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left\| n \right\rangle =\left( {{E}_{n}}^{(0)}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left\| n \right\rangle \\		& \left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left\| n \right\rangle =\left( {{E}_{n}}^{(0)}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left\| n \right\rangle \\
Zeile 86:		Zeile 86:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Skalarprodukt mit <math>\left\langle l \right\|\to \left\langle l ~~\right\|\left~~\| n \right\rangle ={{\delta }_{\ln }}</math>		Skalarprodukt mit <math>\left\langle l \right\|\to \left\langle l \| n \right\rangle ={{\delta }_{\ln }}</math>

	"projiziert" wieder die Korrektur des l- ten Zustand ( seines Eigenwertes und seines zugehörigen Zustandes ) heraus:		"projiziert" wieder die Korrektur des l- ten Zustand ( seines Eigenwertes und seines zugehörigen Zustandes ) heraus:

	<math>\left( {{E}_{l}}^{(0)}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left\langle l ~~\right\|\left~~\| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right){{\delta }_{lk}}-\left\langle l \right\|\hat{V}\left\| k \right\rangle </math>		<math>\left( {{E}_{l}}^{(0)}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left\langle l \| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right){{\delta }_{lk}}-\left\langle l \right\|\hat{V}\left\| k \right\rangle </math>

	Somit haben wir für l=k		Somit haben wir für l=k
Zeile 102:		Zeile 102:
	ergibt sich die 1. Korrektur zum Eigenvektor:		ergibt sich die 1. Korrektur zum Eigenvektor:

	<math>\left\langle l ~~\right\|\left~~\| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\frac{\left\langle l \right\|\hat{V}\left\| k \right\rangle }{{{E}_{k}}^{(0)}-{{E}_{l}}^{(0)}}</math>		<math>\left\langle l \| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\frac{\left\langle l \right\|\hat{V}\left\| k \right\rangle }{{{E}_{k}}^{(0)}-{{E}_{l}}^{(0)}}</math>

	<math>\left\langle k ~~\right\|\left~~\| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle </math>		<math>\left\langle k \| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle </math>

	wird durch Normierung festgelegt:		wird durch Normierung festgelegt:
Zeile 110:		Zeile 110:
	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}

	& 1=!=\left\langle {{\Psi }_{k}} ~~\right\|\left~~\| {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} ~~\right\|\left~~\| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle +\varepsilon \left( \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} ~~\right\|\left~~\| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)} ~~\right\|\left~~\| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle \right)+{{\varepsilon }^{2}}(.... \\		& 1=!=\left\langle {{\Psi }_{k}} \| {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} \| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle +\varepsilon \left( \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} \| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)} \| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle \right)+{{\varepsilon }^{2}}(.... \\

	& \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} ~~\right\|\left~~\| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle =1 \\		& \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} \| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle =1 \\

	\end{align}</math>		\end{align}</math>
Zeile 120:		Zeile 120:
	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}

	& \left( \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} ~~\right\|\left~~\| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)} ~~\right\|\left~~\| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle \right)=0 \\		& \left( \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} \| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)} \| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle \right)=0 \\

	& (....=0 \\		& (....=0 \\
Zeile 134:		Zeile 134:
	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}

	& \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} ~~\right\|\left~~\| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =-\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)} ~~\right\|\left~~\| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle \\		& \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} \| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =-\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)} \| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle \\

	& \left\langle k ~~\right\|\left~~\| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =-\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)} ~~\right\|\left~~\| k \right\rangle \equiv -\left\langle k \right\|{{\left\| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle }^{*}} \\		& \left\langle k \| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =-\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)} \| k \right\rangle \equiv -\left\langle k \right\|{{\left\| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle }^{*}} \\

	\end{align}</math>		\end{align}</math>
Zeile 142:		Zeile 142:
	Fazit:		Fazit:

	<math>\left\langle k ~~\right\|\left~~\| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =i\gamma </math>		<math>\left\langle k \| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =i\gamma </math>

	mit <math>\gamma \in R</math>		mit <math>\gamma \in R</math>
Zeile 156:		Zeile 156:
	relativ zu <math>\left\| k \right\rangle </math>		relativ zu <math>\left\| k \right\rangle </math>

	in der Entwicklung <math>\left\| {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left\| k \right\rangle \left( 1+i\varepsilon \gamma \right)+\varepsilon \sum\limits_{n\ne k}{{}}\left\| n \right\rangle \left\langle n ~~\right\|\left~~\| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +O({{\varepsilon }^{2}})</math>		in der Entwicklung <math>\left\| {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left\| k \right\rangle \left( 1+i\varepsilon \gamma \right)+\varepsilon \sum\limits_{n\ne k}{{}}\left\| n \right\rangle \left\langle n \| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +O({{\varepsilon }^{2}})</math>

	.		.
Zeile 164:		Zeile 164:
	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}

	& \left\langle k ~~\right\|\left~~\| {{\Psi }_{k}} \right\rangle =1 \\		& \left\langle k \| {{\Psi }_{k}} \right\rangle =1 \\

	& \Rightarrow \gamma =0 \\		& \Rightarrow \gamma =0 \\

Schubotz am 9. September 2010 um 14:36 Uhr

2010-09-09T14:36:41Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. September 2010, 16:36 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|5\|3}}		<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|5\|3}}</noinclude>
	( Schrödinger)		( Schrödinger)

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|5|3}} ( Schrödinger) Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung: $\hat{H}\left| \Psi \right\rangle =E\left| \Psi …“$

2010-08-24T18:03:18Z

Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|5|3}} ( Schrödinger) Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung: <math>\hat{H}\left| \Psi \right\rangle =E\left| \Psi …“

Neue Seite

{{Scripthinweis|Quantenmechanik|5|3}}
( Schrödinger)

Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung:

<math>\hat{H}\left| \Psi \right\rangle =E\left| \Psi \right\rangle </math>

muss berechnet werden, wobei

<math>\hat{H}={{\hat{H}}_{0}}+{{\hat{H}}^{1}}</math>

durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.

Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters <math>\varepsilon </math>

linear entwickelt werden kann:

<math>{{\hat{H}}_{1}}=\varepsilon \hat{V}</math>

( dabei soll die Störung zeitunabhängig sein !)

Das ungestörte Problem schreibt sich:

<math>{{\hat{H}}_{0}}\left| n \right\rangle ={{E}_{n}}^{(0)}\left| n \right\rangle </math>

Für kleine <math>\varepsilon </math>

sollten sich Eigenwerte und Eigenzustände von <math>\hat{H}</math>

entwickeln lassen:

<math>\begin{align}

& {{E}_{k}}={{E}_{k}}^{(0)}+\varepsilon {{E}_{k}}^{(1)}+{{\varepsilon }^{2}}{{E}_{k}}^{(2)}+... \\

& \left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle +\varepsilon \left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +{{\varepsilon }^{2}}\left| {{\Psi }_{k}}^{(2)} \right\rangle +... \\

\end{align}</math>

Merke: Die Eigenzustände und die Energieeigenwerte sollten sich entwickeln lassen !

Also:

<math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}+\varepsilon \hat{V} \right)\left( \left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle +\varepsilon \left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +{{\varepsilon }^{2}}\left| {{\Psi }_{k}}^{(2)} \right\rangle +.. \right)=\left( {{E}_{k}}^{(0)}+\varepsilon {{E}_{k}}^{(1)}+{{\varepsilon }^{2}}{{E}_{k}}^{(2)}+.. \right)\left( \left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle +\varepsilon \left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +.. \right)</math>

Die Koeffizienten lassen sich dann in der Ordnung <math>{{\varepsilon }^{f}}</math>

vergleichen:

'''f=0'''

<math>{{\hat{H}}_{0}}\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle ={{E}_{k}}^{(0)}\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle </math>

ungestörtes Problem

'''f=1'''

<math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left( \left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle \right)=\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle </math>

1. Näherung

'''f=2'''

<math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| {{\Psi }_{k}}^{(2)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +{{E}_{k}}^{(2)}\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle </math>

'''... -> Rekursionsformeln'''

'''Die Bestimmung der Energieeigenwerte und Eigenzustände kann erfolgen....'''

Aus '''f=0: '''<math>\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle =\left| k \right\rangle </math>

Aus '''f=1: Störungsrechnung erster Ordnung möglich:'''

Wir entwickeln nach der ungestörten Basis <math>\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\sum\limits_{n}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle n \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle </math>

und setzen dies in <math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left( \left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle \right)=\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle </math>

ein:

<math>\begin{align}

& \sum\limits_{n}{{}}\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| n \right\rangle \left\langle n \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left| k \right\rangle \\

& \left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| n \right\rangle =\left( {{E}_{n}}^{(0)}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| n \right\rangle \\

\end{align}</math>

Skalarprodukt mit <math>\left\langle l \right|\to \left\langle l \right|\left| n \right\rangle ={{\delta }_{\ln }}</math>

"projiziert" wieder die Korrektur des l- ten Zustand ( seines Eigenwertes und seines zugehörigen Zustandes ) heraus:

<math>\left( {{E}_{l}}^{(0)}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left\langle l \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right){{\delta }_{lk}}-\left\langle l \right|\hat{V}\left| k \right\rangle </math>

Somit haben wir für l=k

die erste Korrektur zum Energieeigenwert gefunden:

<math>{{E}_{k}}^{(1)}=\left\langle k \right|\hat{V}\left| k \right\rangle </math>

und für <math>l\ne k</math>

ergibt sich die 1. Korrektur zum Eigenvektor:

<math>\left\langle l \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\frac{\left\langle l \right|\hat{V}\left| k \right\rangle }{{{E}_{k}}^{(0)}-{{E}_{l}}^{(0)}}</math>

<math>\left\langle k \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle </math>

wird durch Normierung festgelegt:

<math>\begin{align}

& 1=!=\left\langle {{\Psi }_{k}} \right|\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle +\varepsilon \left( \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle \right)+{{\varepsilon }^{2}}(.... \\

& \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle =1 \\

\end{align}</math>

Da die Summe rechts aber für beliebige Epsilon Null werden muss folgt:

<math>\begin{align}

& \left( \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle \right)=0 \\

& (....=0 \\

\end{align}</math>

usw.. für jede Klammer nach einer bestimmten, festen Ordnung von <math>\varepsilon </math>

:

Also für die erste Ordnung:

<math>\begin{align}

& \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =-\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle \\

& \left\langle k \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =-\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right|\left| k \right\rangle \equiv -\left\langle k \right|{{\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle }^{*}} \\

\end{align}</math>

Fazit:

<math>\left\langle k \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =i\gamma </math>

mit <math>\gamma \in R</math>

Wegen

<math>{{e}^{i\varepsilon \gamma }}\approx 1+i\varepsilon \gamma +O({{\varepsilon }^{2}})</math>

ändert der Term <math>\tilde{\ }\gamma </math>

die Phase von <math>\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle </math>

relativ zu <math>\left| k \right\rangle </math>

in der Entwicklung <math>\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left| k \right\rangle \left( 1+i\varepsilon \gamma \right)+\varepsilon \sum\limits_{n\ne k}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle n \right|\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +O({{\varepsilon }^{2}})</math>

.

Die Festlegung erfolgt durch die Forderung :

<math>\begin{align}

& \left\langle k \right|\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle =1 \\

& \Rightarrow \gamma =0 \\

\end{align}</math>

Im entartungsfreien Fall (keine Entartung) folgt dann:

<math>\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\sum\limits_{n\ne k}{{}}\left| n \right\rangle \frac{\left\langle n \right|\hat{V}\left| k \right\rangle }{{{E}_{k}}^{(0)}-{{E}_{n}}^{(0)}}</math>

Voraussetzung: <math>{{E}_{k}}^{(0)}\ne {{E}_{n}}^{(0)}</math>

(keine Entartung)